第四章 刚体的转动

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§4-1 刚体的运动

刚体的定义

刚体：在运动和受力时，形状和体积都不变化的物体（理想模型）。

刚体的一般运动 = 平动 + 转动。

运动类型	特点
平动	刚体中任意直线在运动中保持方向不变
定轴转动	刚体绕固定轴旋转，所有质元做圆周运动

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§4-2 刚体定轴转动的描述

定轴转动的特点

• 轴上各点静止，其他质元绕轴做圆周运动
• 所有质元的角量（角位移、角速度、角加速度）相同
• 转动方向用角速度正负表示

角量与线量的关系

角量	线量
角位移 $\Delta \theta$	弧长 $\Delta s=r\Delta \theta$
角速度 $\omega$	线速度 $v=r\omega$
角加速度 $\alpha$	切向加速度 $a_t=r\alpha$

匀变速转动公式（类比匀变速直线运动）

$\omega ={\omega }_0+\alpha t$ $\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha (\theta -{\theta }_0)$

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§4-3 转动惯量

转动惯量的定义

$J={\sum }_i\Delta m_i{r}_i^2\text{（离散）},J=\int r^{2}dm\text{（连续）}$

物理意义：转动惯量是刚体转动惯性的量度。

转动惯量的决定因素

1. 质量分布（质量离轴越远，$J$ 越大）
2. 转轴位置
3. 刚体总质量

常见刚体的转动惯量

刚体	转轴	转动惯量 $J$
细棒（长 $L$）	通过质心、垂直于棒	$\frac{1}{12}m{L}^2$
细棒（长 $L$）	通过端点、垂直于棒	$\frac{1}{3}m{L}^2$
均匀圆环（半径 $R$）	过圆心、垂直于环面	$m{R}^2$
均匀圆盘（半径 $R$）	过圆心、垂直于盘面	$\frac{1}{2}m{R}^2$
实心圆柱（半径 $R$）	中心轴	$\frac{1}{2}m{R}^2$
球壳（半径 $R$）	直径	$\frac{2}{3}m{R}^2$
实心球（半径 $R$）	直径	$\frac{2}{5}m{R}^2$

平行轴定理

$J=J_c+m{d}^2$

其中 $J_c$ 为绕质心轴的转动惯量，$d$ 为两平行轴间距离。

垂直轴定理（薄板）

$J_z=J_x+J_y$

适用于薄板（平板）绕垂直于板面的轴的转动惯量。

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§4-4 刚体定轴转动定律

转动定律（核心公式）

$\vec{M}=J\vec{\alpha }$

合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。

这是刚体定轴转动的基本方程，与牛顿第二定律 $F=ma$ 完全对应。

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§4-5 角动量定理与角动量守恒

刚体的角动量

$\vec{L}=J\vec{\omega }$

角动量定理

$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}=J\frac{d\vec{\omega }}{dt}=J\vec{\alpha }$

角动量守恒

当 $\vec{M}=0$ 时： $\vec{L}=J\vec{\omega }=\text{常数}$

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§4-6 功能关系与机械能守恒

力矩的功

$A={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}Md\theta$

转动动能

$E_k=\frac{1}{2}J{\omega }^2$

动能定理

$A=E_{k2}-E_{k1}=\frac{1}{2}J{\omega }_2^2-\frac{1}{2}J{\omega }_1^2$

重力势能

刚体的重力势能等于全部质量集中在质心时的势能： $E_p=mg{h}_c$

其中 $h_c$ 是质心的高度。

机械能守恒定律

当只有重力或弹力做功时： $E_k+E_p=\text{常数}$

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§4-7 阿特伍德机与复合滑轮（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（转动力学，2026-04-16）

4.1 阿特伍德机（含滑轮质量）

经典问题 ：两个质量 M₁、M₂ 的物体通过绳子跨过滑轮，滑轮有质量 M、半径 R
分析步骤 ：

1. 对两个物体分别应用牛顿第二定律：M₁g - T₁ = M₁a，T₂ - M₂g = M₂a
2. 对滑轮应用转动定律：(T₁ - T₂)R = Jα，J = MR²/2
3. 关联方程：a = αR
4. 求解加速度 a 和张力 T₁、T₂

4.2 复合滑轮

两个半径不同的滑轮固定在一起，绳子分别绕在两个滑轮上。分析方法类似，注意两个半径的关系。

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§4-8 纯滚动问题（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（转动力学）

7.1 纯滚动条件

纯滚动 ：无滑动的滚动
条件 ：v = ωR（瞬时静止点）
能量 ：动能 = 平动动能 + 转动动能
Ek = Mv²/2 + Jω²/2 = (M + J/R²)v²/2

7.2 滚动斜面问题

问题 ：圆柱体从斜面顶端无滑动滚下
分析 ：

1. 平动：Mg sin θ - f = Ma
2. 转动：fR = Jα
3. 纯滚动：a = αR
4. 求解：加速度 a = g sin θ / (1 + J/(MR²))

