第三章 质点系的运动定理

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§3-1 质点系·内力与外力

质点系的定义

由两个或两个以上相互作用的质点组成的系统。

概念	说明
系统（质点系）	多个质点组成的整体
内力	系统内质点之间的相互作用力
外力	系统外部物体对系统内质点的作用力

内力的特点

• 内力成对出现：${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$（牛顿第三定律）
• 内力改变质点间的相对运动，但不改变系统总动量
• 内力做功的代数和不一定为零（取决于相对位移）

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§3-2 质心·质心运动定理

质心的定义

$x_c=\frac{{\sum }_i{m}_i{x}_i}{M},y_c=\frac{{\sum }_i{m}_i{y}_i}{M},z_c=\frac{{\sum }_i{m}_i{z}_i}{M}$

向量形式：${\vec{r}}_c=\frac{{\sum }_i{m}_i{\vec{r}}_i}{M}$

其中 $M={\sum }_i{m}_i$ 为系统总质量。

质心运动定理

${\vec{F}}_{\text{外}}=M{\vec{a}}_c$

系统所受合外力 = 总质量 × 质心加速度

相当于把全部质量集中于质心，全部外力作用于质心。

质心运动定律的两个重要推论

推论	条件	结论
质心静止	${\vec{F}}_{\text{外}}=0$ 且初始静止	质心位置保持不变
质心匀速直线运动	${\vec{F}}_{\text{外}}=0$	质心保持原有运动状态

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§3-3 动量守恒定律

动量定理（质点系）

${\int }_{t_1}^{t_2}{\vec{F}}_{\text{外}}dt={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1$

合外力的冲量 = 系统总动量的增量

动量守恒定律

当 ${\vec{F}}_{\text{外}}=0$ 时：

$\vec{p}={\sum }_i{m}_i{\vec{v}}_i=\text{常数（矢量）}$

分量形式（某方向合外力为零时该方向动量守恒）： $p_x=\text{常数},p_y=\text{常数},p_z=\text{常数}$

动量守恒的条件

• 完全失重（合外力为零）：系统整体动量守恒
• 某一方向合外力为零：该方向动量分量守恒

动量守恒定律适用于所有相互作用（碰撞、爆炸、分裂等）。

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§3-4 角动量守恒定律

质点系的角动量

$\vec{L}={\sum }_i{\vec{r}}_i\times m_i{\vec{v}}_i$

角动量定理（质点系）

${\vec{M}}_{\text{外}}=\frac{d\vec{L}}{dt}$

合外力矩 = 系统总角动量的变化率

角动量守恒

当 ${\vec{M}}_{\text{外}}=0$ 时：

$\vec{L}=\text{常数}$

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§3-5 机械能守恒·功能原理

质点系的动能定理

$A_{\text{外}}+A_{\text{内}}=E_{k2}-E_{k1}$

合外力做功 + 内力做功 = 系统动能的增量

内力做功的特点

• 内力做功不一定为零
• 若内力是保守力（如弹力、重力），则可用势能描述
• 质点系的内力成对做功之和 = 一对内力相对位移的功

机械能守恒定律

当 $A_{\text{外}}+A_{\text{非保守内}}=0$ 时：

$E_k+E_p=\text{常数（机械能）}$

功能原理

$A_{\text{外}}+A_{\text{非保守内}}=\Delta E$

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§3-6 碰撞

碰撞的定义

物体在极短时间内通过相互作用改变运动状态的过程。

碰撞分类

分类依据	类型	特点
能量	弹性碰撞	碰撞前后动能相等（$E_k$ 守恒）
能量	非弹性碰撞	碰撞前后动能不相等（有损失）
能量	完全非弹性碰撞	碰撞后物体合为一体（动能损失最大）
方向	正碰（对心碰撞）	碰撞前后速度在同一直线上
方向	斜碰	碰撞前后速度不在同一直线上

碰撞公式（正碰）

弹性碰撞： $v_1=\frac{(m_1-m_2)v_{10}+2m_2{v}_{20}}{m_1+m_2},v_2=\frac{(m_2-m_1)v_{20}+2m_1{v}_{10}}{m_1+m_2}$

完全非弹性碰撞： $v=\frac{m_1{v}_{10}+m_2{v}_{20}}{m_1+m_2}$

恢复系数

$e=\frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}$

• $e=1$：弹性碰撞
• $0<e<1$：非弹性碰撞
• $e=0$：完全非弹性碰撞

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§3-7 开普勒第二定律（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（角动量与质点系运动定理） 由角动量守恒可直接推导开普勒第二定律。行星在 $dt$ 内扫过面积近似为三角形：

