第2章 矩阵代数

§2.1 & 2.2 矩阵的代数运算

一、同型矩阵与矩阵相等

• 同型：行数相等且列数相等的两个矩阵
• 相等：同型且对应元素全相等，即 $a_{ij}=b_{ij}$

二、矩阵的线性运算

加法、数乘、负矩阵

运算	定义	条件
$A+B$	$(a_{ij}+b_{ij})$	必须同型
$\lambda A$	$(\lambda a_{ij})$	$\lambda$ 为任意数
$-A$	$(-a_{ij})$	负矩阵
$A-B$	$A+(-B)$	同型

九条运算性质

序号	性质	类型
(1)	$A+B=B+A$	交换律
(2)	$(A+B)+C=A+(B+C)$	结合律
(3)	$A+O=A$	零元
(4)	$A+(-A)=O$	负元
(5)	$1\cdot A=A$	幺元
(6)	$k(lA)=(kl)A$	数乘结合
(7)	$k(A+B)=kA+kB$	左分配
(8)	$(k+l)A=kA+lA$	右分配
(9)	$kA=O\Rightarrow k=0\text{ 或 }A=O$	—

线性组合

$B=k_1{A}_1+k_2{A}_2+\cdots +k_s{A}_s$，称 $B$ 可由 $A_1,\cdots ,A_s$ 线性表示（线性组合）。

三、矩阵乘法

定义

设 $A_{m\times s}$，$B_{s\times n}$，则 $C_{m\times n}=AB$，其中：

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}={\sum }_{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$

乘法规则：左行 × 右列（第 $i$ 行与第 $j$ 列的内积）。

前提条件：左矩阵列数 = 右矩阵行数。

矩阵乘法 vs 数的乘法（三大区别）

数的乘法	矩阵乘法
$ab=0\Rightarrow a=0$ 或 $b=0$	$AB=O\nRightarrow A=O$ 或 $B=O$（零因子）
$ab=ba$（交换律成立）	$AB\ne BA$（交换律一般不成立）
$ac=ad,a\ne 0\Rightarrow c=d$	$AC=AD,A\ne O\nRightarrow C=D$（消去律不成立）

⚠️ 核心教训：矩阵乘法是线性代数中最”不直觉”的运算——交换律、消去律均不成立，存在零因子！

矩阵乘法的运算规律

规律	公式
结合律	$(AB)C=A(BC)$
左分配律	$A(B+C)=AB+AC$
右分配律	$(A+B)C=AC+BC$
数乘结合律	$(kA)B=A(kB)=k(AB)$
零矩阵	$AO=O,OA=O$
单位矩阵	$E_m{A}_{m\times n}=A_{m\times n}{E}_n=A$

$\lambda E$ 与任何同阶方阵可交换。

四、矩阵的幂与多项式

幂（仅方阵）：$A^0=E,A^k=\underset{k\text{ 个}}{\underbrace{A\cdots A}}$

• $A^k{A}^l=A^{k+l}$，$(A^k{)}^l=A^{kl}$
• $(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$（除非 $AB=BA$）

矩阵多项式：$f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m$，则 $f(A)=a_{0}E+a_{1}A+\cdots +a_m{A}^m$

同一个矩阵的多项式之间可交换。

重要：$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ 仅当 $AB=BA$ 时才成立！

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§2.3 逆矩阵

一、定义与唯一性

定义 2.3.1：对 $n$ 阶方阵 $A$，若存在 $B$ 使 $AB=BA=E$，称 $A$ 可逆，$B=A^{-1}$。

说明：

1. 可逆矩阵必为方阵
2. 逆矩阵唯一（证明：设 $B,C$ 均为逆，则 $B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$）

判定方法：

方法	内容
方法一	定义法：找 $B$ 验证 $AB=BA=E$
方法二（简化）	同阶方阵，只验证 $AB=E$（或 $BA=E$）即可推出互为逆

二、可逆矩阵的运算性质

序号	性质
(1)	$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
(2)	$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}(\lambda \ne 0)$
(3)	$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$（穿鞋脱鞋：逆序！）
推广	$(A_1\cdots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_1^{-1}$
(4)	$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

