第三节 向量组的极大无关组和秩

一、向量组的线性表出

1.1 定义

向量组的线性表出：向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ (I) 中的每一个向量都能被向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ (II) 线性表出，则称 (I) 可由 (II) 线性表出。

等价向量组：如果 (I) 与 (II) 可以相互线性表出，则称 (I) 与 (II) 等价。

1.2 实例

给定：

• 向量组 $B:{\alpha }_1=(1,1,1),{\alpha }_2=(1,1,0),{\alpha }_3=(1,0,0)$
• 向量组 $A:{\epsilon }_1=(1,0,0),{\epsilon }_2=(0,1,0),{\epsilon }_3=(0,0,1)$

则： ${\alpha }_1={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3$ ${\alpha }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+0{\epsilon }_3$ ${\alpha }_3={\epsilon }_1+0{\epsilon }_2+0{\epsilon }_3$

因此向量组 B 可以由向量组 A 线性表示。

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二、向量组等价的重要性质

性质定理

性质	描述
反身性	任何向量组与自身等价：${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ (I) ≅ ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ (I)
对称性	如果 (I) ≅ (II)，则 (II) ≅ (I)
传递性	如果 (I) ≅ (II)，且 (II) ≅ (III)，则 (I) ≅ (III)

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三、其他重要结论

结论 1

部分组可由全部组线性表出

结论 2

向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性相关 ⇔ 该向量组可由某个部分组 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{i-1},{\alpha }_{i+1},\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表出

结论 3

由 $n$ 维向量组成的任意向量组都可以由它的基本向量组线性表示。

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四、学习重点

• 理解向量组线性表出的定义
• 掌握等价向量组的判定方法
• 记住等价关系的三条性质（反身性、对称性、传递性）
• 能用基本向量组表示任意向量组

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五、待学习内容

• 向量组的极大无关组
• 向量组的秩
• 如何求向量组的极大无关组和秩

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笔记生成时间：2026-04-27 | 基于黄鼎铭分享的预习材料