4.1 & 4.2 向量的线性相关与线性无关

向量组的线性相关和线性无关，是线性代数中重要的基本概念，是研究线性方程组理论的基础！

主要内容

1. 一、定义
2. 二、判别方法
3. 三、性质

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一、定义

定义 4：数域 P 上的 n 维向量空间

• 数域 $P$ 上全体 $n$ 维行向量构成的集合，记作 $P^n$
• 数域 $P$ 上全体 $n$ 维列向量构成的集合，记作 $P^{n\times 1}$ 或 $P^{1\times n}$
• 类似地可定义 $n$ 维向量空间 $P^n$

定义 5：线性表示

设向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 及向量 $\mathbf{\beta }$ 满足关系：

$\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s$

则称 $\mathbf{\beta }$ 为向量组 $A$ 的一个线性组合，或称 $\mathbf{\beta }$ 可由向量组 $A$ 线性表示。

其中 $k_1,k_2,\cdots ,k_s$ 称为 $\mathbf{\beta }$ 在该线性组合下的组合系数。

核心问题：

• 如何判断向量 $\mathbf{\beta }$ 能否由向量组 $A$ 线性表示？
• 即判断向量方程 $\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s$ 有无解 li
• 当有解时，组合系数是多少？

判断方法： 根据定义就是判断向量方程有无解。

• 当 $\mathbf{\alpha }$ 为列向量时，(1)表示的线性方程组的增广矩阵为 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s,\mathbf{\beta })$
• 当 $\mathbf{\alpha }$ 为行向量时，由两端取转置，得 $({\mathbf{\alpha }}_1^T,{\mathbf{\alpha }}_2^T,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s^T)\mathbf{x}={\mathbf{\beta }}^T$

例1： 设 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,1{)}^T,{\mathbf{\alpha }}_2=(2,-1{)}^T,{\mathbf{\alpha }}_3=(1,3{)}^T$，问 $\mathbf{\beta }=(-1,0,4{)}^T$ 能否由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表出？

例2（重要结论）：

• 中零向量可由任意向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表出： $0=0{\mathbf{\alpha }}_1+0{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +0{\mathbf{\alpha }}_s$
• 反之，从 $\mathbf{\beta }=0$ 不一定能得到 $\mathbf{\beta }$ 全为 0 的结论

此例结论引出向量组理论中两个重要的基本概念：线性相关和线性无关

定义 6：线性相关与线性无关

设 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 是 $P^n$ 中的向量组：

线性相关：若存在不全为 0 的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_s\in P$ 使得 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$ 则称向量组 $A$ 线性相关

• 线性无关：如果 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$ 必有 $k_1=k_2=\cdots =k_s=0$，则称向量组 $A$ 线性无关

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二、判别方法

判断向量组线性相关性

判断方程组 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$ 有无非零解：

情况	结论
有非零解	向量组线性相关
只有零解	向量组线性无关

注意： 判断 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关，有时可使用反证法。

基本向量组 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 线性无关，且任一 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }$ 可由其线性表出。

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三、性质（6个性质）

性质1：一个向量与两个向量

条件	结论
一个向量 $\mathbf{\alpha }$ 线性相关	$\iff$ $\mathbf{\alpha }=0$
两个向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 线性相关	$\iff$ 至少有一个向量是另一个向量的倍数
两个向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 线性无关	$\iff$ 不共线

性质2：向量组线性相关的充要条件

向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s(s>1)$ 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其余 $s-1$ 个向量线性表示。

证明：

• 必要性：线性相关 → 存在不全为零的数 → 必有一个不为零 → 该向量可由其余向量表示
• 充分性：若某向量可由其余表示 → 可移项得线性组合为0，系数不全为零 → 线性相关

性质3：部分与整体

若向量组的一部分线性相关，则该向量组整体也线性相关。

等价表述：线性无关向量组中任何一部分向量也线性无关。

性质4：添加分量

设向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，分别在每个向量的后面添加一个分量构成 ${\tilde{\mathbf{\alpha }}}_i=({\mathbf{\alpha }}_i,a_i)$，则 ${\tilde{\mathbf{\alpha }}}_1,{\tilde{\mathbf{\alpha }}}_2,{\tilde{\mathbf{\alpha }}}_3$ 也线性无关。

推广： $n$ 维向量组线性无关，在每个向量的相同位置添加 $m$ 个分量，则所得的 $n+m$ 维向量组仍然线性无关。

逆命题（性质4*）： $n$ 维向量组线性相关，在每个向量的相同位置去掉 $k$ 个分量（$k<n$），则所得的 $n-k$ 维向量组仍然线性相关。

性质5：行列式判别法

$n$ 个 $n$ 维列向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性相关的充分必要条件是： $\det ({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)=0$