$dS=\frac{1}{2}|\vec{r}\times d\vec{r}|=\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|dt=\frac{L}{2m}dt$ $\boxed{\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=\text{const}}$ 恒星 v 大 近日点区域 （瘦长扇形） v 小 远日点区域 （矮胖扇形） 蓝色面积 = 绿色面积 （相等时间扫过相等面积） 图4：开普勒第二定律——行星在相等时间内扫过的面积相等 开普勒第二定律： 行星绕恒星运动时，相等时间内扫过的面积相等。这是角动量守恒的几何表现。
近日点：$r$ 小 → $v$ 大 → 弧”瘦长”；远日点：$r$ 大 → $v$ 小 → 弧”矮胖”。

第三章

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§3-8 质心运动定理（详细推导，语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（角动量与质点系运动定理） 由质心加速度的表达式直接得到：

$\boxed{M{\vec{a}}_C={\vec{F}}_{\text{ext}}}$ 质心运动定理： 质点系的总质量 × 质心加速度 = 作用在质点系上的合外力 。
形式上与牛顿第二定律完全相同，但描述的是质心的运动。 注意：

• 内力不改变 质心的运动状态
• 质心运动定理在惯性系 中成立
• 质心不一定在任何一个质点上（如均匀圆环的质心在圆心）

第三章

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§3-9 变质量问题：密歇尔斯基方程与火箭运动（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（角动量与质点系运动定理）

7.1 变质量问题的提出

火箭在飞行过程中不断喷出燃气，质量随时间变化，不能直接用 $F=ma$。需要将燃气视为一部分质量离开主体。

7.2 密歇尔斯基方程

设 $t$ 时刻火箭质量为 $m$、速度为 $\vec{v}$，$dt$ 时间内喷出质量 $dm$（$dm<0$），燃气相对火箭速度为 $\vec{u}$（向后），则：

$m\frac{d\vec{v}}{dt}={\vec{F}}_{\text{ext}}+\vec{u}\frac{dm}{dt}$ 密歇尔斯基方程： 右端第二项 $\vec{u}\frac{dm}{dt}$ 称为推力 （反作用力）。$\frac{dm}{dt}<0$（质量减少），推力方向与 $\vec{u}$ 相反（即向前）。

7.3 火箭运动公式

忽略外力（如重力），积分得到：

$\boxed{v=v_0+u\ln \frac{m_0}{m}}$

其中 $v_0$ 为初速度，$m_0$ 为初始质量，$m$ 为当前质量，$u$ 为燃气喷射速度。

单级火箭 有效载荷 燃料 发动机 v ↑ u ↓ 三级火箭 三级 二级 一级 v ↑ v = v₀ + u·ln(m₀/m) 质量比 m₀/m 越大，末速度越高 分级设计可逐级抛弃空壳，提高效率 三级火箭：v = v₀ + u(ln R₁ + ln R₂ + ln R₃) = u·ln(R₁R₂R₃) 图7：火箭运动——燃气喷射产生推力，分级设计可逐级抛弃空壳提高效率

7.4 齐奥尔科夫斯基公式

$\Delta v=u\ln \frac{m_0}{m}=u\ln R$

其中 $R=m_0/m$ 称为质量比 。

提高火箭速度的方法：

• 增大燃气喷射速度 $u$（化学燃料上限约 4000 m/s，离子推进更高）
• 增大质量比 $R$（分级火箭逐级抛弃空壳）
• 多级火箭：$\Delta v_{\text{总}}=u\ln (R_1{R}_2\cdots R_n)$

常见误区： 火箭的推力不靠”推空气”，而是靠反作用力 （牛顿第三定律）。在真空中火箭照样工作，甚至效率更高（无空气阻力）。

公式速查

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本章三大守恒定律对比

守恒定律	条件	守恒量	公式
动量守恒	合外力 $=0$	$\vec{p}$	$\sum m_i{\vec{v}}_i=\text{常数}$
角动量守恒	合外力矩 $=0$	$\vec{L}$	$\sum {\vec{r}}_i\times m_i{\vec{v}}_i=\text{常数}$
机械能守恒	非保守力做功 $=0$	$E_k+E_p$	$\text{常数}$

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三大定理（对照质点系）

定理	研究对象	积累量	核心公式
动量定理	外力对时间	冲量 $\vec{I}$	$\vec{I}=\Delta \vec{p}$
角动量定理	外力矩对时间	冲量矩	$\vec{M}=\Delta \vec{L}$
动能定理	外力+内力对空间	功 $A$	$A=\Delta E_k$

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质心 vs 质点：公式类比

质点	质点系（刚体）
质量 $m$	总质量 $M$，质心位置 ${\vec{r}}_c$
$\vec{F}=m\vec{a}$	${\vec{F}}_{\text{外}}=M{\vec{a}}_c$
动量 $m\vec{v}$	动量 $M{\vec{v}}_c$
动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$	动能 $E_k=E_{k,\text{平动}}+E_{k,\text{相对质心}}$