⚠️ $(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$！$A+B$ 甚至不一定可逆。

方程证可逆法：若 $A^2+2A-E=O$，则 $A(A+2E)=E$，故 $A$ 可逆且 $A^{-1}=A+2E$。

矩阵方程求解（$A$ 可逆）：

方程	解
$AX=B$	$X=A^{-1}B$
$XA=B$	$X=B{A}^{-1}$
$AXB=C$	$X=A^{-1}C{B}^{-1}$

三、初等矩阵

由单位矩阵 $E$ 经一次初等变换得到：

类型	操作	记号	逆矩阵
I（对换）	交换 $i,j$ 行（列）	$P(i,j)$	$P(i,j)$（自身）
II（数乘）	第 $i$ 行（列）乘 $k\ne 0$	$P(i(k))$	$P(i(\frac{1}{k}))$
III（倍加）	第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行	$P(i,j(k))$	$P(i,j(-k))$

引理 2.3.1：对 $A$ 施行一次初等行（列）变换 = 左（右）乘对应的初等矩阵。

• 行变换 → 左乘初等矩阵
• 列变换 → 右乘初等矩阵

初等矩阵均可逆，逆矩阵仍为初等矩阵。

四、用初等行变换求逆矩阵

可逆判定定理 2.3.4

以下命题等价（$A$ 为 $n$ 阶方阵）：

1. $A$ 可逆
2. $A\mathbf{x}=0$ 只有零解
3. $A$ 与 $E$ 行等价（$A\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }E$）

推论：$A$ 可逆 $\iff$ $A$ 可表示为若干初等矩阵的乘积。

求逆方法：$(A\mid E)\stackrel{r}{\to }(E\mid A^{-1})$

步骤：

1. 构造分块矩阵 $(A\mid E)$
2. 用纯行变换（不可混合列变换）将左侧化为 $E$
3. 右侧自然变为 $A^{-1}$
4. 若化不出 $E$（某行全零）→ $A$ 不可逆

同理可用列变换：$\left(\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right)\stackrel{c}{\to }\left(\begin{array}{c}E\\ A^{-1}\end{array}\right)$

求 $A^{-1}B$：$(A\mid B)\stackrel{r}{\to }(E\mid A^{-1}B)$，无需先求逆再乘。

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§2.4 转置矩阵与特殊方阵

一、转置矩阵

$(A^T{)}_{ij}=a_{ji}$（行列互换）

序号	性质
(1)	$(A^T{)}^T=A$
(2)	$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
(3)	$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
(4)	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$（逆序！）
(5)	$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$（可逆时）

推广：$(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$

二、对称矩阵与反对称矩阵

类型	定义	特征
对称矩阵	$A^T=A$	$a_{ij}=a_{ji}$，以主对角线为对称轴
反对称矩阵	$A^T=-A$	$a_{ij}=-a_{ji}$，主对角线元素必为 $0$

乘积的对称性：$A,B$ 对称 $\nRightarrow$ $AB$ 对称；$AB$ 对称 $\iff$ $AB=BA$。

矩阵的对称-反对称分解定理

任意方阵 $A$ 可唯一表示为对称矩阵与反对称矩阵之和：

$A=\underset{\text{对称}}{\underbrace{\frac{A+A^T}{2}}}+\underset{\text{反对称}}{\underbrace{\frac{A-A^T}{2}}}$

三、对角矩阵

$\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

运算	结果
加法	$\text{diag}({\lambda }_i)+\text{diag}({\mu }_i)=\text{diag}({\lambda }_i+{\mu }_i)$
乘法	$\text{diag}({\lambda }_i)\cdot \text{diag}({\mu }_i)=\text{diag}({\lambda }_i{\mu }_i)$
可逆条件	所有 ${\lambda }_i\ne 0$
逆矩阵	$[\text{diag}({\lambda }_i){]}^{-1}=\text{diag}({\lambda }_i^{-1})$

特殊对角矩阵：

• 单位矩阵 $E$：${\lambda }_i=1$（主对角线全 1）
• 数量矩阵 $\lambda E$：${\lambda }_i=\lambda$（主对角线为同一常数）

四、正交矩阵

定义：$n$ 阶实矩阵 $A$ 满足 $A^{T}A=E$，则称 $A$ 为正交矩阵。

由定义得 $A^T=A^{-1}$，故正交矩阵必可逆。

列向量视角：$A$ 正交 $\iff$ $A$ 的列（行）向量两两正交且模长为 1（标准正交组）。

性质：

性质	内容
逆	$A^{-1}=A^T$ 也是正交矩阵
乘积	两正交矩阵之积仍是正交矩阵
行列式	$\det A=\pm 1$

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§2.5 分块矩阵

一、分块矩阵的基本运算

分块：用横竖线将大矩阵分割成子块，以子块为元素的”形式矩阵”。

运算规则（形式上与普通矩阵一致）：

• 加法/数乘：对应子块相加/乘
• 乘法：左行 × 右列，子块相乘求和——要求 $A$ 的列分块与 $B$ 的行分块匹配
• 转置：形式转置 + 每个子块内部也转置：${\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}{A}^T& C^T\\ B^T& D^T\end{array}\right)$

