第二章 质点的运动定理（完整版）

第二章 质点的运动定理

力不是维持运动的原因，力是改变运动的原因。 —— 这一章的四条定理，就是四种「力如何改变运动」的精确表述。

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🏔️ 直觉地图

想象你在玩台球：

• 牛顿第二定律 告诉你「母球受多大的力，就会产生多大的加速度」——力与加速度瞬时对应，不打折扣。
• 动量定理 告诉你「白球撞击彩球那一瞬间发生了什么」——碰撞时间极短、力变化剧烈，我们不去纠结每一毫秒的力，只关心总冲量带来的速度改变。
• 动能定理 告诉你「推球走多远，就给球注入多少能量」——力在空间上的积累，转化为球的动能。
• 角动量定理 告诉你「切着打（有旋转的击球）会怎样」——力对球心的力矩会改变球的旋转状态。

直觉类比 1：动量定理 = 拳击手套缓冲
裸拳打墙，Δt 极短，力峰值巨大，手骨断裂；戴上拳击手套，同样的动量变化被拉长到几十毫秒，力峰值骤降，手安全。公式 $\vec{I}=\vec{F}\Delta t=\Delta \vec{p}$ 中，$\Delta \vec{p}$ 固定时，延长 $\Delta t$ 就能减小 $\vec{F}$。

直觉类比 2：保守力 = 不管走楼梯还是坐电梯，到五楼重力做功一样
你从一楼到五楼，重力做功只取决于高度差 $h$，与你是走楼梯、坐直梯还是翻窗户上去无关。这就是保守力的本质——做功与路径无关。

⚠️ 全章核心区分（考试高频）
冲量 是过程量（取决于力的时间积累过程），动量 是状态量（取决于某一时刻的速度）
功 是过程量（取决于力的空间积累过程），动能 是状态量（取决于某一时刻的速度）

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📖 阅读建议

阶段	内容	目标
一刷	§2-1 牛顿定律 → §2-2 动量定理 → §2-3 动能定理	掌握三条核心定理的基本形式和用法
二刷	§2-4 角动量定理 → §2-5 保守力与势能 → §2-6 功能原理与机械能守恒	建立「力→动量/能量/角动量」三条线的完整图景；理解保守力判据
三刷	§2-7 变质量问题 → §2-8 卫星与黑洞	综合应用；体会物理建模（变质量系统）与前沿拓展

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🔗 从运动学到动力学

第一章我们学会了”描述”运动：位置、速度、加速度——物体在怎样运动。这一章我们回答”为什么”这样运动：力、冲量、功——是什么改变了物体的运动状态。

两章的关系是：运动学提供”语言”（$x,v,a$），动力学提供”规律”（$F=ma$，守恒律）。有了语言才能表达规律，有了规律才能预测运动。

一、知识整合

§2-1 牛顿运动定律 —— 一切定理的起点

为什么学这个？

牛顿三定律是整个经典力学的公理基础。后续三条定理（动量、动能、角动量）本质上都是牛顿第二定律在不同方向上的积分形式，它们不是新的物理，而是不同的数学视角。掌握好牛顿定律的原始形式，才能理解为什么积分后的定理更适合解决特定类型的问题。

第一定律：惯性定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变。

物理含义：

• 定义了惯性参照系：牛顿第一定律成立的参照系（无加速度的参照系）。地球近似为惯性系，但严格来说不是（它自转 + 公转）。
• 定义了力的概念：力不是维持运动的原因（亚里士多德错了），力是改变运动的原因（伽利略-牛顿对了）。

第二定律：力 = 动量的时间变化率 ★ 核心

$\boxed{\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt},\vec{p}=m\vec{v}}$

这是第二定律的普遍形式，在相对论中也成立（只需换用相对论动量）。

当 $v\ll c$ 且质量不变时，退化为大家熟悉的：

$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt}$

自然坐标系分解（解决曲线运动）： $F_t=m{a}_t=m\frac{dv}{dt},F_n=m{a}_n=m\frac{v^2}{\rho }$

• $F_t$（切向力）改变速度大小
• $F_n$（法向力/向心力）改变速度方向

第三定律：作用力与反作用力

${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$

四同：同大小、同性质、同一直线、同时存在同时消失。
两不同：作用在不同物体上、产生不同效果（不能抵消！）。

🔍 为什么 $F=ma$ 不能用于变质量问题？

当 $m$ 不是常数时： $\vec{F}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{dm}{dt}$

即使用 $m$ 是时变的，右边也会多出 $\vec{v}\frac{dm}{dt}$ 一项。火箭推进、落链等问题必须用 $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ 而非 $\vec{F}=m\vec{a}$。

