§4.7 线性方程组有解的条件及解的结构

主要内容

第一部分：齐次线性方程组

1. 一、有非零解的条件
2. 二、解的性质与解空间
3. 三、基础解系

第二部分：非齐次线性方程组

4. 四、有解的条件
5. 五、解的结构

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一、有非零解的条件（齐次）

1.1 齐次线性方程组的形式

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{s1}{x}_1+a_{s2}{x}_2+\cdots +a_{sn}{x}_n=0\end{array}$$

• 矩阵形式：$AX=0$
• 向量形式：$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$

1.2 核心定理

定理 1：设 $A$ 为 $s\times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解： $⟺r(A)<n$ $⟺\text{向量组 }{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\text{ 线性相关}$

特别地，当 $s=n$（方阵）时：$|A|=0⟺AX=0$ 有非零解。

反之：$r(A)=n⟺AX=0$ 仅有零解。

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二、解的性质与解空间（齐次）

性质 1：若 $X_1,X_2$ 是 $AX=0$ 的解，则 $x=k_1{X}_1+k_2{X}_2$ 也是 $AX=0$ 的解。

推论：$AX=0$ 的解 $X_1,X_2,\cdots ,X_t$ 的任意线性组合 $k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_t{X}_t$ 也是 $AX=0$ 的解。

关键理解：齐次线性方程组的解集合对加法和数乘封闭，构成一个线性空间——称为 $AX=0$ 的解空间（space of solutions）。这正是 §4.5 中定义的 $\mathrm{Nul}A$。

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三、基础解系（齐次）

3.1 定义

基础解系：齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间的一组基称为该方程组的一个基础解系。

即若 $X_1,X_2,\cdots ,X_t$ 是基础解系，则：

1. 每个 $X_i$ 都是 $AX=0$ 的解
2. $X_1,\cdots ,X_t$ 线性无关
3. $AX=0$ 的任意解都可由它们线性表示

通解：$X=k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_t{X}_t$，其中 $k_1,\cdots ,k_t$ 为任意常数。

3.2 基础解系的存在性

定理：设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$r(A)=r<n$，则 $AX=0$ 存在基础解系，且基础解系含 $n-r$ 个解向量。

3.3 求基础解系的两种策略

策略	做法
法 1：先求通解，再得基	自由变量 → 参数化解 → 提出参数 → 得基向量
法 2：先求基，再得通解	逐个令自由变量取 $(1,0,\dots ),(0,1,\dots )$ → 得基 → 写通解

两者本质相同，只是视角不同。法 2 更规范，常用于考试答题。

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例题 1（基础解系——标准题型）★

例 1：求齐次方程组的通解： $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+4x_3+x_4=0\\ 2x_1+4x_2+8x_3+2x_4=0\\ 3x_1+6x_2+2x_3=0\end{array}$

解：

Step 1：写出系数矩阵并化行最简形： $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 1\\ 2& 4& 8& 2\\ 3& 6& 2& 0\end{array}\right]\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 0& 1& \frac{3}{10}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Step 2：写出同解方程组： $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-\frac{1}{5}{x}_4=0\\ x_3+\frac{3}{10}{x}_4=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=-2x_2+\frac{1}{5}{x}_4\\ x_3=-\frac{3}{10}{x}_4\end{array}$

自由变量：$x_2,x_4$。$r(A)=2$，$n=4$，基础解系含 $n-r=2$ 个解向量。

Step 3（法 2）：令自由变量分别取 $(1,0)$ 和 $(0,1)$：

• 令 $\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ → ${\xi }_1=(-2,1,0,0{)}^T$
• 令 $\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ → ${\xi }_2=(\frac{1}{5},0,-\frac{3}{10},1{)}^T$

通解：$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$（$k_1,k_2\in \mathbb{R}$）。

思路：

1. 化行最简形 → 区分主元和自由变量
2. 逐次令一个自由变量为 $1$，其余为 $0$ → 得到基解向量
3. 基础解系 = 这些基解向量，通解 = 它们的线性组合

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例题 2（仅零解的情形）

练习 1：求齐次方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=0\\ 3x_1+6x_2+10x_3=0\\ 2x_1+5x_2+7x_3=0\\ x_1+2x_2+4x_3=0\end{array}$ 的通解。

解： $A\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

$r(A)=3=n$ → 仅有零解 $X=(0,0,0{)}^T$。

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例题 3（证明题：利用基础解系证秩不等式）★

例 2：设 $A$ 为 $s\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，$AB=O$。 试证：$r(B)\le n-r(A)$（即 $r(A)+r(B)\le n$）。

