第三章 行列式

第三章 行列式 — 精简核心笔记

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§1 行列式的定义

低阶行列式（对角线法则）

二阶： $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

三阶： $\det A={\sum }_{6\text{ 项}}(-1{)}^{\tau }{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}{a}_{3j_3}$

对角线法则仅适用二阶、三阶，四阶及以上需用性质或展开。

n 阶行列式的一般定义

$\det A={\sum }_{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$

• $n!$ 项：每项取不同行、不同列的 $n$ 个元素乘积
• 符号 $(-1{)}^{\tau }$：由排列逆序数决定

排列基础

• n 级排列：$n$ 个数的有序排列，共 $n!$ 个
• 逆序数 $\tau$：排列中”大数在小数前”的个数之和
• 奇/偶排列：逆序数奇 $\Rightarrow$ 奇排列；偶 $\Rightarrow$ 偶排列
• 对换：一次对换改变排列奇偶性

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§2 行列式的性质（计算核心）

行与列具有同等地位，所有性质对列同样成立。

性质	内容
1. 转置不变	$\det A^T=\det A$
2. 对换变号	互换两行（列），$\det$ 变号
3. 比例为零	两行（列）相同或成比例，$\det =0$
4. 数乘提取	某行（列）$\times k$，整体 $\times k$（不是 $\times k^n$）
5. 拆分性	某行（列）为两数之和，可拆为两行列式之和
6. 倍加不变	最常用！ 某行 $k$ 倍加到另一行，$\det$ 不变

化三角形法（最常用计算方法）

利用**性质6（倍加不变）**将行列式化为上三角形，主对角线元素乘积即为值：

$\det A=a_{11}\cdot a_{22}^{(1)}\cdot a_{33}^{(2)}\cdots$

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§3 行列式展开定理

余子式与代数余子式

• 余子式 $M_{ij}$：划去 $a_{ij}$ 所在行列后的 $n-1$ 阶子式
• 代数余子式 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

展开定理

$\det A=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}\text{（按第 }i\text{ 行展开）}$

正交性： $a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=\{\begin{array}{ll}\det A,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

降阶法

选择零元素较多的行（列）展开，逐步降低阶数。

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§4 行列式与可逆性

核心判据

$A\text{ 可逆}\iff \det A\ne 0$

行列式的运算规律

公式	内容
$\det (AB)=\det A\cdot \det B$	乘积公式
$\det (A^k)=(\det A{)}^k$	幂公式
$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$	逆矩阵公式
$\det (kA)=k^n\det A$	数乘公式（$n$ 阶）

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§5 伴随矩阵

定义

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$

第 $i$ 列是原矩阵第 $i$ 行的代数余子式（转置关系）。

核心公式

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=(\det A)E$

逆矩阵的伴随矩阵法

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }(\det A\ne 0)$ 若$detA＝k$，则${detA}^{\ast }＝k^{n－1}$

§6 Cramer（克莱姆）法则

6.1 法则陈述

对于 $n$ 元线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，即：

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad\ \ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$$ 记系数行列式 $D = \det A$，并令 $D_j$ 为将 $A$ 的**第 $j$ 列**替换为常数项列向量 $\mathbf{b} = (b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$ 后所得矩阵的行列式。 > **Cramer 法则**：若 $D \neq 0$，则方程组有**唯一解**： > > $$\boxed{x_1 = \frac{D_1}{D},\quad x_2 = \frac{D_2}{D},\quad \cdots,\quad x_n = \frac{D_n}{D}}$$ ### 6.2 原理简述 设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$（列向量），则方程可写为： $$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = \mathbf{b}$$ 将 $\det(\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\mathbf{b},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)$ 按第 $j$ 列展开，利用行列式性质即得 $D_j = x_j \cdot D$。 ### 6.3 适用条件 - ✅ 方程个数 **=** 未知量个数（系数矩阵为**方阵**） - ✅ 系数行列式 $D = \det A \neq 0$ - ❌ $D = 0$ 时**不能**使用 Cramer 法则（需用消元法或矩阵秩分析） - ❌ 非方阵方程组**不能**直接使用 --- ### 6.4 例题 #### 例 1：二元方程组（基本题） 解方程组： $$\begin{cases} 2x_1 + \ x_2 = 5 \\ \ x_1 - 3x_2 = -1 \end{cases}$$ **解**： 系数行列式： $$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0$$ 计算 $D_1$（将第 1 列换为常数项）： $$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} = 5 \times (-3) - 1 \times (-1) = -15 + 1 = -14$$ 计算 $D_2$（将第 2 列换为常数项）： $$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \times (-1) - 5 \times 1 = -2 - 5 = -7$$ 由 Cramer 法则： $$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-14}{-7} = 2,\quad x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-7}{-7} = 1$$ > **答案**：$x_1 = 2,\ x_2 = 1$ --- #### 例 2：三元方程组（常规题） 解方程组： $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 + x_2 - x_3 = -3 \end{cases}$$ **解**： 系数行列式（按第一行展开或化三角形）： $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ 用性质计算：$r_2 - 2r_1$，$r_3 - r_1$： $$= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -5 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (-5)(-2) - (-1)(-1) = 10 - 1 = 9 \neq 0$$ 计算 $D_1$： $$D_1 = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1,\ r_3+r_1} \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3$$ 计算 $D_2$： $$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -3 & -1 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-r_1} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & -6 & -2 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -6 & -2 \end{vmatrix} = 4-6 = -2$$ 计算 $D_3$： $$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-r_1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -5 & -2 \\ 0 & -1 & -6 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -5 & -2 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} = 30 - 2 = 28$$ 由 Cramer 法则： $$x_1 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},\quad x_2 = \frac{-2}{9},\quad x_3 = \frac{28}{9}$$ --- #### 例 3：含参数的三元方程组（理论题） 讨论 $\lambda$ 取何值时，方程组有唯一解，并用 Cramer 法则求解： $$\begin{cases} \lambda x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + \lambda x_2 + x_3 = \lambda \\ x_1 + x_2 + \lambda x_3 = \lambda^2 \end{cases}$$ **解**： 系数行列式： $$D = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$$ 将第 2, 3 行加到第 1 行（或利用对称性）：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} \lambda+2 & \lambda+2 & \lambda+2 \ 1 & \lambda & 1 \ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & \lambda & 1 \ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} \[8pt] &= (\lambda+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & \lambda-1 & 0 \ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda+2)(\lambda-1)^2 \end{aligned}

