第一章 线性方程组

第一章 线性方程组 — 精简核心笔记

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§1 向量与矩阵

向量

• n 维向量：n 个有序数组成的有序数组 $\mathbf{\alpha }=(a_1,\cdots ,a_n)$
• 相等：对应分量分别相等
• 线性运算：加法 $(a_i+b_i)$、数乘 $(k{a}_i)$、负向量、零向量
• 运算规律：交换律、结合律、分配律 — 与数运算完全类似

矩阵

• $m\times n$ 矩阵：数域 $P$ 上的 m 行 n 列表 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$
• 特殊矩阵：方阵、行/列向量、零矩阵 $O$、上/下三角矩阵、对角矩阵
• 矩阵与向量：列分块 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$；行分块

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§2 线性方程组的基本问题

线性方程组

• n 元线性方程：$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$
• 齐次（$b_i=0$）：必有零解；非齐次（$\exists b_i\ne 0$）
• 基本问题：存在性（是否有解）+ 唯一性（解是否唯一）

解的三种情况

情况	条件
无解	增广矩阵出现矛盾行（如 $[00\mid 1]$）
唯一解	主元列数 = 未知量个数 $n$
无穷多解	主元列数 $<$ 未知量个数 $n$

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§3 高斯消元法（核心工具）

三种初等行变换

变换	记号	效果
对换	$r_i\leftrightarrow r_j$	变号
数乘	$k\times r_i$（$k\ne 0$）	扩大 $k$ 倍
倍加	$r_i+k{r}_j$	不变（最常用！）

初等行变换不改变方程组的解集，变换前后等价。

高斯消元法步骤

1. 写增广矩阵 $[A\mid \mathbf{b}]$
2. 用初等行变换化为阶梯形矩阵
3. 由阶梯形判断是否有解
4. 继续化为行最简形，回代求解

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§4 阶梯形与行最简形

阶梯形（REF）

• 所有非零行在零行之上
• 每行首个非零元素（主元）在上一行主元右边

行最简形（RREF）

• 满足阶梯形条件 + 主元均为 1 + 主元列其他元素全为 0
• 行最简形唯一（不同初等变换路线最终结果相同）

主元与变量分类

• 主元列 $\Rightarrow$ 基本变量（唯一出现在某行首）
• 非主元列 $\Rightarrow$ 自由变量（可任意取值）

$\text{自由变量数}=n-\text{主元个数}$

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例 ：求解线性方程组

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+2x_4+x_5=1\\ x_1+x_2+2x_3+3x_4+4x_5=2\\ 2x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=3\end{array}$

解： 增广矩阵化为行最简形后，得：

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1& 0& 6\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

基本变量：$x_1,x_2,x_3,x_5$；自由变量：$x_4=k$（任意常数）。

通解： $\{\begin{array}{l}{x}_1=4-k\\ x_2=6-k\\ x_3=-k\\ x_4=k\\ x_5=0\end{array}(k\in \mathbb{R})$

本章核心框架

向量 / 矩阵基础
    ↓
线性方程组 ⇔ 增广矩阵
    ↓
高斯消元法（初等行变换）
    ↓
阶梯形 → 判解 → 行最简形 → 求解
    ↓
基本变量用自由变量表示 → 通解

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本章关键词

高斯消元法 · 初等行变换 · 阶梯形 · 行最简形 · 主元 · 基本变量 · 自由变量 · 增广矩阵