常见力速查

力	公式	要点
重力	$\vec{G}=m\vec{g}$	竖直向下；$g\approx 9.8{\text{m/s}}^2$
弹簧弹力	$\vec{F}=-k\vec{x}$	负号：与位移方向相反
静摩擦力	$0\le f_s\le f_{s,\max }={\mu }_{s}N$	被动适应外力
滑动摩擦力	$f_k={\mu }_{k}N$	与相对运动方向相反
万有引力	${\vec{F}}_{12}=-G\frac{m_1{m}_2}{r^2}{\hat{e}}_r$	负号：吸引力。📌 万有引力也是保守力——对应势能 $E_p=-G\frac{Mm}{r}$，详见 §2-5
浮力	$F_b=\rho Vg$	竖直向上

惯性力（非惯性系中的「假力」）

在非惯性系中，牛顿第二定律形式上不成立。引入惯性力后：

$\vec{F}+{\vec{F}}_{\text{惯性}}=m{\vec{a}}^{\prime }$

其中 ${\vec{F}}_{\text{惯性}}=-m{\vec{a}}_0$（${\vec{a}}_0$ 是非惯性系相对惯性系的加速度）。

⚠️ 惯性力没有施力物体，不存在反作用力。它是数学工具，不是真实力。

常见惯性力：

• 平动非惯性系：${\vec{F}}_i=-m\vec{a}$ （汽车加速时你感觉被向后推）
• 离心惯性力：${\vec{F}}_i=m{\omega }^{2}r$ （方向沿径向向外）

解题五步法

1. 隔离物体：明确研究对象
2. 受力分析：画完整的受力图（别漏力、别添力）
3. 建立坐标：选最方便的坐标系（注意正方向）
4. 列方程：牛顿第二定律 + 运动学约束
5. 检验讨论：量纲检查、极端情况验证

✅ 本节检查：你能用自然坐标系分解写出一颗行星绕太阳运动的 $F_t$ 和 $F_n$ 表达式吗？

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§2-2 质点的动量定理 —— 时间上的积累效应

为什么学这个？

碰撞、打击、爆炸——这些过程时间极短（毫秒级）、力变化极其剧烈（$10^4\text{N}$ 量级）、力的瞬时值几乎不可测量。牛顿第二定律要求知道每一时刻的 $\vec{F}$，这在实际中行不通。动量定理把问题从「每一时刻」提升到「时间累积」，只需要知道初末动量，完美绕过力的细节。

冲量：力在时间上的积累

$\boxed{\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt}$

• 冲量是过程量 $\leftarrow$ 全书最重要的概念区分之一
• 冲量是矢量，方向与动量增量方向相同
• 平均冲力：$⟨F⟩=\frac{I}{\Delta t}$

动量定理

$\boxed{\vec{I}={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1=m{\vec{v}}_2-m{\vec{v}}_1}$

合外力的冲量 = 质点动量的增量。

两种形式等价：

• 积分形式（上面）：处理有限时间间隔，适合碰撞
• 微分形式：$\vec{F}=d\vec{p}/dt$ —— 其实就是牛顿第二定律本身

碰撞问题的「套路」

1. 画图：标注碰撞前后的速度矢量
2. 选正方向：所有速度带符号
3. 列动量定理：$\vec{I}=m{\vec{v}}_2-m{\vec{v}}_1$
4. 注意矢量性：改为标量方程时要带正负号

📐 例题：子弹穿木块

质量为 $10\text{g}$ 的子弹以 $400\text{m/s}$ 水平射入木块，以 $100\text{m/s}$ 穿出，碰撞时间 $0.001\text{s}$。求平均阻力。

解：

1. 以子弹初速方向为正
2. 动量增量：$\Delta p=0.01\times 100-0.01\times 400=-3\text{kgcdotpm/s}$
3. 冲量 = 动量增量：$F_{\text{avg}}\times 0.001=-3$
4. $F_{\text{avg}}=-3000\text{N}$（负号表示与初速方向相反）

平均阻力 $3000\text{N}$，相当于 $300\text{kg}$ 物体的重量！

动量守恒定律

当 $\sum {\vec{F}}_{\text{外}}=0$ 时：

${\vec{p}}_{\text{总}}=\text{常数}$

⚠️ 注意：动量守恒条件是合外力为零（不是合外力矩）。如果只是某方向合外力为零，则该方向动量分量守恒。

✅ 本节检查：你能解释为什么跳远运动员落在沙坑里比落在水泥地上安全吗？（提示：冲量相同，$\Delta t$ 不同）

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§2-3 质点的动能定理 —— 空间上的积累效应

为什么学这个？

力不仅有时间积累（冲量），还有空间积累（功）。动量定理关心的是「力作用了多久」，动能定理关心的是「力推了多远」。许多问题中，位移比时间更容易获取（如弹簧压缩距离、物体下落高度），此时动能定理比动量定理更直接。

功：力在空间上的积累

$\boxed{A={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^{B}F\cos \theta ds}$

• 功是过程量 $\leftarrow$ 与冲量并列为全书最重要的过程量
• 功是标量，可正可负：力与位移同向 → 正功（加速）；反向 → 负功（减速）；垂直 → 不做功
• 功率：$P=\frac{dA}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}$（瞬时做功快慢）