当 $D \neq 0$，即 $\lambda \neq -2$ 且 $\lambda \neq 1$ 时，有唯一解。 计算 $D_1$： $$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \lambda & \lambda & 1 \\ \lambda^2 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \cdots = -(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-1)$$ 由 $x_1 = D_1/D$ 可得具体值（此处略去 $D_2, D_3$ 的详细计算）。 > **关键结论**：参数题的核心是**先判断何时 $D \neq 0$**，再代公式。 --- ### 6.5 Cramer 法则的优缺点 | 优点 | 缺点 | |------|------| | 公式统一，形式优美 | 需计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式，计算量 $\sim (n+1)!$ | | 可直接求出**单个**未知量 | 当 $n \geq 4$ 时极度低效，**不实用** | | 便于理论分析（如参数讨论） | 仅适用于 $D \neq 0$ 的情形 | | 揭示解与系数的显式关系 | 对含入误差的数值计算不稳定 | > ⚠️ **考试提示**：Cramer 法则在考试中主要考察**理论应用**（如含参数讨论），实际求解 $n \geq 4$ 的方程组应使用**消元法**。 --- ## §7 方程组解的行列式判定 | 方程组类型 | 条件 | 结论 | |-----------|------|------| | **齐次** $A\mathbf{x}=0$ | $\det A \neq 0$ | 只有**零解** | | **齐次** $A\mathbf{x}=0$ | $\det A = 0$ | 有**非零解**（无穷多）| | **非齐次** $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ | $\det A \neq 0$ | 有**唯一解** | | **非齐次** $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ | $\det A = 0$ | 需进一步分析（可能无解或无穷多解）| --- ## §8 范德蒙德行列式 (Vandermonde) ### 定义 范德蒙德行列式是一类具有特殊结构形式的行列式，其第 $i$ 行（$i=1,2,\cdots,n$）由 $n$ 个数的 $i-1$ 次幂构成（**常用列形式**）： $$V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{\,n-1} & x_2^{\,n-1} & x_3^{\,n-1} & \cdots & x_n^{\,n-1} \end{vmatrix}$$ > **注**：行列出现在常见教材中会交换。转置后结果不变，因此**行列形式等价**。 ### 公式 范德蒙德行列式有简洁的**封闭乘积公式**： $$\boxed{V_n = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)}$$ 展开即为： $$V_n = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\cdots(x_n - x_1) \cdot (x_3 - x_2)\cdots(x_n - x_2) \cdots (x_n - x_{n-1})$$ > 共 $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$ 个因子的乘积。 ### 特例（常用） **$n=2$：** $$V_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix} = x_2 - x_1$$ **$n=3$：** $$V_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{vmatrix} = (x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)$$ ### 证明思路（数学归纳法） 1. **$n=2$ 时**：$V_2 = x_2 - x_1$，公式成立。 2. **假设 $n-1$ 阶成立**，对 $n$ 阶行列式： - 从最后一行起，每行减去上一行的 $x_1$ 倍（**倍加不变**） - 按第一列展开，提出公因子 $(x_i - x_1)$ - 得到 $n-1$ 阶范德蒙德行列式，由归纳假设得证。 ### 关键推论 | 条件 | 结论 | |------|------| | $x_1, x_2, \cdots, x_n$ **互不相等** | $V_n \neq 0$ | | 存在 $x_i = x_j\ (i \neq j)$ | $V_n = 0$ | ### 应用 1. **判断向量组线性无关性**：若 $x_1,\cdots,x_n$ 两两不同，则由范德蒙德行列式对应的向量组线性无关 2. **多项式插值**：Lagrange 插值的存在唯一性依赖于范德蒙德行列式非零 3. **证明组合恒等式**：利用行列式表示和连乘积公式的等价性 4. **矩阵可逆判定**：范德蒙德矩阵可逆 $\Leftrightarrow$ $x_i$ 互不相同 ### 变体形式 范德蒙德行列式也有"缺项"或"加行加列"的变形题目，常见技巧是利用**行列式性质**构造标准范德蒙德形式后再代入公式。 --- ## 本章核心框架 ``` 排列 / 逆序数 → 行列式定义（n!项展开） ↓ 行列式性质（倍加不变 ⇢ 化三角形法） ↓ 展开定理（降阶法） ↓ 伴随矩阵（A·A* = (det A)E） ↓ 可逆判定（det A ≠ 0） ↓ Cramer 法则（唯一解公式） ↓ 范德蒙德行列式（$\prod_{i<j}(x_j-x_i)$） ``` --- ## 本章关键词 行列式 · 排列 · 逆序数 · 展开定理 · 代数余子式 · 伴随矩阵 · Cramer 法则 · 化三角形法 · 可逆判定 · 范德蒙德行列式