第1章 线性方程组与高斯消元法

§1.1 线性方程组、高斯消元法与矩阵

一、n 维向量的定义与运算

定义：n 个有顺序的数组成的有序数组称为 n 维向量。

$\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\text{（行向量）}$

$\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\text{（列向量）}$

其中 $a_i$ 称为向量的第 $i$ 个分量。

基本运算

运算	定义
相等	$\mathbf{\alpha }=\mathbf{\beta }$ $\iff$ 对应分量全相等
加法	$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n)$
数乘	$k\mathbf{\alpha }=(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n)$
负向量	$-\mathbf{\alpha }=(-a_1,-a_2,\cdots ,-a_n)$
零向量	$0=(0,0,\cdots ,0)$
减法	$\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }=\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\beta })$

加法与数乘统称为向量的线性运算。原因：运算结果的分量是原分量的一次（线性）表达式。

八条运算律

对任意 n 维向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 及数 $k,l$：

序号	运算律
(1)	$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }$（交换律）
(2)	$(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })+\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+(\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma })$（结合律）
(3)	$\mathbf{\alpha }+0=\mathbf{\alpha }$
(4)	$\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\alpha })=0$
(5)	$1\cdot \mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }$
(6)	$k(l\mathbf{\alpha })=(kl)\mathbf{\alpha }$
(7)	$k(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=k\mathbf{\alpha }+k\mathbf{\beta }$（分配律）
(8)	$(k+l)\mathbf{\alpha }=k\mathbf{\alpha }+l\mathbf{\alpha }$（分配律）

导出性质：

• $0\cdot \mathbf{\alpha }=0$
• $k\cdot 0=0$
• 若 $k\mathbf{\alpha }=0$，则 $k=0$ 或 $\mathbf{\alpha }=0$

线性组合

给定向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 和系数 $k_1,\cdots ,k_m$，

$\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$

称为该向量组的一个线性组合。

与方程组的联系：线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 等价于——寻找系数矩阵列向量的线性组合等于 $\mathbf{b}$。

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二、矩阵的定义

数域

设 $P\subseteq \mathbb{C}$，含 $0,1$，且对加减乘除（除数非零）封闭，称 $P$ 为数域。

• $\mathbb{Q}$（有理数域）✓ $\mathbb{R}$（实数域）✓ $\mathbb{C}$（复数域）✓
• $\mathbb{Z}$（整数集）✗（除法不封闭）

矩阵定义

数域 $P$ 上 $m\times n$ 个数排成 m 行 n 列的数表：

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

简记 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$a_{ij}$ 为矩阵的元素。实数域上称实矩阵，复数域上称复矩阵。

几种特殊矩阵

类型	特征
n 阶方阵	行数 = 列数 = n
行矩阵（行向量）	只有 1 行
列矩阵（列向量）	只有 1 列
零矩阵 $O$	所有元素为 0
全 1 矩阵 $J$	所有元素为 1
上三角矩阵	主对角线以下全为 0
下三角矩阵	主对角线以上全为 0
对角矩阵	仅主对角线可非零

上三角 + 下三角 = 三角阵，记作 $\text{tria}(A)$。

矩阵与向量的关系

• 向量是一种特殊的矩阵（1×n 或 m×1）
• 矩阵 $A$ 可表示为列向量的排列：$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$

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三、线性方程组的定义

n 元线性方程

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$

其中 $a_i$ 为系数，$b$ 为常数项，$x_i$ 为未知量。

特征：只涉及变量的加法与数乘运算。

类型	形式	几何意义
一元	$ax=b$	数轴上的点
二元	$ax+by=c$	平面直线
三元	$ax+by+cz=d$	空间平面

线性方程组

一个或几个含相同变量的线性方程组成的集合：

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

• 齐次线性方程组：所有 $b_i=0$
• 非齐次线性方程组：存在 $b_i\ne 0$

解的三种情况与基本问题

一个线性方程组的解必为以下之一：

1. 无解（不相容，inconsistent）
2. 有唯一解（unique solution）
3. 有无穷多解（infinitely many solutions）