几种常见力的功：

力	从 A 到 B 做的功	特点
恒力	$A=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}=Fs\cos \theta$	直线运动
重力	$A=mg(h_A-h_B)$	只与高度差有关
弹簧弹力	$A=\frac{1}{2}k{x}_A^2-\frac{1}{2}k{x}_B^2$	只与形变量有关
摩擦力	$A=-f_k\cdot s$（路程）	与路径有关！

动能定理

$\boxed{A_{\text{合}}=E_{k2}-E_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2}$

合外力做的功 = 质点动能的增量。

• 动能是状态量（由瞬时速度决定）—— 与「功是过程量」形成鲜明对比
• 动能定理对任何力（保守力 + 非保守力）都成立
• 动能依赖于参照系选取，但动能定理的形式在所有惯性系中相同

📐 例题：刹车距离

汽车质量 $1500\text{kg}$，以 $72\text{km/h}$（$=20\text{m/s}$）行驶，紧急刹车。轮胎与路面摩擦系数 $\mu =0.7$。求刹车距离。

解（用动能定理）：

1. 合外力 = 摩擦力：$f=\mu mg=0.7\times 1500\times 9.8=10290\text{N}$
2. 摩擦力做负功：$A=-f\cdot s$
3. 动能定理：$-fs=0-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
4. $s=\frac{m{v}_0^2}{2f}=\frac{1500\times 400}{2\times 10290}\approx 29.1\text{m}$

💡 注意：刹车距离正比于 $v_0^2$！速度翻倍，刹车距离翻四倍。

「过程量 vs 状态量」—— 本章最重要的概念区分

	过程量（依赖于路径/过程）	状态量（只取决于当前状态）
时间线	冲量 $I=\int Fdt$	动量 $p=mv$
空间线	功 $A=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$	动能 $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

考试陷阱：问「某时刻的冲量是多少」是无意义的——冲量不是瞬时量！同样，「某时刻的功」也没有物理意义。

✅ 本节检查：一辆车上坡和下坡，重力做的功一样吗？（提示：位移方向相反，$\cos \theta$ 的正负？）

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§2-4 质点的角动量定理 —— 转动中的「牛顿第二定律」

为什么学这个？

平动世界用 $\vec{F}=m\vec{a}$，转动世界用 $\vec{M}=d\vec{L}/dt$。这是完全平行的结构——力 $\leftrightarrow$ 力矩，动量 $\leftrightarrow$ 角动量。当你研究行星轨道、陀螺旋转、或者任何涉及「绕某点转动」的问题时，角动量比线动量自然得多。

力矩

$\boxed{\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}}$

大小：$M=rF\sin \theta =Fd$（$d=r\sin \theta$ 称为力臂）

力矩取决于参考点的选取！同一个力对不同参考点的力矩不同。

角动量（动量矩）

$\boxed{\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times (m\vec{v})}$

大小：$L=rmv\sin \theta =mv{r}_{\perp }$

角动量定理

$\boxed{\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}}$

合外力矩 = 角动量的时间变化率。

线量世界	角量世界
力 $\vec{F}$	力矩 $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$
动量 $\vec{p}=m\vec{v}$	角动量 $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$
$\vec{F}=d\vec{p}/dt$	$\vec{M}=d\vec{L}/dt$

角动量守恒定律

当 $\sum {\vec{M}}_{\text{外}}=0$ 时：

$\vec{L}=\text{常数}$

⚠️ 高频易错：角动量守恒的条件是合外力矩为零，不是合外力为零！有心力（如万有引力、库仑力）对力心的力矩恒为零，所以有心力场中角动量守恒。

直觉类比：花样滑冰运动员收臂时转速变快。因为合外力矩为零 → 角动量守恒 → $I\omega =\text{常数}$ → 转动惯量 $I$ 变小则角速度 $\omega$ 变大。

📐 用角动量守恒推导开普勒第二定律

行星受太阳引力（有心力，力矩为零）→ 角动量守恒： $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}=\text{常数}$

角动量大小 $L=mrv\sin \theta =m\cdot r\cdot (rd\theta /dt)\sin \theta$，对于平面运动 $\theta =90°$： $L=m{r}^2\frac{d\theta }{dt}$

而掠面速度 $=\frac{1}{2}{r}^2\frac{d\theta }{dt}=\frac{L}{2m}=\text{常数}$

这就是开普勒第二定律：行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积。

✅ 本节检查：一个质点做匀速直线运动，它对不在其运动直线上的某一点的角动量是守恒的吗？（提示：$\vec{r}\times \vec{v}$ 恒定吗？）

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§2-5 保守力与势能 —— 能量的「储存」机制

为什么学这个？

有些力（重力、弹力、万有引力、静电力）做功与路径无关，这意味着我们可以定义一个只依赖于位置的函数——势能——来描述「储存的做功能力」。这大大简化了问题：我们不需要每一步都算功，只需要知道起点和终点的势能差。

