第二章 质点的运动定理

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§2-1 牛顿运动定理

牛顿三定律

第一定律（惯性定律）： 物体保持静止或匀速直线运动，直到外力迫使它改变运动状态。

不受力的物体保持原有运动状态；保持静止或匀速直线运动的参照系称为惯性参照系。

第二定律： $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt},\vec{p}=m\vec{v}$

当 $v\ll c$ 时（低速近似）： $\vec{F}=m\vec{a}$

自然坐标系中的第二定律： $F_t=m{a}_t=m\frac{dv}{dt},F_n=m{a}_n=m\frac{v^2}{\rho }$

第三定律： 作用力与反作用力大小相等、方向相反、分别作用在不同物体上、同时存在同时消失。

常见力

力的类型	公式
重力	$G=mg$（方向竖直向下）
弹力	胡克定律：$F=-kx$
摩擦力	静摩擦 $0\le f_s\le f_{s,\max }$；滑动摩擦 $f_k={\mu }_{k}N$
万有引力	$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$
浮力	$F_b=\rho Vg$（方向竖直向上）

惯性力（非惯性系中的”假力”）

在非惯性系中，为使牛顿第二定律形式上成立，引入惯性力：

${\vec{F}}_i=-m{\vec{a}}_0$

其中 ${\vec{a}}_0$ 是非惯性系相对于惯性系的加速度。

惯性力没有施力者（虚拟力），不存在反作用力。

常见惯性力：

• 平动非惯性系：${\vec{F}}_i=-m\vec{a}$
• 离心惯性力（旋转参照系）：${\vec{F}}_i=m{\omega }^{2}r$（方向沿半径向外）

解题步骤

1. 隔离物体：明确研究对象
2. 受力分析：画受力图
3. 建立坐标：选合适坐标系
4. 列方程：牛顿第二定律 $+$ 运动学公式
5. 解方程：求解未知量
6. 讨论结果：检验合理性

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§2-2 质点的动量定理

冲量

$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$

冲量是过程量，是力对时间的积累效应。

动量定理

$\vec{I}={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1=m{\vec{v}}_2-m{\vec{v}}_1$

合外力的冲量等于物体动量的增量。

动量定理常用于碰撞问题。

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§2-3 质点的动能定理

功

$A={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^{B}F\cos \theta ds$

功是过程量，是力对空间的积累效应。

功率： $P=\frac{dA}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}$

动能定理

$A=E_{k2}-E_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$

合外力对质点做的功等于质点动能的增量。

功和动能依赖于惯性系选取，但动能定理形式在不同惯性系中相同。

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§2-4 质点的角动量定理

力矩

$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$

大小：$M=rF\sin \theta =Fd$（$d$ 为力臂）。

角动量（动量矩）

$\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$

大小：$L=rmv\sin \theta =mv{r}_{\perp }$

角动量定理

$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$

合外力矩等于角动量对时间的变化率。

角动量守恒

当 $\vec{M}=0$ 时，$\vec{L}=\text{常数}$。

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§2-5 变质量问题（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（动量定解析，2026-04-09）

1.1 一般性公式

变质量问题讨论运动主体质量随时间变化的情况，有两个等价形式：

形式一：动量形式

F = dp/dt = d(Mv)/dt

形式二：展开形式

F = M(dv/dt) + v(dm/dt)

1.2 特殊情况：吸附物速度为零

当吸附物（落链、漏斗装沙等）被吸附前速度为零时，v·dm/dt = 0，公式退化为：

F = M(dv/dt) ⚠️ 老师强调： 不要死记公式！核心是动量的增量 = 合外力对时间的积累。落链、漏斗装沙、火箭喷射，本质都是求动量增量。

📌 例题：落链问题

链条总长 L，总质量 M，从桌面边缘下垂部分开始下落，桌面有摩擦。

• 重力做功：W重力 = ∫mg·ds（对下垂部分积分）
• 摩擦力做功：W摩擦 = -∫μmg·ds（与桌上部分质量有关，随下落变化）
• 求解：用动能定理 + 微积分

💡 大学物理中，微积分是护身符。不要套公式，要理解物理过程。

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§2-6 质点系动能定理与内力做功（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（动量定解析）