证明思路：$n-r(A)$ 是 $AX=0$ 基础解系所含向量的个数 → 转化为解空间问题。

证： $AB=O\Rightarrow A({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m)=(0,0,\cdots ,0)\Rightarrow A{\beta }_j=0(j=1,2,\cdots ,m)$

即 $B$ 的每个列向量 ${\beta }_j$ 都是齐次方程组 $AX=0$ 的解向量。

• 若 $r(A)=n$，则 $AX=0$ 只有零解，$B=O$，$r(B)=0=n-r(A)$。
• 若 $r(A)=r<n$，则 $AX=0$ 有基础解系 $X_1,\cdots ,X_{n-r}$，$B$ 的每个列向量都可由基础解系线性表出 → $B$ 的列秩 $\le n-r$ → $r(B)\le n-r(A)$。

思路：这道题的关键在于把”矩阵乘积为零”翻译为”每个列向量是齐次方程的解”，再借助基础解系的维数 = $n-r(A)$ 来限制秩。

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例题 4（伴随矩阵的秩——经典结论）

练习：设 $A$ 为 $n\ge 2$ 阶方阵，证明： $R(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& R(A)=n\\ 1,& R(A)=n-1\\ 0,& R(A)<n-1\end{array}$

（证法涉及 $A{A}^{\ast }=|A|E$ 和秩不等式，课上作为拓展练习）

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四、有解的条件（非齐次）

4.1 非齐次线性方程组的形式

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{s1}{x}_1+a_{s2}{x}_2+\cdots +a_{sn}{x}_n=b_s\end{array}$$

• 矩阵形式：$AX=\beta$
• 向量形式：$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=\beta$
• 增广矩阵：$\tilde{A}=({\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n\mid \beta )$

4.2 有解条件（四个等价命题）

定理 1：非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 有解： $⟺\beta \text{ 可由 }{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\text{ 线性表出}$ $⟺\text{向量组 }\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}\text{ 与 }\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n,\beta \}\text{ 等价}$ $⟺r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n,\beta )$ $⟺R(A)=R(\tilde{A})$

四个等价表述，层层递进——本质就是一个：$\beta$ 在系数矩阵列向量的张成空间中（$\beta \in \mathrm{Col}A$）。

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五、解的结构（非齐次）

5.1 核心定理

定义：与非齐次方程组 $AX=\beta$ 系数矩阵相同的齐次方程组 $AX=0$ 称为 $AX=\beta$ 的导出组（又称对应的齐次方程组）。

定理 2（解的情况判定 + 结构定理）：设 $A$ 为 $s\times n$ 矩阵：

条件	结论
$R(A)<R(\tilde{A})$	无解
$R(A)=R(\tilde{A})=n$	有唯一解
$R(A)=R(\tilde{A})=r<n$	有无穷多解，且：$\text{通解}=\text{特解}+\text{导出组的通解}$

即： $X={\eta }^{\ast }+k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$

其中：

• ${\eta }^{\ast }$：$AX=\beta$ 的一个特解
• ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$：导出组 $AX=0$ 的一个基础解系

5.2 证明（关键步骤）

为什么 “通解 = 特解 + 导出组通解”？

1. 设 $w$ 是 $AX=\beta$ 的任意解，$p$ 是一个特解 → $A(w-p)=Aw-Ap=\beta -\beta =0$ → $w-p$ 是导出组的解 → 存在 $k_1,\dots ,k_t$ 使得 $w-p=k_1{X}_1+\cdots +k_t{X}_t$ → $w=p+k_1{X}_1+\cdots +k_t{X}_t$。

2. 反过来，任意 $p+\sum k_i{X}_i$ 显然满足 $AX=\beta$。

几何理解：非齐次方程组的解空间 = 导出组解空间（过一个子空间）平移一个特解向量。

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例题 5（非齐次方程组——标准求解）★

例 1：解非齐次方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+5x_2-x_3-x_4=-1\\ x_1-2x_2+x_3+3x_4=3\\ 3x_1+8x_2-x_3+x_4=1\\ x_1-9x_2+3x_3+7x_4=7\end{array}$

解：

Step 1：写出增广矩阵并化行最简形：

$\tilde{A}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 5& -1& -1& |& -1\\ 1& -2& 1& 3& |& 3\\ 3& 8& -1& 1& |& 1\\ 1& -9& 3& 7& |& 7\end{array}\right]$

