§4.6 基和维数

§4.6 基、维数和坐标

主要内容

1. 一、基的定义与构造
2. 二、空间维数
3. 三、坐标与坐标变换

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一、基的定义与构造

1.1 基的定义

定义：${\mathbb{R}}^n$ 的非零子空间 $H$ 的线性无关生成集称为 $H$ 的基（basis）。

若 $H$ 中向量 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_p$ 是 $H$ 的一组基，则：

1. ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_p$ 线性无关
2. $H$ 中的每个向量都可由 ${\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_p$ 线性表出

本质理解：$H$ 的基就是 $H$ 的极大无关组。

基 = 线性无关 + 生成整个空间 → 恰好是”极大无关组”的两个条件。

1.2 标准基

$n$ 阶单位阵的列向量组 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 称为 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准基（自然基）：

$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots ,e_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$

1.3 基的构造定理

定理：设 $S=\{v_1,\cdots ,v_s\}\subset {\mathbb{R}}^n$，$H=\mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_s\}$，如果 $H\ne \{0\}$，则 $S$ 的极大无关组就是 $H$ 的基。

证明思路：

• 生成集 $S$ 与子空间 $H$ 等价
• $S$ 的极大无关组 $T$ 与 $S$ 等价 → $T$ 与 $H$ 等价 → $H$ 中向量都可由 $T$ 线性表出
• 又 $T$ 线性无关且 $T\subset H$
• $\therefore$ $T$ 是 $H$ 的一组基

推论：基不唯一，但同一空间的不同基所含向量个数相同。

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例题 1（证明某组向量是基）

例 1：可逆 $n$ 阶方阵的 $n$ 个列向量构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的基。

证明：设可逆方阵 $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$。

1. $A$ 可逆 $\Rightarrow$ $|A|\ne 0$ $\Rightarrow$ 列向量组 $a_1,\dots ,a_n$ 线性无关 ✓

2. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意向量 $b$，考虑向量组 $a_1,a_2,\dots ,a_n,b$：

   • 这是 $n+1$ 个 $n$ 维向量
   • 由性质 4.2.5，$n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关
   • 又 $a_1,\dots ,a_n$ 线性无关
   • 由极大无关组的性质，$b$ 可由 $a_1,\dots ,a_n$ 线性表出 ✓

$\therefore$ $a_1,\dots ,a_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基。

思路：

• 证明基 = 证明两条（线性无关 + 生成整个空间）
• 第二条用的技巧：比极大无关组多一个向量必线性相关 $\Rightarrow$ 新向量可由极大无关组表出

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例题 2（求列空间的基——主元列法）★

例 2：$A=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 3& 2& -9\\ -2& -2& 2& -8& 2\\ 2& 3& 0& 7& 1\\ 3& 4& -1& 11& -8\end{array}\right]$，求 $\mathrm{Col}A$ 的基。

解：对 $A$ 进行初等行变换化行最简形：

$A\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -3& 5& 0\\ 0& 1& 2& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

主元出现在第 1、2、5 列 → $a_1,a_2,a_5$ 是 $\mathrm{Col}A$ 的基。

方法总结：

1. 将 $A$ 用初等行变换化为行最简形
2. 找到主元列的位置
3. 原矩阵 $A$ 对应位置的列向量 → 构成 $\mathrm{Col}A$ 的基

⚠️ 注意：取原矩阵的列，不是化简后矩阵的列！

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例题 3（求零空间的基——自由变量法）★

例 3：$A=\left[\begin{array}{ccccc}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$，求 $\mathrm{Nul}A$ 的一组基。

解：与 §4.5 例 4.4.5 同一题，这里从”基”的角度重新审视。

化 $A$ 为行最简形： $A\to \left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 0& -1& 3\\ 0& 0& 1& 2& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

同解方程组：$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2-x_4+3x_5=0\\ x_3+2x_4-2x_5=0\end{array}$

自由变量：$x_2,x_4,x_5$

参数化解： $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]=x_{2}u+x_{4}v+x_{5}w$