两个基本问题：

• 存在性问题：方程组是否相容（有解）？
• 唯一性问题：若解存在，是否唯一？

解向量：满足方程组的 n 元有序数组 $(x_1,\cdots ,x_n)$。全部解的集合称解集。

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四、高斯消元法与矩阵初等行变换

方程组的三种初等变换

变换	操作	记号
(1) 对换变换	互换两个方程的位置	$i\leftrightarrow j$
(2) 数乘变换	某方程乘以非零常数 $c$	$c\times i$
(3) 倍加变换	某方程的 $k$ 倍加到另一方程	$i+k\times j$

核心性质：初等变换不改变解集，变换前后的方程组等价。

增广矩阵与系数矩阵

线性方程组 $⟺$ 增广矩阵 $\tilde{A}=(A\mid \mathbf{b})$：

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}⟺\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& \text{vline}& b_1\\ ⋮& \ddots & ⋮& \text{vline}& ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& \text{vline}& b_m\end{array}\right)$

去除最后一列即得系数矩阵 $A$。

矩阵的三种初等行变换

变换	操作	逆变换
对换变换	$r_i\leftrightarrow r_j$	$r_j\leftrightarrow r_i$（自身）
数乘变换	$\lambda \times r_i(\lambda \ne 0)$	$\frac{1}{\lambda }\times r_i$
倍加变换	$r_i+k\cdot r_j$	$r_i-k\cdot r_j$

重要性质：

• 初等行变换可逆，且逆变换是同类型的初等行变换
• 若两矩阵可通过初等行变换互化 → 行等价
• 增广矩阵行等价 → 方程组同解

⚠️ 初等变换后的矩阵与原矩阵不同，不能写「=」号。

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§1.2 行化简与阶梯形矩阵——解的存在唯一性

一、阶梯形矩阵与行最简形

阶梯形矩阵（Row Echelon Form）

满足两个条件：

1. 所有非零行均在零行之上（零行在最下方）
2. 每一行非零首元所在列，都在上一行非零首元所在列的右边

阶梯形的一般形状：

$\left(\begin{array}{ccccc}■& \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0& ■& \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& ■& \ast \\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\text{（■ = 非零首元/pivot）}$

例：$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 1\\ 0& 1& 2& 4\\ 0& 0& 3& 0\end{array}\right)$ ✓ $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ ✓

行最简形（RREF / Jordan 阶梯型）

在阶梯形基础上还需满足：

1. 所有非零行的非零首元全为 1
2. 非零首元所在列的其余元素全为 0

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \ast & 0\\ 0& 1& \ast & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

例（$3\times 3$ 单位阵）：$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ ✓ $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ ✓

主元、主元位置、主元列

• 主元位置：阶梯形中非零首元对应的位置
• 主元（pivot）：位于主元位置的元素
• 主元列：主元所在的列

关键结论：不同顺序初等行变换化出的阶梯形可能不同，但主元位置相同，且行最简形唯一。

化阶梯形/行最简形的一般步骤

→ 化为阶梯形：

1. 从最左边非零列开始，主元位置在该列第一行；若为 0，用对换换非零行上来
2. 用倍加变换将主元下方元素全化为零
3. 盖住含主元的行及其上方所有行，对子矩阵重复 1-3
4. 得到阶梯形

→ 化为行最简形：

5. 从最后一个非零行开始，用倍加变换将主元上方元素全化为零
6. 用数乘变换将各主元化为 1

消元法的本质：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形或行最简形。

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二、解的存在唯一性判定

核心判定定理

对于线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：

条件	结论
增广主元列数 ≠ 系数主元列数（增广最后一列是主元列）	无解
增广主元列数 = 系数主元列数 = $n$（未知量个数）	唯一解
增广主元列数 = 系数主元列数 < $n$	无穷多解

关键判据：看增广矩阵的最后一列是否是主元列。

• 是 → 出现形如 $[00\cdots 0\mid c](c\ne 0)$ 的矛盾方程 → 无解
• 否 → 有解，再比较主元数列数与未知量个数

齐次线性方程组的特殊结论

$A\mathbf{x}=0$ 一定有解（至少零解）：

条件	结论
系数主元列数 = $n$	唯一解（只有零解）
系数主元列数 < $n$	非零解（无穷多解）

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三、使用初等行变换求解线性方程组

完整求解步骤

1. 写出增广矩阵 $\tilde{A}=(A\mid \mathbf{b})$
2. 用初等行变换化为阶梯形，判断是否相容
   • 不相容 → 停止
   • 相容 → 继续
3. 进一步化为行最简形
4. 写出行最简形对应的方程组
5. 确定基本变量（主元列对应）和自由变量（非主元列对应）
6. 将基本变量用自由变量表示，写出通解