2.1 质点 vs 质点系

| 单个质点| 质点系
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做功来源| 仅合外力做功| 合外力做功 + 内力做功
内力影响| 无| 内力成对出现，但做功不一定为零
类比| “快乐的单身汉”| “集体中的成员，彼此有相互作用”

2.2 质点系动能定理

W外 + W内 = ΔEk

2.3 内力做功（重点！）

⚠️ 关键结论： 内力虽然成对等大反向，但做功之和不一定为零！

一对内力做功 = F21·dr21，只要两质点有相对位移，内力就做了功。

📌 滑块在车板上滑动

• 摩擦力对 A 做功：-fS（力向左，位移向右）
• 摩擦力对 B 做功：f(S-L)（B 相对地面位移 S-L）
• 一对摩擦力做功之和：-fL （L 为相对滑动距离）

💡 一对内力做功 = 内力大小 × 相对位移。

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§2-7 保守力与势能（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（动量定解析）

3.1 保守力的定义

保守力 做功只与初始和终止位置有关，与路径无关。等价：沿任意闭合路径做功为零。 “你从一楼跑到五楼去上课，走楼梯还是绕路？不管怎么走，做的功都一样。“——老师

3.2 万有引力与库仑力的矢量形式

万有引力

F12 = -Gm1m2/r2 · er

负号：引力方向与 er 相反

库仑力

F12 = kq1q2/r2 · er

同号为正（排斥），异号为负（吸引）

矢量写法中，正负号自动决定方向，比分别讨论更优雅。

3.3 万有引力保守力的证明

W = ∫rArB (-Gm1m2/r2) dr = Gm1m2(1/rB - 1/rA)

结果只依赖始末位置 → 与路径无关 ✅

3.4 力与势能的关系

F = -∇Ep （力等于势能梯度的负值） 保守力	势能 Ep	F = -dEp/dx
重力	mgh	-mg
万有引力	-Gm1m2/r	-Gm1m2/r²
弹簧弹性力	½kx²	-kx
静电力	kq1q2/r	kq1q2/r²
核心： 保守力做功 = 势能的减少量，即 W = Ep1 - Ep2

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§2-8 功能原理与机械能守恒（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（动量定解析）

4.1 功能原理

将内力做功分为保守内力和非保守内力：

W外 + W非保守内 = Δ(Ek + Ep) = ΔE机械能

4.2 机械能守恒定律

当 W外 = 0 且 W非保守内 = 0 时：

Ek + Ep = 常量 ⚠️ 易错：弹簧弹性势能变量
Ep = ½k(Δx)²，Δx 是形变量，不是总长度！
原长 L₀，当前 l → Δx = l - L₀
错误：½kl² ✅ 正确：½k(l - L₀)²

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§2-9 弹簧连接体问题（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（动量定解析）

📌 两球-弹簧系统（光滑水平面）

两质量 m 的物体，弹簧 k 连接。给一球冲量 v₀。

1. 动量守恒： mv₀ = mv + mv’ → v + v’ = v₀
2. 机械能守恒： ½mv₀² = ½mv² + ½mv’² + ½k(Δx)²
3. 最大压缩： v = v’ = v₀/2 时 → Δxmax = v₀√(m/2k)

📌 弹簧连接体绕轴转动

m₁、m₂ 用弹簧连接，绕中点竖直轴转动。

1. 角动量守恒： 弹簧拉力沿轴线 → 力矩为零 → 角动量守恒
2. 机械能守恒： 弹簧是保守力
3. 联立两守恒方程 + 运动学关系求解

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§2-10 卫星问题与黑洞概念（语音笔记补充）

📝 来源：课堂语音转文字笔记（动量定解析）

5.1 环绕速度（第一宇宙速度）

GMm/R² = mv²/R → v = √(GM/R)

5.2 逃逸速度（第二宇宙速度）

½mv² - GMm/R = 0 → v = √(2GM/R) ≈ 11.2 km/s

v逃逸 = √2 × v环绕

💡 类比光电效应： 你想离开地球，但引力拉着你。动能足够才能逃逸。

5.3 黑洞概念

v逃逸 ≥ c → R ≤ 2GM/c²（史瓦西半径）

逃逸速度超过光速 → 连光都无法逃脱 → 黑洞。“吸收”指吸收电磁波。密度极大的天体（中子星等）都有类似效应。

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