3.2 行列式的主要性质

本节主要内容

1. 一、行列式的7条基本性质
2. 二、初等行变换对行列式的作用
3. 三、行列式按行（列）展开定理
4. 四、可逆矩阵与行列式
5. 五、行列式的计算方法
6. 六、常见行列式类型

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一、行列式的7条基本性质

重要原则： 行列式中行与列具有同等地位，凡是对行成立的性质，对列也同样成立。

性质 1：转置不变

$\det A^T=\det A$

行列式的转置不改变其值。

性质 2：拆分性

若某行（列）元素是两数之和： $D=\left|\begin{array}{c}\cdots \\ a_{ij}+b_{ij}\\ \cdots \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\cdots \\ a_{ij}\\ \cdots \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\cdots \\ b_{ij}\\ \cdots \end{array}\right|$

性质 3：对换变号

交换两行（列），行列式变号。

推论： 若两行（列）完全相同，则 $\det A=0$。

性质 4：数乘提取

某行（列）的所有元素乘以 $k$，等于用 $k$ 乘以整个行列式。

推论 1： 某行（列）全为零 $\Rightarrow \det A=0$。

推论 2： $\det (kA)=k^n\det A$（$A$ 为 $n$ 阶）。

性质 5：比例为零

若两行（列）元素成比例，则 $\det A=0$。

性质 6：倍加不变（最常用！）

将某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式不变。

这条性质是化三角形法计算行列式的核心依据。

性质 7：三角形特殊性

• 上（下）三角形行列式 = 主对角线元素之积
• 对角行列式 = 主对角线元素之积

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二、初等行变换对行列式的作用

初等变换	对应初等矩阵	行列式变化
对换 $r_i\leftrightarrow r_j$	$P(i,j)$	$\det$ 变号
数乘 $k\times r_i$	$P(i(k))$	$\det$ 扩大 $k$ 倍
倍加 $r_i+k{r}_j$	$P(i,j(k))$	$\det$ 不变

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三、行列式按行（列）展开定理

1. 余子式与代数余子式

划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列后，得到的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。

$a_{ij}$ 的代数余子式为： $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

2. 展开定理

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和：

按第 $i$ 行展开： $\det A=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$

按第 $j$ 列展开： $\det A=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$

3. 展开定理的推论（正交性）

$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=\{\begin{array}{ll}\det A,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

即某行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零。

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四、可逆矩阵与行列式

1. 可逆矩阵的行列式判别

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $\iff \det A\ne 0$

2. 方阵乘积的行列式

$\det (AB)=\det A\cdot \det B$

推论： $\det (A^k)=(\det A{)}^k$

3. 可逆矩阵逆的行列式

$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$

4. 伴随矩阵

由代数余子式构成的矩阵： $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$

重要公式： $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=(\det A)E$

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五、行列式的计算方法

方法一：化三角形法（最常用）

利用**性质6（倍加不变）**将行列式化为上三角形行列式，主对角线元素之积即为行列式的值。

步骤：

1. 将第一列主元位置下方元素化为 0
2. 盖住第一行，继续处理余下子矩阵
3. 直到化为上三角形

方法二：降阶法（按行/列展开）

选择零元素较多的行（列）展开，逐步降低阶数。

方法三：拆分法

当某行（列）可拆分为两行列式之和时使用。

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六、常见行列式类型

1. 箭形（爪形）行列式

$\det A=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_1& b_2& \cdots & b_n\\ c_1& a_2& 0& \cdots & 0\\ c_2& 0& a_3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_n& 0& 0& \cdots & a_{n+1}\end{array}\right|=a_1{a}_2\cdots a_{n+1}-{\sum }_{i=1}^n{a}_1\cdots \widehat{a_i}\cdots a_{n+1}{b}_i{c}_i$

2. 三对角线行列式（递推公式）

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a& b& 0& \cdots & 0\\ c& a& b& \cdots & 0\\ 0& c& a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & b\\ 0& 0& 0& c& a\end{array}\right|$

递推关系：$D_n=a{D}_{n-1}-bc{D}_{n-2}$

3. Vandermonde 行列式

$V_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$

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本节小结

知识点	内容
7条性质	转置不变、拆分性、对换变号、数乘提取、比例为零、倍加不变
展开定理	$\det A=\sum a_{ij}{A}_{ij}$
可逆判别	$\det A\ne 0\iff A$ 可逆
乘积公式	$\det (AB)=\det A\cdot \det B$
伴随矩阵	$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=(\det A)E$
计算方法	化三角形法（最常用）、降阶法、拆分法
特殊行列式	箭形、三对角线、Vandermonde