保守力的定义（三种等价表述）

1. 做功与路径无关：${\int }_{A(\text{路径1})}^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_{A(\text{路径2})}^B\vec{F}\cdot d\vec{r}$
2. 沿任意闭合路径做功为零：$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=0$
3. 存在势能函数 $E_p$ 满足 $\vec{F}=-\nabla E_p$

直觉类比：保守力 = 不管走楼梯还是坐电梯，到五楼重力做功一样。你消耗了同样的重力势能，只是人体内化学能的消耗路径不同而已。

保守力与势能的「翻译」关系

$\boxed{\vec{F}=-\nabla E_p}$

一维情况下：$F=-\frac{d{E}_p}{dx}$

保守力	势能 $E_p$	$F=-d{E}_p/dx$
重力	$mgh$	$-mg$（向下的恒力）
万有引力	$-\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$	$-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$（引力）
弹簧弹力	$\frac{1}{2}k{x}^2$	$-kx$（回复力）
静电力	$\frac{k{q}_1{q}_2}{r}$	$\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}$（同号排斥）

核心关系：保守力做功 = 势能的减少量 $\boxed{A_{\text{保}}=E_{p1}-E_{p2}=-\Delta E_p}$

万有引力与库仑力的矢量形式（优雅的统一）

${\vec{F}}_{12}=-G\frac{m_1{m}_2}{r^2}{\hat{e}}_r\text{（引力，负号表示吸引）}$

${\vec{F}}_{12}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\hat{e}}_r\text{（同号正=排斥，异号负=吸引）}$

💡 矢量写法中，正负号自动决定方向，比分别讨论「同号还是异号」优雅得多。数学替你做了判断。

🔍 万有引力为保守力的证明

$W={\int }_{r_A}^{r_B}\left(-G\frac{m_1{m}_2}{r^2}\right)dr=G{m}_1{m}_2\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right)$

结果只依赖 $r_A$ 和 $r_B$，与路径无关 → 保守力 ✅

✅ 本节检查：摩擦力是不是保守力？为什么？（提示：推箱子绕一圈回到原点，摩擦力做负功还是零？）

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§2-6 功能原理与机械能守恒 —— 能量的全局视角

为什么学这个？

动能定理 $A_{\text{合}}=\Delta E_k$ 对所有力一视同仁，但在实际问题中我们通常知道保守力的势能表达式。功能原理把保守内力做的功「内化」为势能变化，把焦点放在外力和非保守内力上，让能量分析更精确。

内力做功的关键事实

⚠️ 内力虽然成对等大反向，但做功之和不一定为零！

一对内力做的总功 = ${\vec{F}}_{12}\cdot d{\vec{r}}_{12}$（$d{\vec{r}}_{12}$ 是两质点的相对位移）。

例子：滑块在车板上滑动。摩擦力对滑块做负功 $-fS$，对车板做正功 $f(S-L)$（车板位移为 $S-L$），一对摩擦力总功 $=-fL$（$L$ 为相对滑动距离）。

一对内力做功 = 内力大小 × 相对位移

功能原理

将内力分解为保守内力 + 非保守内力：

$\boxed{A_{\text{外}}+A_{\text{非保守内}}=\Delta (E_k+E_p)=\Delta E_{\text{机械能}}}$

外力和非保守内力做的功 = 机械能的增量。

机械能守恒定律

当 $A_{\text{外}}=0$ 且 $A_{\text{非保守内}}=0$ 时：

$\boxed{E_k+E_p=\text{常量}}$

⚠️ 高频易错：弹簧弹性势能的变量是形变量 $\Delta x$，不是弹簧总长度！ $\text{❌ 错误：}{E}_p=\frac{1}{2}k{l}^2\text{✅ 正确：}{E}_p=\frac{1}{2}k(l-L_0{)}^2$ 其中 $L_0$ 是弹簧原长，$l$ 是当前长度。

弹簧连接体问题 —— 两守恒联立的经典范式

两球-弹簧系统（光滑水平面）：

两质量均为 $m$ 的物体由弹簧（劲度系数 $k$）连接。给左球一个瞬时冲量，使其获得速度 $v_0$。求弹簧最大压缩量。

1. 动量守恒（水平方向合外力为零）：$m{v}_0=m{v}_1+m{v}_2\Rightarrow v_1+v_2=v_0$
2. 机械能守恒（无摩擦、弹簧是保守力）：$\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{v}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_2^2+\frac{1}{2}k(\Delta x{)}^2$
3. 最大压缩条件：$v_1=v_2=v_0/2$（两球速度相同的瞬间，弹簧不再继续压缩）
4. 代入：$\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2\times 2+\frac{1}{2}k(\Delta x_{\max }{)}^2$
5. 解得：$\boxed{\Delta x_{\max }=v_0\sqrt{\frac{m}{2k}}}$

