2.4 转置矩阵与特殊方阵

本节主要内容

1. 一、转置矩阵
2. 二、对称与反对称矩阵
3. 三、对角矩阵
4. 四、正交矩阵

---

一、转置矩阵

1. 定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，将 $A$ 的行顺次改成列，得到 $n\times m$ 矩阵，称为 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$ 或 $A^{\prime }$。

$(A^T{)}_{ij}=a_{ji}$

注意：$A^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，等于 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素。

2. 转置矩阵的运算性质

序号	性质
(1)	$(A^T{)}^T=A$
(2)	$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
(3)	$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
(4)	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
(5)	若 $A$ 可逆，则 $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$

性质 (4) 推广：$(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$（顺序颠倒）

---

二、对称与反对称矩阵

1. 对称矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $A^T=A$（即 $a_{ij}=a_{ji}$），则 $A$ 为对称矩阵。

特点：元素以主对角线为对称轴对应相等。

对称矩阵的乘积未必是对称矩阵！（需 $AB=BA$ 才成立）

2. 反对称矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $A^T=-A$（即 $a_{ij}=-a_{ji}$），则 $A$ 为反对称矩阵。

特点：主对角线元素为零（$a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow a_{ii}=0$），其余元素关于主对角线互为相反数。

3. 重要定理：任何矩阵可分解为对称与反对称之和

任意 $n$ 阶矩阵 $A$ 均可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和：

$A=\underset{\text{对称}}{\underbrace{\frac{A+A^T}{2}}}+\underset{\text{反对称}}{\underbrace{\frac{A-A^T}{2}}}$

证明： 令 $C=\frac{A+A^T}{2}$，$B=\frac{A-A^T}{2}$，则 $C^T=C$（对称），$B^T=-B$（反对称），且 $A=B+C$。

4. 对称/反对称矩阵的性质

• 两个同阶对称矩阵的和仍是对称矩阵
• 对称矩阵的数乘仍是对称矩阵
• 两个同阶反对称矩阵的和仍是反对称矩阵
• 反对称矩阵的数乘仍是反对称矩阵

5. 例题

例 3： 设列向量 $\mathbf{x}$ 满足 ${\mathbf{x}}^T\mathbf{x}=1$，令 $H=E-2\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T$，证明 $H$ 是对称矩阵且 $H{H}^T=E$。

证明： $H^T=(E-2\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T{)}^T=E^T-2(\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T{)}^T=E-2\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T=H$

故 $H$ 对称。又： $H^2=(E-2\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T{)}^2=E-4\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T+4\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T=E-4\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T+4\mathbf{x}({\mathbf{x}}^T\mathbf{x}){\mathbf{x}}^T$ $=E-4\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T+4\mathbf{x}\cdot 1\cdot {\mathbf{x}}^T=E$ 故 $H{H}^T=H^2=E$。

---

三、对角矩阵

1. 定义

主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角矩阵（Diagonal Matrix）：

$\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$

2. 特殊对角矩阵

类型	定义
单位矩阵 $E$	主对角线元素全为 1，${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=1$
数量矩阵 $\lambda E$	主对角线元素全为同一个常数 $\lambda$

3. 对角矩阵的运算

• 可逆条件：对角矩阵 $A$ 可逆 $\iff$ 所有主对角线元素 ${\lambda }_i\ne 0$
• 逆矩阵：若 $A=\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$ 可逆，则 $A^{-1}=\text{diag}({\lambda }_1^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1})$
• 加法：两个同型对角矩阵的和仍是对角矩阵（对应元素相加）
• 乘法：两个同型对角矩阵的乘积仍是对角矩阵（对应元素相乘）

注意： 对角矩阵的运算只需在主对角线上进行，非常简便。

---

四、正交矩阵

1. 定义

若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足： $A^{T}A=E$ 则称 $A$ 为正交矩阵（Orthogonal Matrix）。

由定义可知 $A^T=A^{-1}$，故正交矩阵必可逆。

2. 正交矩阵的判定条件（列/行向量视角）

$n$ 阶实矩阵 $A$ 为正交矩阵 $\iff$ $A$ 的列（行）向量组满足：

${\sum }_{k=1}^n{a}_{ki}{a}_{kj}={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$

即：

• 每一列向量的模长为 1（平方和为 1）
• 不同列向量两两正交（内积为 0）

3. 正交矩阵的性质

序号	性质
(1)	若 $A$ 正交，则 $A^{-1}=A^T$ 也是正交矩阵
(2)	若 $A,B$ 均为正交矩阵，则 $AB$ 也是正交矩阵
(3)	$

---

本节小结

知识点	内容
转置矩阵	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$，$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$
对称矩阵	$A^T=A$；任意矩阵可唯一分解为对称 + 反对称
反对称矩阵	$A^T=-A$；对角线元素为 0
对角矩阵	仅主对角线有非零元素；运算简便
正交矩阵	$A^{T}A=E$；列（行）向量两两正交且模长为 1