结论 ：转动惯量越大的物体滚得越慢（圆环比圆盘慢）

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§4-9 欧拉陀螺与进动（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（转动力学）

6.1 欧拉陀螺的定义

欧拉陀螺 ：绕固定点自由转动的刚体（如玩具陀螺、地球）
与定轴转动 的区别：定轴转动是绕固定轴转动，欧拉陀螺是绕固定点转动，转轴本身可以改变方向

6.2 欧拉运动学方程

欧拉角 ：描述定点转动姿态的三个角度（φ、θ、ψ）
欧拉运动学方程 ：角速度在各主轴方向的分量
ωx = dθ/dt sin φ + dψ/dt sin θ cos φ
ωy = dθ/dt cos φ - dψ/dt sin θ sin φ
ωz = dφ/dt + dψ/dt cos θ

6.3 欧拉动力学方程

欧拉动力学方程 （绕主轴）：
Jx dωx/dt + (Jz - Jy)ωyωz = Mx
Jy dωy/dt + (Jx - Jz)ωzωx = My
Jz dωz/dt + (Jy - Jx)ωxωy = Mz

6.4 刚体进动

进动 ：陀螺在重力作用下绕竖直轴缓慢转动的现象
进动角速度 ：Ω = MgL / (Jω)
其中 L 是陀螺支点到质心的距离，ω 是自转角速度

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§4-10 典型例题补充（语音笔记）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（转动力学解惑）

6.1 杆的剪切问题

一根水平杆一端悬挂，另一端用绳子拉住保持水平。突然剪断绳子，求剪断瞬间杆的角加速度。

关键： 剪断瞬间，杆的角速度 ω = 0（静止），但角加速度 α ≠ 0。
速度为零不代表速度变化率为零！α = dω/dt ≠ 0。

解法： 把杆看作绕悬挂端转动的刚体，用转动定律 M = Jα。

• 绕一端转动惯量 J = (1/3)ML²
• 重力矩 M = Mg · (L/2)（重心在杆中点）
• α = M/J = Mg(L/2) / [(1/3)ML²] = 3g/(2L)

为什么不用逐点分析？ 杆上各质点到轴的距离不同，加速度不同，逐点分析太复杂。但把整个杆看作绕定轴转动的刚体，只需找到合外力矩，一个方程就够了。

6.2 敲击棒使其转动

在水平棒某处施一竖直方向的冲量（瞬时力），使棒绕支点转动。求支点处不受水平冲力时的敲击位置。

关键： 支点不受水平力 → 对支点的水平方向动量守恒。分析杆质心的运动：质心切向加速度 at = α·(L/2)，角加速度由冲量产生 M·Δt = Jα。联立可求敲击位置。

6.3 阿特伍德机（含质量滑轮）

两个质量 M₁、M₂ 的物体通过轻绳挂在有质量的滑轮两侧，滑轮质量为 m、半径为 R。

关键区别： 滑轮有质量时，绳子两端张力不相等 （T₁ ≠ T₂）！
如果滑轮无质量（轻滑轮），才可以用 T₁ = T₂。

方程组（三个方程，三个未知数 T₁、T₂、a）：

1. 对 M₁（假设向下）：M₁g - T₁ = M₁a₁
2. 对 M₂（假设向上）：T₂ - M₂g = M₂a₂
3. 对滑轮（转动定律）：T₁R - T₂R = Jα = (1/2)mR² · α
4. 约束关系：a₁ = a₂ = αR

6.4 复合滑轮问题

两个半径不同的滑轮（R₁、R₂）固定在一起，绕同一轴转动。两根绳分别悬挂 M₁ 和 M₂。求系统的运动。

特点：

• 两个滑轮一体，角加速度 α 相同
• 但线加速度不同：a₁ = αR₁，a₂ = αR₂
• 需要四个方程联立求解

6.5 带空气阻力的转动圆盘

匀质圆盘在空气中转动，单位面积上的摩擦力 f = kωr（与角速度和到中心距离成正比），求圆盘所受总阻力矩。

解法： 取半径 r、宽度 dr 的微圆环。

• 微圆环面积 dS = 2πr·dr
• 微圆环上的摩擦力 dF = f·dS = kωr · 2πr·dr = 2πkωr²·dr
• 微力矩 dM = r·dF = 2πkωr³·dr
• 单面总力矩 M单面 = ∫₀ᴿ 2πkωr³ dr = (πkω/2)R⁴
• 圆盘有上下两个面：M 总 = πkωR⁴

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§4-11 力矩的积分计算法（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（力学精讲，2026-04-23）