$\therefore$ $\{u,v,w\}$ 是 $\mathrm{Nul}A$ 的一组基。

关键结论：$\mathrm{Nul}A$ 的基中向量个数 = 自由变量的个数

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二、空间维数

2.1 维数的定义

定义：${\mathbb{R}}^n$ 的非零子空间 $H$ 的任一组基中所含向量的个数称为 $H$ 的维数，记作 $\dim H$。

• $\dim \{0\}=0$
• $\dim {\mathbb{R}}^n=n$

等价理解：$\dim H=\text{向量组 }H\text{ 的秩}=H\text{ 的生成集的秩}$

2.2 维数的判定与计算

对象	维数	求法
$\mathrm{Nul}A$	自由变量个数	行最简形中非主元列数
$\mathrm{Col}A$	主元列个数 = $R(A)$	行最简形中主元列数
$\mathrm{Row}A$	$R(A)$	阶梯形非零行数

2.3 秩定理（Rank-Nullity Theorem）★核心

定理（秩定理）：若 $A$ 有 $n$ 列，则： $\mathrm{rank}A+\dim \mathrm{Nul}A=n$

即：$R(A)+\dim \mathrm{Nul}A=n$

证明（直观）：

• $R(A)$ = 主元列数（$\mathrm{Col}A$ 的维数）
• $\dim \mathrm{Nul}A$ = 自由变量数 = 非主元列数
• 主元列数 + 非主元列数 = 总列数 $n$ ✓

⚠️ 注意：$\dim \mathrm{Col}A+\dim \mathrm{Nul}A$ 不一定等于 $m$！$\mathrm{Col}A\subseteq {\mathbb{R}}^m$，$\mathrm{Nul}A\subseteq {\mathbb{R}}^n$，两个空间不互补。

2.4 维数与基的关系

定理：若 $\dim H=p$，则：

• $H$ 中任意 $p$ 个线性无关的向量构成 $H$ 的一组基
• $H$ 中任意 $p+1$ 个向量必线性相关
• 基能以唯一方式线性表出 $H$ 中的任意向量

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三、坐标与坐标变换

3.1 坐标的定义

定义：设 $B=\{b_1,b_2,\dots ,b_p\}$ 是子空间 $H$ 的一组基。$H$ 中任意向量 $x$ 在基 $B$ 下的唯一线性表示的系数，称为 $x$ 在基 $B$ 下的坐标： $x=c_1{b}_1+c_2{b}_2+\cdots +c_p{b}_p=(b_1,b_2,\dots ,b_p)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_p\end{array}\right)$ 则 $[x{]}_B=(c_1,c_2,\dots ,c_p{)}^T$。

注：基向量组可以建立一个 $H$ 中的坐标系统。

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例题 4（已知坐标求向量 + 标准基坐标）

例 6：$b_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),b_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的一组基，$x\in {\mathbb{R}}^2$ 在这组基下的坐标为 $[x{]}_B=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$，求 $x$。

解： $x=(-2)b_1+3b_2=(-2)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2+3\\ 0+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right)$

例 7（对照）：同一向量在标准基 $e_1,e_2$ 下： $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right)=1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+6\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=1\cdot e_1+6\cdot e_2$ 即标准基下的坐标就是向量本身：$[x{]}_E=(1,6{)}^T$。

启示：同一向量在不同基下的坐标不同——坐标是相对的，取决于基的选择。

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例题 5（已知向量求坐标——解方程法）★

例 8：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，求 $x=(1,7,3{)}^T$ 在基 $b_1=(2,0,-1{)}^T,b_2=(1,3,2{)}^T,b_3=(2,1,1{)}^T$ 下的坐标。

解：设坐标为 $(x_1,x_2,x_3{)}^T$，则： $x=(b_1,b_2,b_3)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\text{即}\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 0& 3& 1\\ -1& 2& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 3\end{array}\right)$

对增广矩阵作初等行变换： $\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 2& |& 1\\ 0& 3& 1& |& 7\\ -1& 2& 1& |& 3\end{array}\right]\stackrel{r_1\leftrightarrow r_3}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}-1& 2& 1& |& 3\\ 0& 3& 1& |& 7\\ 2& 1& 2& |& 1\end{array}\right]$

$\stackrel{r_3+2r_1}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}-1& 2& 1& |& 3\\ 0& 3& 1& |& 7\\ 0& 5& 4& |& 7\end{array}\right]\stackrel{r_3-\frac{5}{3}{r}_2}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}-1& 2& 1& |& 3\\ 0& 3& 1& |& 7\\ 0& 0& \frac{7}{3}& |& -\frac{14}{3}\end{array}\right]$