✅ 本节检查：如果桌面有摩擦（$\mu \ne 0$），机械能还守恒吗？如果不守恒，少掉的能量去哪了？

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§2-7 变质量问题

📌 本节用单质点视角处理变质量问题。第三章 §3-6 将从动量守恒视角给出更系统的处理——两种方法本质上等价。 —— 质量不再是常数的世界

为什么学这个？

火箭喷出燃气减重、雨滴下落吸附水汽增重、链条从桌面滑落……这些系统中质量随时间变化，经典的 $F=ma$ 不再成立。变质量问题教会我们从动量视角看世界，而不是死守 $F=ma$。

核心公式

$\boxed{\vec{F}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{dm}{dt}}$

• $\vec{F}$ 是系统受到的合外力（不包括质量流入/流出时的内部作用力）
• $m\frac{d\vec{v}}{dt}$：质量变化率为零时的加速度项（经典 $ma$）
• $\vec{v}\frac{dm}{dt}$：质量变化带来的动量变化率

💡 老师强调：不要死记公式！核心是动量的增量 = 合外力对时间的积累。无论落链、漏斗装沙还是火箭喷射，本质都是在求 $\Delta \vec{p}$。

特殊情况：吸附物初速度为零

当被吸附的物质在吸附前速度为零（如落链中即将离开桌面的链节、漏斗中下落的沙子），则 ${\vec{v}}_{\text{吸附物}}=0$，$\vec{v}\frac{dm}{dt}=0$：

$\vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}$

⚠️ 注意：此时 $m$ 仍然是时变的！虽然公式形式与 $F=ma$ 相同，但 $m$ 不再是常数。

两类经典变质量问题

类型	质量变化	典型例子	关键
减质量	$\frac{dm}{dt}<0$	火箭喷射燃料	排出物带走动量
增质量	$\frac{dm}{dt}>0$	落链、雨滴增长	吸附物引入动量

📐 例题：落链问题（完整推导）

题目：均匀链条总长 $L$、总质量 $M$。$t=0$ 时链条自然下垂，下垂长度 $x_0$。桌面光滑。求链条脱离桌面瞬间的速度。

解（用动能定理 + 微积分）：

1. 受力：下垂部分受重力 $mg=\frac{M}{L}x\cdot g$，桌上部分受支持力与重力平衡（不做功）
2. 功：重力做功 $A={\int }_{x_0}^L\frac{M}{L}xgdx=\frac{Mg}{L}\cdot \frac{L^2-x_0^2}{2}$
3. 动能定理：$A=\frac{1}{2}M{v}^2-0$
4. 解得：$v=\sqrt{gL\left(1-\frac{x_0^2}{L^2}\right)}$

若 $x_0\to 0$（初始几乎全部在桌面），$v\to \sqrt{gL}$。

📐 例题：火箭问题（齐奥尔科夫斯基公式思路）

火箭以相对速度 $u$ 向后喷出燃气，火箭质量 $m(t)$ 递减。取火箭 + 喷出燃气为系统：

1. $dt$ 时间内喷出质量 $-dm$（$dm<0$），获得速度增量 $dv$
2. 动量守恒：$mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-u)$
3. 整理得：$mdv=-udm$
4. 积分：${\int }_{v_0}^{v}dv=-u{\int }_{m_0}^m\frac{dm}{m}\Rightarrow v-v_0=u\ln \frac{m_0}{m}$

这就是著名的齐奥尔科夫斯基公式：$\boxed{\Delta v=u\ln \frac{m_0}{m}}$

💡 提高末速度的关键：增大喷气速度 $u$，或提高质量比 $m_0/m$。

✅ 本节检查：为什么 $F=ma$ 不能处理火箭问题？$F=d(mv)/dt$ 展开后多出的 $\vec{v}\frac{dm}{dt}$ 项在火箭问题中是否为零？

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§2-8 卫星运动与黑洞概念（拓展）

第一宇宙速度（环绕速度）

卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：

$\frac{GMm}{R^2}=\frac{m{v}^2}{R}\Rightarrow \boxed{v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}}$

对地球（$M\approx 5.97\times 10^{24}\text{kg}$，$R\approx 6371\text{km}$）：$v_1\approx 7.9\text{km/s}$

第二宇宙速度（逃逸速度）

逃逸条件：动能 ≥ 从地表到无穷远的引力势能增量：

$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0\Rightarrow \boxed{v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2}{v}_1}$

对地球：$v_2\approx 11.2\text{km/s}$

直觉类比：就像你想跳出一个坑，动能必须足够克服重力做的负功。逃逸速度就是「刚好能跳出地球引力坑」的最低速度。

黑洞的史瓦西半径

逃逸速度达到光速 $c$ 时，连光都无法逃脱：

$v_{\text{逃逸}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\ge c\Rightarrow \boxed{R_s=\frac{2GM}{c^2}}$

