第二章 矩阵代数

第二章 矩阵代数 — 精简核心笔记

---

§1 矩阵的运算

线性运算（加法 + 数乘）

• 同型矩阵才能相加：$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$
• 负矩阵 $-A=(-a_{ij})$，减法定义为 $A-B=A+(-B)$
• 数乘：$kA=(k{a}_{ij})$
• 线性运算性质：8条运算律，与向量完全一致

矩阵乘法（核心！）

• 条件：左矩阵列数 = 右矩阵行数
• 公式：$c_{ij}={\sum }_{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$（左行 × 右列，内积）
• 结果形状：$A_{m\times s}\cdot B_{s\times n}=C_{m\times n}$

乘法与数的本质区别（必背！）

数的乘法	矩阵乘法
$ab=0\Rightarrow a=0$ 或 $b=0$	$AB=O$ 不一定 $A=O$ 或 $B=O$
$ab=ba$（交换律成立）	$AB=BA$ 一般不成立
$ac=ad,a\ne 0\Rightarrow c=d$	$AC=AD,A\ne O$ 不一定 $C=D$

• 运算律：结合律、左右分配律、$AE=A$、$AO=O$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$（顺序颠倒！）

若$A=PQ$,则：

$A^n=P(QP{)}^{n-1}Q$

§2 逆矩阵

定义

$AB=BA=E\iff B=A^{-1}$（逆矩阵唯一） 注：因为逆矩阵唯一，故而只要有$BA=E$，则可以说明B是A的逆矩阵（用于逆矩阵求解）

判定方法

方法	条件
定义法	验证 $AB=E$（或 $BA=E$，只验一个即可）
初等变换法	$(A\mid E)\stackrel{r}{\to }(E\mid A^{-1})$
方程组法	$A\mathbf{x}=0$ 只有零解 $\iff A$ 可逆

核心性质

性质	公式
逆的逆	$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
乘积的逆	$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
转置的逆	$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
数乘的逆	$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$（$\lambda \ne 0$）

$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$，切记！

---

§3 初等矩阵

三类初等矩阵

类型	记号	逆矩阵
对换	$P(i,j)$	$P(i,j)$（自身）
数乘	$P(i(k))$	$P(i(\frac{1}{k}))$
倍加	$P(i,j(k))$	$P(i,j(-k))$

初等变换 ↔ 矩阵乘法

• 行变换 = 左乘初等矩阵
• 列变换 = 右乘初等矩阵

重要推论：初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。

---

§4 特殊矩阵

对称 vs 反对称

类型	定义	特点
对称矩阵	$A^T=A$	$a_{ij}=a_{ji}$，主对角线对称
反对称矩阵	$A^T=-A$	$a_{ii}=0$，$a_{ij}=-a_{ji}$

分解定理：$A=\frac{A+A^T}{2}$（对称）$+\frac{A-A^T}{2}$（反对称）

对角矩阵

$\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$

• 可逆 $\iff$ 所有 ${\lambda }_i\ne 0$
• 逆矩阵：${\Lambda }^{-1}=\text{diag}({\lambda }_1^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1})$

正交矩阵

$A^{T}A=E\iff A^{-1}=A^T$

• 列（行）向量两两正交且模长为 1
• $\det A=\pm 1$

---

§5 分块矩阵

乘法关键规则

• $A_{m\times l}\cdot B_{l\times n}=C_{m\times n}$
• 列分块与行分块必须匹配：$A$ 的列划分 = $B$ 的行划分
• $C_{ij}=A_{i1}{B}_{1j}+A_{i2}{B}_{2j}$

分块对角矩阵

$A=\text{diag}(A_1,\cdots ,A_s)\Rightarrow \det A=\prod \det A_i,A^{-1}=\text{diag}(A_1^{-1},\cdots ,A_s^{-1})$

---

本章核心框架

矩阵运算（线性运算 → 乘法 → 幂）
    ↓
逆矩阵（定义 + 判定 + 求法）
    ↓
初等矩阵 ↔ 初等变换
    ↓
特殊矩阵（对称/反对称 + 对角 + 正交）
    ↓
分块矩阵（化整为零）

---

本章关键词

矩阵乘法 · 逆矩阵 · 初等矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 对角矩阵 · 正交矩阵 · 分块矩阵