回代得：$x_3=-2$，$x_2=3$，$x_1=1$。

$\therefore$ 坐标为 $(1,3,-2{)}^T$。

思路：已知向量求坐标 $=$ 解线性方程组 $(b_1,b_2,\dots ,b_n)\cdot X=x$

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3.2 过渡矩阵与坐标变换

过渡矩阵定义：设 $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ 和 $C=\{c_1,\dots ,c_n\}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的两组基，基 $C$ 可由基 $B$ 线性表出： $(c_1,c_2,\dots ,c_n)=(b_1,b_2,\dots ,b_n)A$

称 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 是由基 $B$ 到基 $C$ 的过渡矩阵。

$A$ 的第 $j$ 列是 $c_j$ 在基 $B$ 下的坐标。

定理（坐标变换公式）：若 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 在基 $B$ 和基 $C$ 下的坐标分别为 $X$ 和 $Y$，则：

1. 过渡矩阵 $A$ 是可逆矩阵，且 $(b_1,\dots ,b_n)=(c_1,\dots ,c_n)A^{-1}$
2. $Y=AX$，$X=A^{-1}Y$

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例题 6（求过渡矩阵）

例 9：${\mathbb{R}}^2$ 中两组基： $(I):b_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right),b_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -5\end{array}\right)(II):c_1=\left(\begin{array}{c}-9\\ 1\end{array}\right),c_2=\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\end{array}\right)$ 求基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵。

解：设过渡矩阵为 $A$，则 $(c_1,c_2)=(b_1,b_2)A$。

即解矩阵方程： $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -4& -5\end{array}\right)A=\left(\begin{array}{cc}-9& -5\\ 1& -1\end{array}\right)$

$A={\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -4& -5\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}-9& -5\\ 1& -1\end{array}\right)$

先求逆 ${\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -4& -5\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{-5+12}\left(\begin{array}{cc}-5& -3\\ 4& 1\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}-5& -3\\ 4& 1\end{array}\right)$

再相乘得 $A=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ -5& -3\end{array}\right)$。

验算：验证 $(b_1,b_2)A=(c_1,c_2)$ 是否成立。

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例题 7（两种方法求坐标——对比）

例 10：设 ${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\beta }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，$\alpha =\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，求 $\alpha$ 在基 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\}$ 下的坐标。

解法 1：直接解方程

设 $\alpha ={\lambda }_1{\beta }_1+{\lambda }_2{\beta }_2+{\lambda }_3{\beta }_3$，得： $\{\begin{array}{l}{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=2\\ {\lambda }_2+{\lambda }_3=0\\ {\lambda }_3=1\end{array}$

回代：${\lambda }_3=1$，${\lambda }_2=-1$，${\lambda }_1=2$。

$\therefore$ 坐标为 $(2,-1,1{)}^T$。

解法 2：过渡矩阵法

由标准基到基 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\}$ 的过渡矩阵为： $P=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\alpha$ 在标准基下的坐标就是 $\alpha$ 本身：$X=(2,0,1{)}^T$。

坐标变换：$Y=P^{-1}X=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

思路对比：

• 解法 1（直接法）：设出系数，解方程组 → 适用于简单的基
• 解法 2（过渡矩阵法）：利用标准基作为中介 → 适用于复杂的基或需要批量求坐标的场景

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四、小结

概念	要点
基	线性无关 + 生成整个空间 = $H$ 的极大无关组
求 Col A 的基	行最简形 → 主元列 → 取原矩阵对应列
求 Nul A 的基	行最简形 → 自由变量 → 参数化解的向量
维数 $\dim H$	基中向量个数 = $H$ 的极大无关组中向量个数
秩定理	$R(A)+\dim \mathrm{Nul}A=n$
坐标	向量在基下的线性表示系数，唯一
过渡矩阵	$(c_1,\dots ,c_n)=(b_1,\dots ,b_n)A$，可逆
坐标变换	$Y=AX$（从 $B$ 到 $C$），$X=A^{-1}Y$

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整理时间：2026-05-26 | 来源：课堂PPT（周老师）