$R_s$ 称为史瓦西半径。任何物体被压缩到自身史瓦西半径以内，就成为黑洞。

💡 「吸收」指的是吸收电磁波（光/射电等）。任何密度极大的天体（中子星等）都有类似效应，不是黑洞独有。

天体	质量	史瓦西半径
地球	$6\times 10^{24}\text{kg}$	$\sim 9\text{mm}$
太阳	$2\times 10^{30}\text{kg}$	$\sim 3\text{km}$
超大质量黑洞	$10^9{M}_{\odot }$	$\sim 3\times 10^9\text{km}$（约 20 AU）

✅ 本节检查：第一宇宙速度推导中用到的物理原理是什么？如果地球质量减半，环绕速度和逃逸速度分别如何变化？

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📇 综合闪卡

遮住右边，看左边能不能答出来。所有卡片都是操作性问题——「怎么办」而非「是什么」。

#	问题	答案
1	碰撞问题中力变化剧烈、时间极短，首选什么定理？为什么？	动量定理。$\vec{I}=\Delta \vec{p}$，只需初末动量，不需要知道碰撞过程中的瞬时力。
2	怎么快速判断一个力是不是保守力？	看做功是否与路径无关——改变路径算两次，功一样就是保守力。等价：沿任意闭合路径做功是否为零。
3	怎么判断动量是否守恒？	看合外力是否为零。若只有某方向分量合力为零，则该方向动量守恒。
4	怎么判断机械能是否守恒？	看是否只有保守力做功（合外力做功为零 + 非保守内力做功为零）。注意：有摩擦力就不守恒。
5	角动量守恒的条件是什么？和动量守恒的条件有什么不同？	角动量：合外力矩为零。动量：合外力为零。有心力合外力不为零，但对力心力矩为零 → 角动量守恒。
6	求弹簧最大压缩量/最大拉伸量，应该怎么列方程？	联立动量守恒 + 机械能守恒，再利用最大形变时两物体速度相等作为临界条件。
7	遇到质量随时间变化的问题（火箭、落链），第一步应该怎么做？	从动量定理出发：$\vec{F}=d(m\vec{v})/dt$，展开得 $md\vec{v}/dt+\vec{v}dm/dt$。然后根据题意判断 $dm/dt$ 的符号和吸附物的初速。
8	计算一对内力做的总功时，怎么算最方便？	直接用内力大小 × 相对位移。不需要分别算每个力的功再相加。
9	势能和保守力之间怎么互相转化？	$\vec{F}=-\nabla E_p$。一维：$F=-d{E}_p/dx$。反过来 $E_p=-\int Fdx$（加积分常数）。
10	动能定理和机械能守恒有什么区别？什么时候用哪个？	动能定理：$A_{\text{合}}=\Delta E_k$，对所有力成立。机械能守恒：只有保守力做功时才成立。在保守力问题中用机械能守恒更便捷（直接由位置算势能，不用算功）。
11	做圆周运动的物体，怎么分析切向和法向？	切向力 $F_t=mdv/dt$ 改变速率；法向力 $F_n=m{v}^2/R$ 改变方向。合力 $\vec{F}={\vec{F}}_t+{\vec{F}}_n$。
12	为什么拳击手要戴拳击手套？	动量定理：$\Delta p$ 固定时，延长作用时间 $\Delta t$ 可以减小平均冲力 $⟨F⟩=\Delta p/\Delta t$。手套压缩变形 → $\Delta t$ 增大 → 力减小。
13	什么是「有心力」？为什么有心力场中角动量守恒？	有心力方向始终指向（或背向）固定点，对该点力矩 $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}=0$（$\vec{r}\parallel \vec{F}$），故角动量守恒。
14	重力势能的「零势能点」选在哪里最方便？	取决于问题。一般选最低点或地面为零点，使势能表达式最简单。关键是势能差不变——零点的选取不影响物理结果。
15	万有引力势能为什么是负的？	因为无穷远处定义为势能零点，从无穷远靠近引力源，引力做正功，势能减小变为负值。$E_p=-GMm/r$。
16	列出合外力为零的四种可能情况。	(1) 不受力；(2) 合力恰好为零；(3) 系统内物体间的碰撞/爆炸（内力 ≫ 外力，近似守恒）；(4) 某方向投影合力为零（该方向分量守恒）。
17	怎么理解「功是过程量，动能是状态量」？	功取决于力和路径的积分——不同路径功不同。动能取决于此刻的速度——知道速度就能直接算。就像银行余额（状态量）vs 每一笔存取款（过程量）。
18	落链问题中，如果桌面有摩擦，解法要加什么？	在动能定理中增加摩擦力做功项：$A_{\text{重}}+A_{\text{摩擦}}=\Delta E_k$。摩擦力功 $=-\int \mu \cdot \frac{M}{L}(L-x)gdx$（随桌上部分质量变化）。
19	弹簧弹性势能的正确表达式是什么？最容易犯的错误是什么？	$E_p=\frac{1}{2}k(\Delta x{)}^2$，$\Delta x=l-L_0$（形变量，不是总长度）。最常见的错误：把 $l$（总长度）直接代入。
20	第一宇宙速度和第二宇宙速度的推导分别用了什么原理？	第一宇宙速度：万有引力 = 向心力（圆周运动）。第二宇宙速度：机械能守恒（动能 + 引力势能 = 0，刚好飞至无穷远）。