11.1 变力矩的积分求解

问题：摩擦力矩随角速度变化，如何求阻力矩？

对于空气阻力 $f=kv$ 的情况，单位面积摩擦力与线速度成正比。

积分步骤：

1. 取微元：半径为 $r$，宽度为 $dr$ 的圆环
2. 面积微元：$dS=2\pi rdr$
3. 摩擦力微元：$dF=f\cdot dS=kv\cdot 2\pi rdr$
4. 力矩微元：$dM=r\cdot dF=2\pi kv{r}^{2}dr$
5. 积分：$M=\int dM$ 从 $0$ 到 $R$

11.2 变力矩的减速过程

典型问题：圆盘在摩擦力矩作用下逐渐减速停止，求转动的总圈数。

分析思路：

1. 摩擦力矩 $M={\int }_0^{R}2\pi kv{r}^{3}dr=\frac{\pi kv}{2}{R}^4$
2. 根据转动定律：$M=J\alpha$（负号表示阻力）
3. 角加速度 $\alpha =\frac{d\omega }{dt}$
4. 利用 $\omega d\omega =\alpha d\theta$ 积分求角度变化

关键积分： ${\int }_{{\omega }_0}^0\omega d\omega =-\frac{1}{2}{\omega }_0^2={\int }_{{\theta }_0}^{\theta }\alpha d\theta$

转动圈数：$n=\frac{|\Delta \theta |}{2\pi }$

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§4-12 角动量定理与功能关系的综合应用（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（力学精讲）

12.1 角动量定理

$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$

增量形式： $\Delta \vec{L}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{M}dt$

当合外力矩 $M=0$ 时，角动量 $\vec{L}=J\vec{\omega }=\text{常数}$（角动量守恒）

12.2 力矩的功

$A={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}Md\theta$

注意：

• 力矩 $M$ 必须是合外力矩
• 当 $M$ 为恒力矩时：$A=M({\theta }_2-{\theta }_1)$
• 当 $M$ 随角度变化时：需要积分计算

12.3 转动功能定理

$A=\frac{1}{2}J{\omega }_2^2-\frac{1}{2}J{\omega }_1^2$

推导过程： $A={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}Md\theta ={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}J\alpha d\theta =J{\int }_{{\omega }_1}^{{\omega }_2}\omega d\omega =\frac{1}{2}J{\omega }_2^2-\frac{1}{2}J{\omega }_1^2$

12.4 变力矩的减速过程

问题：已知初始角速度 ${\omega }_0$，摩擦力矩 $M_f=k\omega$（正比于瞬时角速度），求：

1. 角速度随时间变化规律
2. 停止前转过的总圈数

解法：

1. 由转动定律：$-k\omega =J\frac{d\omega }{dt}$
2. 分离变量积分：$\frac{d\omega }{\omega }=-\frac{k}{J}dt$
3. 得 $\omega ={\omega }_0{e}^{-\frac{k}{J}t}$
4. 转过角度：$\theta ={\int }_0^{\infty }\omega dt=\frac{J{\omega }_0}{k}$
5. 圈数：$n=\frac{\theta }{2\pi }=\frac{J{\omega }_0}{2\pi k}$

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§4-13 典型解题方法总结（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（力学精讲）

13.1 转动问题的分析步骤

1. 确定研究对象：刚体
2. 分析受力：找出所有外力及其作用点
3. 计算力矩：$M=r\times F$，注意力臂的确定
4. 求转动惯量 $J$：利用定义或平行轴定理
5. 应用转动定律或功能关系

13.2 常见力矩的计算

力的类型	力矩计算
重力	$M=mgr\sin \theta$（$r$ 为力臂，$\theta$ 为 $r$ 与 $F$ 夹角）
摩擦力	分布力需积分：$M=\int rdF$
弹力	确定力臂，$M=Fr$

13.3 纯滚动问题补充

纯滚动条件：$v=\omega R$（接触点瞬时静止）

能量法：$E_k=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}J{\omega }^2=\frac{1}{2}(M+\frac{J}{R^2})v^2$

速度：$v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\frac{J}{M{R}^2}}}$

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本章核心公式汇总

公式	内容
$J=\int r^{2}dm$	转动惯量定义
$v=r\omega ,a_t=r\alpha$	角量与线量关系
$\vec{M}=J\vec{\alpha }$	转动定律（核心）
$\vec{L}=J\vec{\omega }$	刚体角动量
$E_k=\frac{1}{2}J{\omega }^2$	转动动能
$J=J_c+m{d}^2$	平行轴定理
$J_z=J_x+J_y$	垂直轴定理
$A=\int Md\theta$	力矩的功

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刚体 vs 质点：公式类比

质点（平动）	刚体（转动）
质量 $m$	转动惯量 $J$
速度 $\vec{v}$	角速度 $\vec{\omega }$
加速度 $\vec{a}$	角加速度 $\vec{\alpha }$
力 $\vec{F}$	力矩 $\vec{M}$
动量 $m\vec{v}$	角动量 $J\vec{\omega }$
$F=ma$	$M=J\alpha$
动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$	动能 $\frac{1}{2}J{\omega }^2$