等价表述：

• 线性相关 $\iff$ 行列式 = 0
• 线性无关 $\iff$ 行列式 $\ne$ 0

注： 当向量个数 $m\ne n$ 时，不能构成行列式，需用其他方法判断。

性质6：向量个数与分量数目

如果向量组所含向量个数比向量的分量数目更多，则向量组必线性相关。即：如果 $m>n$，则 $P^n$ 中的向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 必线性相关。

证明： 记 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$，则 $A$ 为 $n\times m$ 矩阵。齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 有 $n$ 个方程、$m$ 个未知量。若 $m>n$，一定有非零解，因此向量组线性相关。

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快速判定定理

线性相关 ⟹

• 齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解
• 向量组中至少有一个向量可由其余 $s-1$ 个向量线性表示
• $A=0$（当 $m=n$ 时）
• 含有零向量的向量组必线性相关
• 部分线性相关，则全体线性相关
• 向量组线性相关，则”截短”后仍线性相关
• 当 $m>n$ 时，一定线性相关

线性无关 ⟹

• 齐次线性方程组 $AX=0$ 仅有零解
• 向量组中任何一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表示
• $A\ne 0$（当 $m=n$ 时）
• 一个非零向量必线性无关
• 全体线性无关，则部分线性无关
• 向量组线性无关，则”拉长”后仍线性无关

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例题精选

例3：基本向量组

证明 $n$ 维基本向量组 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 线性无关，且任一 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }$ 可由其线性表出。

证明： 由 $k_1{e}_1+k_2{e}_2+\cdots +k_n{e}_n=0$，即 $(k_1,k_2,\cdots ,k_n)=(0,0,\cdots ,0)$，故 $k_1=k_2=\cdots =k_n=0$，线性无关。

又由 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=a_1{e}_1+a_2{e}_2+\cdots +a_n{e}_n$，得证。

例4：线性表示与线性相关综合

判断 $\mathbf{\beta }$ 能否由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示，以及判断 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 的线性相关性。

（具体计算见课本，此处从略。结论：$\mathbf{\beta }$ 可由线性表出；${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性相关）

例5：唯一性定理

设向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关，$B:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s,\mathbf{\beta }$ 线性相关，则 $\mathbf{\beta }$ 可由 $A$ 唯一线性表出。

证明思路：

1. 由线性相关性，存在不全为零的系数使 $\sum k_i{\mathbf{\alpha }}_i+k\mathbf{\beta }=0$
2. 由线性无关性证明 $k\ne 0$
3. 移项得 $\mathbf{\beta }=-\frac{1}{k}\sum k_i{\mathbf{\alpha }}_i$
4. 用反证法证明唯一性：设两种表示相减，由线性无关性得所有系数相等

例7：阶梯形矩阵主元列

阶梯形矩阵主元列构成的向量组一定线性无关。

例10：线性无关的向量组合

若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性无关，证明：${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_1$ 也线性无关。

证明： 设 $k_1({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)+k_2({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)+k_3({\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_1)=0$，整理得 $(k_1+k_3){\mathbf{\alpha }}_1+(k_1+k_2){\mathbf{\alpha }}_2+(k_2+k_3){\mathbf{\alpha }}_3=0$。由线性无关性得方程组： $\{\begin{array}{l}{k}_1+k_3=0\\ k_1+k_2=0\\ k_2+k_3=0\end{array}$ 系数行列式 $\ne 0$，故 $k_1=k_2=k_3=0$，得证。

例11：线性表示传递性

若向量组 $A$ 线性无关，$B$ 线性相关，则：

• $A$ 中向量必可由 $B$ 线性表示
• $B$ 中向量必不可由 $A$ 线性表示

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课堂小结

一、线性表示及其判别

• 定义： $\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s$
• 判别方法： 判断向量方程有无解

二、线性相（无）关的定义及其判断

• 定义： 存在不全为零的系数使线性组合为零 → 线性相关；仅有零解 → 线性无关
• 判别方法： 判断齐次线性方程组有无非零解

三、6个性质

1. 一个向量 $\iff$ 为零向量；两个向量 $\iff$ 共线/倍数
2. 至少有一个可由其余表示
3. 部分相关则整体相关
4. 线性无关则添加分量后仍无关；线性相关则去掉分量后仍相关
5. $n$ 个 $n$ 维向量 $\iff$ 行列式为零
6. $m>n$ 则必线性相关