基本变量与自由变量

• 基本变量（首变量）：主元列对应的变量，在行最简形中每个只在一个方程出现
• 自由变量：非主元列对应的变量，可取任意常数

$\text{自由变量个数}=\text{未知量总数}-\text{主元列数}$

通解的向量形式

若自由变量为 $x_2=k_1,x_4=k_2$，通解可写为：

$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+k_1{\mathbf{v}}_1+k_2{\mathbf{v}}_2$

其中 ${\mathbf{x}}_p$ 为特解，${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 为齐次解的基础向量。

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第一章思维导图

线性方程组
│
├── 矩阵与增广矩阵
│   ├── 矩阵定义：m×n 数表
│   ├── 特殊矩阵：方阵、零矩阵、三角阵、对角阵
│   └── 增广矩阵：(A∣b)
│
├── 初等行变换（可逆，同解）
│   ├── ① 对换：rᵢ ↔ rⱼ
│   ├── ② 数乘：λ × rᵢ (λ≠0)
│   └── ③ 倍加：rᵢ + k·rⱼ
│
├── 高斯消元法
│   ├── 化阶梯形（REF）：主元下方全零
│   └── 化行最简形（RREF）：主元=1，所在列其他=0
│
└── 解的判定
    ├── 矛盾行 → 无解
    ├── 主元列数 = n → 唯一解
    └── 主元列数 < n → 无穷多解（自由变量）

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自测题

一、判断题

1. 对增广矩阵做初等行变换，会改变方程组的解。 （  ）
2. 行最简形矩阵的每个主元所在列，其余位置全为 0。 （  ）
3. 若阶梯形的主元数 = 未知量个数，则方程组一定有解。 （  ）
4. 不同顺序的初等行变换化出的阶梯形矩阵一定相同。 （  ）
5. 齐次线性方程组可能无解。 （  ）
6. 数乘变换可以将某行乘以任意常数（包括 0）。 （  ）
7. 向量 $\mathbf{\alpha }=(0,0,0)$ 与数 0 是同一概念。 （  ）

二、选择题

8. 以下哪种变换不属于初等行变换？ A. 交换两行 B. 某行乘以 0 C. 某行加上另一行的 k 倍 D. 某行乘以 2

9. 增广矩阵化为阶梯形后出现行 $[000\mid 5]$，则该方程组： A. 有唯一解  B. 有无穷多解  C. 无解  D. 无法判断

10. 系数矩阵为 $3\times 3$ 的齐次线性方程组有非零解，则： A. 系数行列式 ≠ 0  B. 系数行列式 = 0  C. 系数矩阵是单位阵  D. 一定有唯一解

11. 增广矩阵化为行最简形后，某列不是主元列，则该列对应的变量是： A. 基本变量  B. 自由变量  C. 矛盾变量  D. 零变量

12. 下列哪个矩阵是行最简形？ A. $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ B. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ C. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ D. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$

13. 设 $\mathbf{\alpha }=(1,2,3)$，则 $-2\mathbf{\alpha }=$ A. $(-1,-2,-3)$  B. $(-2,-4,-6)$  C. $(2,4,6)$  D. $(-2,-2,-6)$

14. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组的区别是： A. 未知量个数不同  B. 方程个数不同  C. 常数项是否为全零  D. 系数是否相同

三、计算题

15. 用高斯消元法解方程组：

$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+x_3=0\\ 2x_2-8x_3=8\\ -4x_1+5x_2+9x_3=-9\end{array}$

16. 将下列矩阵化为阶梯形和行最简形，指出主元列：

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& -3& 1& 6\\ 2& -4& 3& -4& -11\\ -1& 2& -1& 2& 5\\ 3& -6& 10& -8& -28\end{array}\right)$

17. 求解线性方程组（含有自由变量时写出通解）：

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1\\ x_1+x_2+2x_3+3x_4+4x_5=2\\ 2x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=3\end{array}$

18. 当 $a,b$ 取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？

$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+x_3=2\\ x_1+2x_2+x_3=4\\ 3x_1+x_2+a{x}_3=b\end{array}$