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🧪 综合自测

A 组 · 概念判断题（10 题）

#	题目	答案
A1	「物体受到的冲量越大，它的动量也越大」这句话对吗？	❌ 冲量是过程量，动量是状态量。冲量大只说明动量变化大，不能说动量（瞬时值）大。
A2	一对作用力与反作用力，它们的冲量之和一定为零。	✅ 等大反向同时作用，${\vec{I}}_1+{\vec{I}}_2={\vec{F}}_{12}\Delta t+{\vec{F}}_{21}\Delta t=0$。
A3	一对内力做功之和一定为零。	❌ 内力做功之和 = 力 × 相对位移。只要两质点有相对位移，内力总功 ≠ 0。
A4	$F=ma$ 对所有速度都成立。	❌ 只在 $v\ll c$ 时近似成立。普遍形式是 $\vec{F}=d\vec{p}/dt$。
A5	摩擦力一定是非保守力。	✅ 摩擦力做功与路径有关（绕一圈回原点，摩擦力做负功）。
A6	行星绕太阳运动，机械能守恒。	✅ 无外力做功、无非保守内力（万有引力是保守力）。
A7	合外力为零的系统，角动量一定守恒。	❌ 角动量守恒条件是合外力矩为零。合外力为零时力矩必为零（充分但不必要），但有心力合外力不为零而力矩为零。
A8	重力势能的大小依赖于零势能点的选择，但势能差与之无关。	✅ 这是一个重要性质——物理上有意义的总是势能差。
A9	动能定理只在惯性系中成立。	✅ 动能定理在所有惯性系中形式相同（$\Delta E_k$ 不同，但 $A=\Delta E_k$ 始终成立）。
A10	火箭在真空中无法加速，因为没有空气可以「推」。	❌ 火箭依靠动量守恒推进——喷出燃气向后，火箭获得向前动量。不需要空气。

B 组 · 基本计算（7 题，含答案）

#	题目	答案
B1	质量 $2\text{kg}$ 的物体，速度从 $3\text{m/s}$ 增加到 $7\text{m/s}$，所受冲量大小？	$I=\Delta p=2\times 7-2\times 3=8\text{Ncdotps}$
B2	力 $F=5\text{N}$ 作用于物体使其沿力的方向移动 $4\text{m}$，求功。	$A=Fs=5\times 4=20\text{J}$
B3	子弹 $m=10\text{g}$，$v=800\text{m/s}$ 射入木块，穿出时 $v^{\prime }=200\text{m/s}$，求木块对子弹的冲量。	$I=m(v^{\prime }-v)=0.01(200-800)=-6\text{Ncdotps}$
B4	物体从 $10\text{m}$ 高处自由下落，落地时动能是多少？（$m=1\text{kg}$，$g=10$）	机械能守恒：$E_k=mgh=1\times 10\times 10=100\text{J}$
B5	弹簧 $k=200\text{N/m}$，被压缩 $0.1\text{m}$，储存的弹性势能？	$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}\times 200\times 0.01=1\text{J}$
B6	地球质量 $M=6\times 10^{24}\text{kg}$，$G=6.67\times 10^{-11}$，$R=6400\text{km}$，求第一宇宙速度（近似）。	$v_1=\sqrt{GM/R}=\sqrt{6.67\times 10^{-11}\times 6\times 10^{24}/6.4\times 10^6}\approx 7.9\text{km/s}$
B7	质点 $m=0.5\text{kg}$ 以 $v=4\text{m/s}$ 做半径 $r=2\text{m}$ 的匀速圆周运动，对圆心的角动量？	$L=rmv\sin 90°=2\times 0.5\times 4=4{\text{kgcdotpm}}^2/\text{s}$

