3.1 方阵的行列式

本节主要内容

1. 一、低阶行列式的定义与计算
2. 二、排列与逆序数
3. [三、n 阶行列式的定义](#三n 阶行列式的定义)
4. 四、行列式的基本性质

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一、低阶行列式的定义与计算

1. 一阶行列式

一阶方阵 $(a_{11})$ 的行列式定义为 $\det (a_{11})=a_{11}$。

2. 二阶行列式

定义： 由四个数排成二行二列的数表 $D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

几何含义： 代表平行四边形的（有向）面积。

对角线法则：

• 主对角线：$a_{11}\times a_{22}$（保留）
• 副对角线：$a_{12}\times a_{21}$（减去）

3. 三阶行列式

$\det A=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

注意： 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

4. 克莱姆法则（二元方程组）

对于二元线性方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$

记系数行列式 $D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$，则：

$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D}$

其中 $D_1,D_2$ 是将系数矩阵的对应列换成常数列 $b_1,b_2$ 后的行列式。

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二、排列与逆序数

1. n 级排列

把 $n$ 个不同的自然数 $1,2,\cdots ,n$ 排成一列，组成的有序数组称为一个 n 级排列。

记作 $(i_1{i}_2\cdots i_n)$。共有 $n!$ 个不同排列。

自然排列（标准序）：$(1,2,\cdots ,n)$

2. 逆序

在一个排列中，若较大的数排在前，较小的数排在后，则称这两个数构成一个逆序。

逆序数：排列中所有逆序的总数，记作 $\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)$。

计算方法： 从左到右，逐个数后面比它小的个数之和。

例： 排列 $(3,2,5,1,4)$ 的逆序：

• 3 后面比 3 小的：2, 1 → 2个
• 2 后面比 2 小的：1 → 1个
• 5 后面比 5 小的：1, 4 → 2个
• 1 后面：0个
• 4 后面：0个

总逆序数 = 5，故为奇排列。

3. 排列的奇偶性

类型	定义
奇排列	逆序数为奇数
偶排列	逆序数为偶数

4. 对换

对换：仅交换排列中两个数的位置，其他数位置不变。

定理 1： 一次对换改变排列的奇偶性。

定理 2： 任意一个 n 级排列都可经一系列对换变成自然排列，且对换次数 $s$ 与排列奇偶性的关系为：$(-1{)}^s=(-1{)}^{\tau }$。

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三、n 阶行列式的定义

1. n 阶行列式的一般定义

$n$ 阶行列式定义为 $n!$ 项之和，每一项是取自不同行、不同列的 $n$ 个元素的乘积：

$\det A={\sum }_{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$

其中：

• $(j_1{j}_2\cdots j_n)$ 是 $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列
• $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$ 是该排列的逆序数
• $(-1{)}^{\tau }$ 称为该排列的符号

核心观察：

• 二阶行列式：$2!=2$ 项
• 三阶行列式：$3!=6$ 项
• n 阶行列式：$n!$ 项

2. 行列式的另一种定义（按行展开）

$n$ 阶行列式也可以定义为： $\det A={\sum }_{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{M}_{ij}$

其中 $M_{ij}$ 是划去第 $i$ 行、第 $j$ 列后得到的 $n-1$ 阶子行列式（余子式）。

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四、行列式的基本性质

性质	内容
(1)	$\det A^T=\det A$（转置不改变行列式）
(2)	互换两行（列），行列式变号
(3)	某行（列）有公因子，可提到行列式外
(4)	两行（列）相同，行列式 $=0$
(5)	某行（列）为两数之和，可拆分
(6)	某行（列）的 $k$ 倍加到另一行，行列式不变

重点： 性质 (6) 是用高斯消元法计算行列式的基础。

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本节小结

知识点	内容
二阶行列式	$\det =a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$，对角线法则
三阶行列式	6项展开，对角线法则（仅限三阶）
n 级排列	$n$ 个数的有序排列，共 $n!$ 个
逆序数	排列中所有逆序的总数
奇偶排列	逆序数奇→奇排列；偶→偶排列
对换	一次对换改变奇偶性
n 阶行列式	$n!$ 项之和，每项取不同行不同列，符号由排列逆序数决定
基本性质	转置不变、换行变号、倍加不变、某行全零=0