2.5 分块矩阵

本节主要内容

1. 一、分块矩阵的定义
2. 二、分块矩阵的运算
3. 三、分块对角矩阵
4. 四、分块矩阵的广义初等变换

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一、分块矩阵的定义

1. 什么是分块矩阵

用横线和竖线将矩阵分成若干个小块，每一个小块称为矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

分块原则：

1. 首先满足同型矩阵的条件
2. 再考虑对角或三角矩阵的形式
3. 然后考虑 $E$ 以及其他特殊矩阵

2. 常见分块形式

分块形式	说明
按列分块	$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$
按行分块	$A=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\beta }}_1\\ {\mathbf{\beta }}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{\beta }}_m\end{array}\right)$

3. 分块的意义

对于行数和列数较高的矩阵，采用分块法可以将大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现化整为零的思想。

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二、分块矩阵的运算

1. 加法

若 $A,B$ 为同型矩阵，采用相同的分块法，则：

$A+B=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}+B_{11}& A_{12}+B_{12}\\ A_{21}+B_{21}& A_{22}+B_{22}\end{array}\right)$

形式上与普通矩阵加法相同！

2. 数乘

$\lambda A=\left(\begin{array}{cc}\lambda A_{11}& \lambda A_{12}\\ \lambda A_{21}& \lambda A_{22}\end{array}\right)$

3. 乘法（关键）

设 $A$ 为 $m\times l$ 矩阵，$B$ 为 $l\times n$ 矩阵，将 $A,B$ 分块如下：

$A={\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)}_{r\times s},B={\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)}_{s\times t}$

其中 $A$ 的列分块方式与 $B$ 的行分块方式必须一致（$A_{1j}$ 的列数 $=B_{i1}$ 的行数）。

则： $C=AB=\left(\begin{array}{cc}{C}_{11}& C_{12}\\ C_{21}& C_{22}\end{array}\right)$

其中 $C_{ij}=A_{i1}{B}_{1j}+A_{i2}{B}_{2j}$（子块乘法之和）。

4. 转置

分块矩阵不仅形式上要转置，每一个子块也都要转置：

${\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}^T& A_{21}^T\\ A_{12}^T& A_{22}^T\end{array}\right)$

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三、分块对角矩阵

1. 定义

分块对角矩阵（准对角矩阵）的定义：

1. 只有在对角线上有非零子块
2. 其余子块都是零矩阵
3. 对角线上的子块都是方阵

记作：

$A=\text{diag}(A_1,A_2,\cdots ,A_s)=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)$

2. 分块对角矩阵的性质

• 加法/数乘：同型分块对角矩阵相加，仍是分块对角矩阵（对应子块相加）
• 乘法：同型分块对角矩阵相乘，仍是分块对角矩阵（对应子块相乘）
• 可逆：若所有子块 $A_i$ 均可逆，则 $A$ 可逆，且

$A^{-1}=\text{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1},\cdots ,A_s^{-1})$

• 行列式：$\det A=\det A_1\cdot \det A_2\cdots \det A_s$

3. 例题

例 2： 设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ c& d\end{array}\right)$，求 $A+B$。

解： 分块取 $A_1=(a)$，$A_2=(b)$，$A_3=(1)$，类似地分块 $B$，则： $A+B=\left(\begin{array}{cc}a+1& b\\ c& d+1\end{array}\right)$

例 3： 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 9\end{array}\right)$，求 $A^{-1}$。

解： 分块为 $A=\text{diag}(A_1,A_2)$，其中 $A_1=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$，$A_2=(9)$。

$A_1^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& -\frac{1}{9}\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right),A_2^{-1}=\left(\frac{1}{9}\right)$

故 $A^{-1}=\text{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1})$。

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四、分块矩阵的广义初等变换

与普通初等变换类似，分块矩阵也有三类广义初等变换：

变换类型	操作
(1) 对换	交换两行（列）
(2) 数乘	用可逆矩阵左乘某行（右乘某列）
(3) 倍加	用矩阵左乘某行后加到另一行（类似列变换）

这些变换可以用广义初等矩阵表示，与普通初等变换理论完全对应。

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本节小结

知识点	内容
分块矩阵	用横竖线将大矩阵分成小块，化成小矩阵运算
分块加法/数乘	与普通矩阵运算规则相同
分块乘法	左行×右列，子块相乘求和；列分块与行分块必须匹配
分块转置	形式转置 + 每个子块也转置
分块对角矩阵	$\text{diag}(A_1,\cdots ,A_s)$；行列式为子块行列式之积
分块对角矩阵求逆	$A^{-1}=\text{diag}(A_1^{-1},\cdots ,A_s^{-1})$
广义初等变换	与普通初等变换对应，用广义初等矩阵表示