C 组 · 综合应用（4 题，含提示）

#	题目	提示
C1	质量 $m$、长 $L$ 的均匀链条，从光滑桌面边缘下垂初始 $x_0=L/4$，桌面有摩擦系数 $\mu$。求脱离桌面时的速度。	动能定理：重力做功 $-\mu$ × 桌上部分正压力对位移的积分 $=\frac{1}{2}m{v}^2$。注意桌上部分质量 $=\frac{M}{L}(L-x)$，正压力 $N=\frac{M}{L}(L-x)g$。
C2	火箭初始质量 $m_0$，喷气相对速度 $u$，初始静止。求燃料烧掉一半时火箭的速度（忽略重力和空气阻力）。	齐奥尔科夫斯基公式：$\Delta v=u\ln (m_0/m)$。$m=m_0/2$，$v=u\ln 2$。
C3	质量 $m$ 的小球系于轻绳一端，另一端固定在光滑水平面的钉子上。给小球一个垂直于绳的初速度 $v_0$，绳渐渐绕在钉子上，绳长从 $r_0$ 减至 $r_0/2$。求此时小球的速度和绳中张力。	绳子拉力沿径向（有心力），力矩为零 → 角动量守恒：$m{r}_0{v}_0=m(r_0/2)v\Rightarrow v=2v_0$。张力 $T=m{v}^2/(r_0/2)=m(4v_0^2)/(r_0/2)=8m{v}_0^2/r_0$。
C4	两颗相同卫星 A 和 B，A 在轨道半径 $r$ 上做圆周运动，B 在 $2r$ 上。比较它们的：线速度比、周期比、总机械能比。	$v\propto 1/\sqrt{r}$ → $v_A/v_B=\sqrt{2}$；由开普勒第三定律 $T\propto r^{3/2}$ → $T_A/T_B=2^{-3/2}$；$E=-\frac{GMm}{2r}$ → $E_A/E_B=2$（A 势能更低但动能更高，综合更负即更束缚）。

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⚠️ 常见错误 Top 10

#	错误	正确理解
1	把冲量当成状态量，问「某一时刻的冲量」	冲量是过程量，必须对应时间间隔：$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$
2	把功当成状态量，问「某一时刻做的功」	功也是过程量，对应位移：$A=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$。只有动能才是状态量！
3	在变质量问题中仍用 $F=ma$	$m$ 不是常数时必须用 $F=d(mv)/dt$！火箭、落链、雨滴都在此列
4	弹簧弹性势能用总长度 $l$ 而非形变量 $\Delta x$	正确：$E_p=\frac{1}{2}k(l-L_0{)}^2$，$L_0$ 是原长
5	认为一对内力做功之和一定为零	内力做功之和 = 力 × 相对位移。摩擦力对滑块-车板系统的总功 = $-fL$ ≠ 0
6	混淆角动量守恒条件（合外力矩为零）和动量守恒条件（合外力为零）	有心力力矩为零但力不为零 → 角动量守恒但动量不守恒
7	机械能守恒时忘记排除非保守力	有摩擦力 → 机械能减小（转化为内能），不守恒
8	忘记载体（矢量）方向	动量定理和动量守恒是矢量方程，必须选正方向，所有速度带符号
9	认为只要合外力为零，角动量也一定守恒	正确（充分条件），但逆命题不成立：角动量守恒不需要合外力为零
10	混淆第一和第二宇宙速度	第一宇宙速度（环绕）：$v_1=\sqrt{GM/R}$ → 圆周轨道。第二宇宙速度（逃逸）：$v_2=\sqrt{2}{v}_1$ → 脱离地球引力束缚

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📋 公式速查

核心定理

定理	公式	物理含义
牛顿第二定律	$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$	力 = 动量变化率
动量定理	$\vec{I}=\Delta \vec{p}=m{\vec{v}}_2-m{\vec{v}}_1$	冲量 = 动量增量
动能定理	$A=\Delta E_k=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$	功 = 动能增量
角动量定理	$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$	力矩 = 角动量变化率
机械能守恒	$E_k+E_p=\text{常量}$（条件：只有保守力做功）	动能 + 势能 = 不变

守恒定律条件

守恒量	条件	公式
动量	$\sum {\vec{F}}_{\text{外}}=0$	$\sum m_i{\vec{v}}_i=\text{常数}$
角动量	$\sum {\vec{M}}_{\text{外}}=0$	$\sum {\vec{r}}_i\times m_i{\vec{v}}_i=\text{常数}$
机械能	$A_{\text{外}}=0$ 且 $A_{\text{非保守内}}=0$	$E_k+E_p=\text{常数}$

保守力与势能

保守力	势能	$F=-d{E}_p/dx$
重力（近地表）	$mgh$	$-mg$
万有引力	$-\frac{GMm}{r}$	$-\frac{GMm}{r^2}$
弹簧弹力	$\frac{1}{2}k{x}^2$	$-kx$
静电力	$\frac{k{q}_1{q}_2}{r}$	$\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}$

宇宙速度

速度	公式	地球值
第一宇宙速度（环绕）	$v_1=\sqrt{GM/R}$	$7.9\text{km/s}$
第二宇宙速度（逃逸）	$v_2=\sqrt{2GM/R}$	$11.2\text{km/s}$
史瓦西半径	$R_s=2GM/c^2$	—

变质量问题

$\vec{F}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{dm}{dt}$

齐奥尔科夫斯基公式：$\Delta v=u\ln \frac{m_0}{m}$（火箭，忽略外力）

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📖 相关章节：第一章 质点的运动 ← | → 第三章 质点系的运动定理

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笔记版本：完整版 v1.0 · 翻新于 2026-06-18 · 整合原版笔记 + 课堂语音笔记补充