二、分块对角矩阵（准对角矩阵）

$A=\text{diag}(A_1,A_2,\cdots ,A_s)=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)$

其中每个 $A_i$ 为方阵。

核心性质：

性质	公式
行列式	$\det A=\det A_1\cdot \det A_2\cdots \det A_s$
可逆条件	每个 $A_i$ 均可逆
逆矩阵	$A^{-1}=\text{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1},\cdots ,A_s^{-1})$
乘法	对应子块相乘：$\text{diag}(A_i)\cdot \text{diag}(B_i)=\text{diag}(A_i{B}_i)$

分块上三角：$M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)$，则 $\det M=\det A\cdot \det B$。

三、广义初等变换

将普通初等变换中的”数”替换为”矩阵”，得到三类广义初等变换：

类型	操作
对换	交换两行（列）子块
数乘	用可逆矩阵左乘某行子块（右乘某列子块）
倍加	某行子块左乘矩阵后加到另一行

与普通初等变换理论完全对应。

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第二章思维导图

矩阵代数
│
├── 线性运算 (§2.1)
│   ├── 加法、数乘、负矩阵（9条性质）
│   └── 线性组合
│
├── 矩阵乘法 (§2.2) ★核心难点
│   ├── 定义：cᵢⱼ = Σaᵢₖbₖⱼ（左行×右列）
│   ├── 三大不成立：交换律、消去律、零因子律
│   ├── 成立：结合律、分配律
│   ├── 幂：Aᵏ（仅方阵）
│   └── 多项式：f(A) = ΣaₖAᵏ
│
├── 逆矩阵 (§2.3)
│   ├── 定义：AB = BA = E → B = A⁻¹
│   ├── 性质：(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹（逆序）
│   ├── 初等矩阵：P(i,j), P(i(k)), P(i,j(k))
│   ├── 行变换=左乘初等阵，列变换=右乘
│   ├── 求逆方法：(A∣E) → (E∣A⁻¹)
│   └── 可逆⇔A与E行等价⇔Ax=0仅零解
│
├── 转置与特殊矩阵 (§2.4)
│   ├── 转置：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
│   ├── 对称：Aᵀ = A
│   ├── 反对称：Aᵀ = -A（对角元=0）
│   ├── 分解：A = (A+Aᵀ)/2 + (A-Aᵀ)/2
│   ├── 对角阵：diag(λ₁,...,λₙ)
│   └── 正交阵：AᵀA = E, det=±1
│
└── 分块矩阵 (§2.5)
    ├── 分块乘法（列分块与行分块匹配）
    ├── 分块对角：det = Π det Aᵢ
    ├── A⁻¹ = diag(A₁⁻¹,...,Aₛ⁻¹)
    └── 广义初等变换

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自测题

一、判断题

1. 若 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$。 （  ）
2. 若 $A$ 可逆且 $AB=AC$，则 $B=C$。 （  ）
3. 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。 （  ）
4. 若 $AB=O$，则 $A=O$ 或 $B=O$。 （  ）
5. $(A+B{)}^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$（$A,B$ 均可逆时）。 （  ）
6. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵。 （  ）
7. 对称矩阵的乘积一定是对称矩阵。 （  ）
8. 任意方阵可唯一表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 （  ）
9. 对角矩阵相乘时，只需将主对角线对应元素相乘。 （  ）

二、选择题

10. 设 $A_{3\times 4},B_{4\times 2}$，则 $AB$ 是几阶矩阵？ A. $3\times 3$  B. $4\times 4$  C. $3\times 2$  D. 不能相乘

11. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$A^{-1}=$ ？ A. $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$ B. $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ C. $-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$ D. $-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$

12. 若 $AB=E$，则： A. $(A^T{)}^{-1}=A^{-1}$  B. $(AB{)}^T=A^T{B}^T$ C. $A$ 可逆且 $A^{-1}=B$  D. $A,B$ 可能不可逆

13. 下列矩阵中，哪个是反对称矩阵？ A. $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ B. $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ C. $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ D. $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

14. $A$ 为正交矩阵，则 $A$ 的行列式等于： A. $0$  B. $1$  C. $\pm 1$  D. 任意非零数

15. 设 $A=\text{diag}(2,3,0)$，则 $A$： A. 可逆  B. 不可逆  C. 是对称矩阵  D. 是正交矩阵

16. 对于正交矩阵 $Q$，$Q^{-1}=$ A. $Q$  B. $-Q$  C. $Q^T$  D. $\frac{1}{\det Q}Q$

三、计算题

17. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{array}\right)$，用初等行变换法求 $A^{-1}$。