$\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& \frac{3}{7}& \frac{13}{7}& |& \frac{13}{7}\\ 0& 1& -\frac{2}{7}& -\frac{4}{7}& |& -\frac{4}{7}\\ 0& 0& 0& 0& |& 0\\ 0& 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right]$

$R(A)=R(\tilde{A})=2<4=n$ → 有无穷多解。

Step 2：写出同解方程组，自由变量 $x_3,x_4$：

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{13}{7}-\frac{3}{7}{x}_3-\frac{13}{7}{x}_4\\ x_2=-\frac{4}{7}+\frac{2}{7}{x}_3+\frac{4}{7}{x}_4\end{array}$

法 1（直接写通解）：令 $x_3=c_1,x_4=c_2$： $X=\left(\begin{array}{c}\frac{13}{7}\\ -\frac{4}{7}\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c_1\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{7}\\ \frac{2}{7}\\ 1\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-\frac{13}{7}\\ \frac{4}{7}\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

法 2（特解 + 基础解系）：

• 特解（令 $x_3=x_4=0$）：${\eta }^{\ast }=(\frac{13}{7},-\frac{4}{7},0,0{)}^T$

• 导出组基础解系（令 $\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\end{array}\right)$ 取 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$）： ${\xi }_1=(-\frac{3}{7},\frac{2}{7},1,0{)}^T$，${\xi }_2=(-\frac{13}{7},\frac{4}{7},0,1{)}^T$

• 通解：$X={\eta }^{\ast }+k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$（$k_1,k_2\in \mathbb{R}$）

思路：两种方法等价。关键步骤：行最简形 → 识别自由变量 → 构造通解结构 = 特解 + 导出组通解。

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例题 6（含参数的线性方程组——分类讨论）★★ 考试热题

例 2：设有方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+a{x}_2+2x_3=1\\ x_1+(2a-1)x_2+3x_3=1\\ x_1+a{x}_2+(a+3)x_3=b\end{array}$，问 $a,b$ 为何值时，方程组有唯一解、无穷多解、无解？当有无穷多解时，求全部解。

解：

Step 1：对增广矩阵作初等行变换：

$\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1& a& 2& |& 1\\ 1& 2a-1& 3& |& 1\\ 1& a& a+3& |& b\end{array}\right]\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-r_1\\ r_3-r_1\end{array}}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& a& 2& |& 1\\ 0& a-1& 1& |& 0\\ 0& 0& a+1& |& b-1\end{array}\right]$

Step 2：分类讨论：

参数条件	$R(A)$	$R(\tilde{A})$	$n$	结论
$a\ne 1$ 且 $a\ne -1$	$3$	$3$	$3$	唯一解
$a=1,b\ne 1$	$2$	$3$	$3$	无解
$a=1,b=1$	$2$	$2$	$3$	无穷多解
$a=-1,b\ne 1$	$2$	$3$	$3$	无解
$a=-1,b=1$	$2$	$2$	$3$	无穷多解

Step 3：求无穷多解：

当 $a=1,b=1$： $\tilde{A}\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& |& 1\\ 0& 0& 1& |& 0\\ 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right]$ 通解：$X=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$（$k\in \mathbb{R}$）

当 $a=-1,b=1$： $\tilde{A}\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& \frac{3}{2}& |& 1\\ 0& 1& -\frac{1}{2}& |& 0\\ 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right]$ 通解：$X=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)$（$k\in \mathbb{R}$）

思路：

1. 先化简消元，尽量将参数集中到右下角
2. 根据主元行数和最后一行约束分类讨论
3. 四类情况：唯一解（满秩相容）、无解（不相容）、无穷多解（降秩相容 ×2 组）

另法：系数矩阵为方阵时，也可先求 $|A|$（行列式法），$|A|=(a-1)(a+1)$：

• $|A|\ne 0$ → 唯一解
• $|A|=0$ 时再分别代回 $\tilde{A}$ 讨论有无穷多解还是无解

变式参考：类似题目如 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1\\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2+\lambda x_3={\lambda }^2\end{array}$，行列式 $|A|=(1-\lambda {)}^2(\lambda +2)$，讨论方法相同。

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例题 7（已知解的关系求通解）★ 概念题

例 3：设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 $3$，已知 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 为该方程组的三个解，且： ${\eta }_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right),{\eta }_2+{\eta }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ 求该方程组的通解。

解：

分析：$n=4$，$R(A)=3$ → 导出组基础解系含 $n-r=1$ 个解向量 → 只需找到一个导出组的非零解即可。

Step 1：利用非齐次解的关系构造导出组解。

由解的性质：${\eta }_1$ 是一个解，$\frac{{\eta }_2+{\eta }_3}{2}$ 也是解（解的凸组合仍是解，因为系数和为 $1/2+1/2=1$）。