四、思考题

19. 为什么初等行变换行等价不改变方程组的解？试从三种变换的代数含义解释。

20. 若 $m\times n$ 系数矩阵的秩（主元列数）为 $r$，自由变量个数为多少？请推导。

21. 齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 若方程个数 $m$ 小于未知量个数 $n$，是否一定有非零解？为什么？

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参考答案

判断题

题号	答案	解析
1	✗	初等行变换是可逆的同解变形
2	✓	行最简形的定义：非零首元为 1，且该列其他元素为 0
3	✗	主元数 = n 且无矛盾行时才是唯一解；若有矛盾行仍无解
4	✗	不同顺序的初等行变换化出的阶梯形可能不同，但主元位置相同、行最简形唯一
5	✗	齐次线性方程组至少有零解，一定有解
6	✗	数乘变换要求乘以非零常数，乘以 0 不可逆（信息丢失）
7	✗	零向量 $0=(0,0,0)$ 是向量，数 0 是标量，两者不同

选择题

题号	答案	解析
8	B	某行乘以 0 会丢失信息，不可逆→非初等行变换
9	C	$[000\mid 5]$ 即 $0=5$，矛盾方程→无解
10	B	$3\times 3$ 齐次有非零解 ⇔ 主元列数 < 3 ⇔ 行列式 = 0
11	B	非主元列对应自由变量，可任意取值
12	C	A 第二列 2≠0（主元列非0），B 未满足上三角全零，D 主元非 1
13	B	$-2(1,2,3)=(-2,-4,-6)$
14	C	齐次：常数项全为 0；非齐次：存在常数项 ≠ 0

计算题

15. 增广矩阵：

$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ -4& 5& 9& -9\end{array}\right)\stackrel{r_3+4r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ 0& -3& 13& -9\end{array}\right)\stackrel{r_3+\frac{3}{2}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$

回代：$x_3=3$，$2x_2-8\cdot 3=8\Rightarrow x_2=16$，$x_1-2\cdot 16+3=0\Rightarrow x_1=29$

答：$x_1=29,x_2=16,x_3=3$，唯一解。

16. 阶梯形 = $\left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 1& -2& -5\\ 0& 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$（$\stackrel{r_1\leftrightarrow r_3}{\to }$ → 消元）

行最简形 = $\left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

主元列：第 1、3、4 列。

17. 增广矩阵化行最简形：

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 0& -1& 4\\ 0& 0& 1& 1& 2& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

同解方程组：$x_1=4-x_2+x_5$，$x_3=-1-x_4-2x_5$

基本变量：$x_1,x_3$；自由变量：$x_2,x_4,x_5$

通解（令 $x_2=k_1,x_4=k_2,x_5=k_3$）：

$\{\begin{array}{l}{x}_1=4-k_1+k_3\\ x_2=k_1\\ x_3=-1-k_2-2k_3\\ x_4=k_2\\ x_5=k_3\end{array}(k_1,k_2,k_3\in \mathbb{R})$

有无穷多解（3 个自由变量）。

18. 增广矩阵化阶梯形：

$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 1& 2& 1& 4\\ 3& 1& a& b\end{array}\right)\stackrel{\text{消元}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& -1& 0& 2\\ 0& 0& a-3& b+2\end{array}\right)$

• 无解：$a=3$ 且 $b\ne -2$
• 唯一解：$a\ne 3$（$b$ 任意）
• 无穷多解：$a=3$ 且 $b=-2$

思考题

19. ①交换两行：仅改变方程顺序，解的集合不变；②某行乘非零常数：等式两边同乘非零数，解不变；③某行的 k 倍加到另一行：由等式的可加减性（$A=B$ 且 $C=D$ 则 $A+C=B+D$，加上 $kA=kB$），解不变。三种变换均可逆，故不改变解集。

20. 自由变量个数 = 未知量总数 $n$ − 主元列数（系数矩阵的秩 $r$），即 $n-r$。自由变量对应非主元列。

21. 当 $m<n$ 时，主元列数 $\le m<n$，故主元列数 < 未知量个数，由判定定理知齐次方程组有非零解（无穷多解）。这是齐次方程组的特例——方程数少于未知数 $\Rightarrow$ 必有非零解。