第一章 质点的运动

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• 下一章：质点的运动定理

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§1-1 参照系·质点·运动学方程

参照系与坐标系

概念	说明
参照系	选择另一个物体作为描述运动的参考
坐标系	固定在参照系上的定量描述框架（直角坐标、极坐标等）

同一运动，不同参照系描述不同。

质点

将物体简化成一个具有质量的几何点，忽略大小和形状。

可简化为质点的情况：

• 物体尺寸 $\ll$ 研究范围
• 物体只做平动

位置矢量（位矢）

$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

在直角坐标系中，$P(x,y,z)$。

运动方程

描述质点位置随时间变化的函数：

$\vec{r}=\vec{r}(t),x=x(t),y=y(t),z=z(t)$

轨道方程：消去参数 $t$ 后得到的轨迹方程。

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§1-2 位移·速度·加速度

位移

$\Delta \vec{r}={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$

位移是矢量，与路径无关；路程 $\Delta s$ 是标量。

速度

类型	定义	公式
平均速度	$\vec{v}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$	矢量
瞬时速度	$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$	矢量，方向沿切线
平均速率	$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$	标量
瞬时速率	$v=\frac{ds}{dt}$	标量 $=

直角坐标系： $\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}+\frac{dz}{dt}\vec{k}$

加速度

$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}$

直角坐标系： $\vec{a}=\frac{d{v}_x}{dt}\vec{i}+\frac{d{v}_y}{dt}\vec{j}+\frac{d{v}_z}{dt}\vec{k}$

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§1-3 圆周运动·角量描述

切向加速度与法向加速度

将加速度分解为两个分量：

$\vec{a}={\vec{a}}_t+{\vec{a}}_n$

分量	大小	方向	物理意义
切向加速度 ${\vec{a}}_t$	$a_t=\frac{dv}{dt}$	沿切线	反映速度大小变化
法向加速度 ${\vec{a}}_n$	$a_n=\frac{v^2}{\rho }$	指向曲率中心	反映速度方向变化

总加速度大小：$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$

角量描述

角量	定义	关系
角位移	$\Delta \theta$	—
角速度	$\omega =\frac{d\theta }{dt}$	$v=\omega r$
角加速度	$\alpha =\frac{d\omega }{dt}$	$a_t=\alpha r$

圆周运动公式（匀变速）

$\omega ={\omega }_0+\alpha t$ $\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha (\theta -{\theta }_0)$

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§1-4 相对运动

伽利略坐标变换

设 $S^{\prime }$ 系相对 $S$ 系以速度 $\vec{u}$ 运动：

$\vec{r}={\vec{r}}^{\prime }+\vec{u}t,t=t^{\prime }$

速度合成（伽利略速度变换）

$\vec{v}={\vec{v}}^{\prime }+\vec{u}$

其中 $\vec{v}$ 为绝对速度，${\vec{v}}^{\prime }$ 为相对速度，$\vec{u}$ 为牵连速度。

加速度合成

在匀速直线相对运动时：$\vec{a}={\vec{a}}^{\prime }$

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本章核心公式汇总

物理量	矢量式	说明
位置	$\vec{r}(t)$	时间函数
速度	$\vec{v}=d\vec{r}/dt$	瞬时速度
加速度	$\vec{a}=d\vec{v}/dt=d^2\vec{r}/d{t}^2$	瞬时加速度
切向加速度	$a_t=dv/dt$	速度大小变化率
法向加速度	$a_n=v^2/\rho$	速度方向变化率
角速度	$\omega =d\theta /dt$	$\vec{v}=\omega \times \vec{r}$
相对速度	${\vec{v}}_{AB}={\vec{v}}_A-{\vec{v}}_B$	两个参照系之间