$\therefore \frac{{\eta }_2+{\eta }_3}{2}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 1\\ \frac{3}{2}\\ 2\end{array}\right)$ 也是 $AX=\beta$ 的解。

Step 2：两个非齐次解之差是导出组解： ${\eta }_1-\frac{{\eta }_2+{\eta }_3}{2}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 1\\ \frac{3}{2}\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ 2\\ \frac{5}{2}\\ 3\end{array}\right)$

这是导出组 $AX=0$ 的非零解 → 就是基础解系（唯一的一个）。

Step 3：通解 = 特解 + $k\times$ 基础解系： $X=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ 2\\ \frac{5}{2}\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\\ 6\end{array}\right)(c\in \mathbb{R})$

思路总结：

1. 由 $n$ 和 $R(A)$ 确定导出组基础解系含几个向量
2. 利用”非齐次解之差 = 导出组解”构造导出组解
3. 利用”非齐次解的凸组合仍是解”（系数和为 1）构造更多非齐次解

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例题 8（证明题：解的结构与线性无关性）

例 4：已知 ${\eta }^{\ast }$ 为 $AX=\beta$ 的一个特解，${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 为导出组 $AX=0$ 的一个基础解系。证明：

1. 向量组 $\{{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-r},{\eta }^{\ast }\}$ 线性无关；
2. $AX=\beta$ 有 $n-r+1$ 个线性无关的解。

证明：

1. 证 $\{{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r},{\eta }^{\ast }\}$ 线性无关：

反证法。假设线性相关。由于 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 本身线性无关（它们是基础解系），则 ${\eta }^{\ast }$ 必可由 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 线性表出。

从而 ${\eta }^{\ast }$ 也是 $AX=0$ 的解。但这与 ${\eta }^{\ast }$ 是 $AX=\beta$（$\beta \ne 0$）的特解相矛盾。

$\therefore$ 原假设不成立，向量组线性无关。 ✓

2. 构造 $n-r+1$ 个线性无关的 $AX=\beta$ 的解：

令 ${\eta }_1={\xi }_1+{\eta }^{\ast },{\eta }_2={\xi }_2+{\eta }^{\ast },\cdots ,{\eta }_{n-r}={\xi }_{n-r}+{\eta }^{\ast }$。

则 $\{{\eta }_1,\cdots ,{\eta }_{n-r},{\eta }^{\ast }\}$ 是 $AX=\beta$ 的 $n-r+1$ 个解。

设 $k_1{\eta }_1+\cdots +k_{n-r}{\eta }_{n-r}+k_{n-r+1}{\eta }^{\ast }=0$，代入： $k_1({\xi }_1+{\eta }^{\ast })+\cdots +k_{n-r}({\xi }_{n-r}+{\eta }^{\ast })+k_{n-r+1}{\eta }^{\ast }=0$ $k_1{\xi }_1+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+(\Sigma k_i+k_{n-r+1}){\eta }^{\ast }=0$

由第 1 部分结论（${\xi }_i$ 和 ${\eta }^{\ast }$ 线性无关），所有系数全为零： $k_1=k_2=\cdots =k_{n-r}=0,\Sigma k_i+k_{n-r+1}=0\Rightarrow k_{n-r+1}=0$

$\therefore$ 这 $n-r+1$ 个解线性无关。 ✓

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六、全章总结：秩与方程组解的关系

情况	条件	解的数量	解的结构
齐次	$R(A)=n$	仅有零解	$X=0$
齐次	$R(A)<n$	无穷多解	$X=k_1{\xi }_1+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$（基础解系通解）
非齐次	$R(A)<R(\tilde{A})$	无解	—
非齐次	$R(A)=R(\tilde{A})=n$	唯一解	$X={\eta }^{\ast }$
非齐次	$R(A)=R(\tilde{A})<n$	无穷多解	$X={\eta }^{\ast }+\sum k_i{\xi }_i$（特解 + 导出组通解）

记忆口诀：

• 有解 $⟺$ 秩相等（$R(A)=R(\tilde{A})$）
• 唯一 $⟺$ 秩等 $n$（满秩相容）
• 无穷 $⟺$ 秩等但小于 $n$（降秩相容）
• 非齐次通解 = 特解 ${\eta }^{\ast }$ + 导出组通解

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整理时间：2026-05-26 | 来源：课堂PPT（周老师）