18. 设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$，求 $(AB{)}^T$ 和 $B^T{A}^T$，验证 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$。

19. 已知 $A^2-3A+2E=O$，证明 $A$ 可逆并求 $A^{-1}$。

20. $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$，构造分块矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$，求 $\det M$ 和 $M^{-1}$。

21. 解矩阵方程 $A\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$，求 $A$。

四、思考题

22. 举例说明 $AB=O$ 但 $A\ne O$ 且 $B\ne O$。

23. 为什么 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ 而不是 $A^{-1}{B}^{-1}$？用”穿鞋脱鞋”类比解释。

24. 证明分块对角矩阵的逆等于各子块逆的分块对角排列。

25. 若 $A$ 为正交矩阵，证明 $A$ 的列向量组是标准正交的（两两正交且模长为 1）。

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参考答案

判断题

题号	答案	解析
1	✗	$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$，$AB\ne BA$ 时不可合并
2	✓	$A$ 可逆，两边左乘 $A^{-1}$ 即得 $B=C$
3	✓	$(AB{)}^T(AB)=B^T(A^{T}A)B=B^{T}B=E$
4	✗	$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 但 $AB=O$
5	✗	$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$，甚至 $A+B$ 不一定可逆
6	✓	三类初等矩阵的逆仍是同类初等矩阵
7	✗	反例：$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ 不对称
8	✓	唯一分解：$A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}$
9	✓	$\text{diag}({\lambda }_i)\cdot \text{diag}({\mu }_i)=\text{diag}({\lambda }_i{\mu }_i)$

选择题

题号	答案	解析
10	C	$A_{3\times 4}{B}_{4\times 2}=C_{3\times 2}$，列数匹配
11	C	$\det A=4-6=-2$，$A^{-1}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$
12	C	$AB=E$ 可直接推出互为逆，无需验证 $BA=E$
13	B	$B^T=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=-B$，且对角元为 0
14	C	正交矩阵行列式为 $\pm 1$（由 $A^{T}A=E$ 取行列式即证）
15	B	$\text{diag}(2,3,0)$ 含零对角元，$\det A=0$，不可逆
16	C	正交矩阵定义：$Q^{T}Q=E$，故 $Q^{-1}=Q^T$

计算题

17. 增广矩阵 $(A\mid E)$ 行变换：

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 2& 2& 1& 0& 1& 0\\ 3& 4& 3& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 3& -2\\ 0& 1& 0& -\frac{3}{2}& -3& \frac{5}{2}\\ 0& 0& 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$

故 $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -\frac{3}{2}& -3& \frac{5}{2}\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$

18. $AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 6& 15\end{array}\right)$

$(AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 7& 15\end{array}\right)$

$B^T{A}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 7& 15\end{array}\right)$，验证 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ ✓

19. $A^2-3A=-2E$，即 $A(A-3E)=-2E$，故 $A\cdot \left(-\frac{1}{2}(A-3E)\right)=E$。

所以 $A^{-1}=-\frac{1}{2}(A-3E)=\frac{3E-A}{2}$。

20. $\det M=\det A\cdot \det B=(4-1)\cdot 12=3\cdot 12=36$

$A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$，$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$

$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$

21. 令 $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$，则 $AB=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$。

$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$，故 $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right)B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

思考题

22. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，则 $AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O$，但 $A\ne O$ 且 $B\ne O$。

23. 穿鞋顺序：先穿袜子（$B$）再穿鞋（$A$）。脱鞋顺序必须相反：先脱鞋（$A^{-1}$）再脱袜子（$B^{-1}$）。所以 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。

24. 设 $A=\text{diag}(A_1,\cdots ,A_s)$，各 $A_i$ 可逆。则 $\text{diag}(A_1^{-1},\cdots ,A_s^{-1})\cdot \text{diag}(A_1,\cdots ,A_s)=\text{diag}(A_1^{-1}{A}_1,\cdots ,A_s^{-1}{A}_s)=\text{diag}(E,\cdots ,E)=E$。由逆的唯一性得证。

25. $A^{T}A=E$。其 $(i,j)$ 元为 $A$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列的内积：

${\sum }_{k=1}^n{a}_{ki}{a}_{kj}=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$

即各列模长为 1，不同列内积为 0（正交），故列向量为标准正交组。