3.3 行列式的应用

本节主要内容

1. 一、伴随矩阵
2. [二、Cramer 法则](#二Cramer 法则)
3. 三、用系数行列式判断方程组的解
4. 四、逆矩阵的三种求法对比

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一、伴随矩阵

1. 定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则 $A$ 的伴随矩阵（Adjugate Matrix）为：

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$

注意：伴随矩阵的第 $i$ 行是原矩阵第 $i$ 列的代数余子式（转置关系）。

2. 核心公式

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=(\det A)E$

3. 伴随矩阵的重要结论

定理： $n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $\iff \det A\ne 0\iff A^{\ast }\ne O$。

当 $A$ 可逆时： $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$

4. 伴随矩阵的性质

性质	公式
$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$	伴随与转置可交换
$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }$	可逆时伴随的逆等于逆的伴随
$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$	伴随与乘法：顺序颠倒
$(A^{\ast }{)}^{\ast }=(\det A{)}^{n-2}A$	双重伴随

5. 伴随矩阵与可逆性判定

$A^{\ast }=O\iff A\text{ 不可逆（或 }\det A=0\text{）}$

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二、Cramer 法则

法则内容

若 $n$ 元线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的系数行列式 $D=\det A\ne 0$，则方程组有唯一解：

$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D}$

其中 $D_j$ 是将系数矩阵 $A$ 的第 $j$ 列换成常数项 $\mathbf{b}$ 后得到的行列式。

证明思路

利用代数余子式的正交性展开证明。

适用范围

Cramer 法则要求：

1. 方程个数 = 未知量个数（方阵）
2. 系数行列式 $\ne 0$

对于大规模方程组，Cramer 法则计算量极大（需计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式），通常用消元法更高效。

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三、用系数行列式判断方程组的解

1. 齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$

条件	结论
$\det A\ne 0$	只有零解
$\det A=0$	有非零解（无穷多解）

2. 非齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

条件	结论
$\det A\ne 0$	有唯一解（$A$ 可逆）
$\det A=0$	可能无解，也可能有无穷多解（需进一步分析）

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四、逆矩阵的三种求法对比

方法	公式/步骤	适用场景
定义法	求 $B$ 使 $AB=BA=E$	小矩阵、理论推导
伴随矩阵法	$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$	小矩阵（$n\le 3$）
初等变换法	$(A\mid E)\stackrel{r}{\to }(E\mid A^{-1})$	大矩阵（实际计算首选）

初等变换法计算量约为 $O(n^3)$，伴随矩阵法需要计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式，计算量远大于初等变换法。

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本节小结

知识点	内容
伴随矩阵	$A^{\ast }=(A_{ji})$；$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=(\det A)E$
逆矩阵公式	$A^{-1}=A^{\ast }/\det A$（$\det A\ne 0$）
Cramer 法则	$D\ne 0$ 时，$x_j=D_j/D$
可逆判定	$\det A\ne 0\iff A$ 可逆
齐次方程	$D\ne 0\Rightarrow$ 只有零解；$D=0\Rightarrow$ 有非零解
求逆方法	初等变换法 > 伴随矩阵法（实际计算）