2.3 逆矩阵

本节主要内容

1. 一、逆矩阵的定义
2. 二、可逆矩阵的运算性质
3. 三、初等变换与初等矩阵
4. 四、用初等变换求逆矩阵

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一、逆矩阵的定义

1. 背景

在数的运算中，当 $a\ne 0$ 时，$a$ 有倒数 $a^{-1}$，满足 $a\cdot a^{-1}=1$。

类似地，在矩阵运算中，单位矩阵 $E$ 相当于”数 1”，对于矩阵 $A$，若存在矩阵 $B$，使得 $AB=BA=E$，则 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵。

2. 逆矩阵的定义

定义 2.3.1： 对于 $n$ 阶矩阵 $A$，若存在矩阵 $B$，使得： $AB=BA=E$ 则称 $A$ 为可逆矩阵，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}=B$。

3. 说明

说明 1： 可逆矩阵必定是方阵。

说明 2： 若 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵是唯一的。

证明：设 $B,C$ 都是 $A$ 的逆矩阵，则 $B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$，故唯一。

4. 判定方法

方法一： 用定义判断——直接验证 $AB=BA=E$

方法二： 若 $AB=E$（或 $BA=E$），则 $A$ 与 $B$ 都可逆，且互为逆矩阵。

注：只需验证其中一个等式即可。

5. 逆矩阵的求法：定义法

例： 设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$，求 $A^{-1}$。

解： 设 $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，由 $AB=E$：

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+2c=1\\ b+2d=0\\ c=0\\ d=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=0\\ d=1\end{array}$

故 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$。

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二、可逆矩阵的运算性质

序号	性质
(1)	若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
(2)	若 $A$ 可逆，数 $\lambda \ne 0$，则 $(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$
(3)	若 $A,B$ 均可逆，则 $AB$ 也可逆，且 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
推广	$(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}{A}_1^{-1}$
(4)	若 $A$ 可逆，则 $A^T$ 也可逆，且 $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

注意： $(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$，且 $A+B$ 可能不可逆。

例：证明矩阵可逆

设 $A^2+2A-E=O$，证明 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$。

证明： 由 $A^2+2A-E=O$ 得 $A^2+2A=E$，即 $A(A+2E)=E$，故 $A$ 可逆且 $A^{-1}=A+2E$。

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三、初等变换与初等矩阵

1. 矩阵的初等变换

变换	操作
(1) 对换变换	交换两行（$r_i\leftrightarrow r_j$）或两列（$c_i\leftrightarrow c_j$）
(2) 数乘变换	用非零数 $k$ 乘某行（$k\times r_i$）或某列（$k\times c_i$）
(3) 倍加变换	将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（$r_i+k{r}_j$）

初等变换的逆变换仍为初等变换，且类型相同。

2. 矩阵等价

若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$。

等价关系的性质：

• 反身性：$A\sim A$
• 对称性：若 $A\sim B$，则 $B\sim A$
• 传递性：若 $A\sim B,B\sim C$，则 $A\sim C$

3. 初等矩阵

由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。

类型	操作	记号
第一类	交换 $E$ 的第 $i,j$ 行（列）	$P(i,j)$
第二类	用 $k\ne 0$ 乘第 $i$ 行（列）	$P(i(k))$
第三类	将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行	$P(i,j(k))$

引理 2.3.1： 对矩阵 $A$ 施行一次初等行（列）变换，相当于在 $A$ 的左（右）边乘以相应的初等矩阵。

• $r_i\leftrightarrow r_j$：$P(i,j)\cdot A=A$ 经过对换行
• $k\times r_i$：$P(i(k))\cdot A$
• $r_i+k{r}_j$：$P(i,j(k))\cdot A$
• 列变换类似（右边乘）

4. 初等矩阵的逆矩阵

初等矩阵	逆矩阵
$P(i,j)$	$P(i,j)$（自身）
$P(i(k))$	$P(i(\frac{1}{k}))$
$P(i,j(k))$	$P(i,j(-k))$

推论：初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。

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四、用初等变换求逆矩阵

定理 2.3.4（可逆性判定）

对于 $n$ 阶矩阵 $A$，以下命题等价：

1. $A$ 可逆
2. 齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 只有零解
3. $A$ 与单位矩阵 $E_n$ 行等价（$A$ 可经有限次初等行变换化为 $E$）

证明思路：

• (1) ⇒ (2)：若 $A$ 可逆，$A\mathbf{x}=0$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $\mathbf{x}=0$
• (2) ⇒ (3)：只有零解 → 主元列数 $=n$ → $A$ 的行最简形为 $E$
• (3) ⇒ (1)：$A=P_1{P}_2\cdots P_{k}E$ → $A$ 为可逆矩阵的乘积 → 可逆

推论

1. $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\iff$ $A$ 可表示为若干初等矩阵的乘积
2. 若 $A$ 与 $B$ 行等价，则 $A$ 可逆 $\iff$ $B$ 可逆
3. 若 $AB=E$（或 $BA=E$），则 $A,B$ 均可逆，且互为逆矩阵

用初等行变换求逆矩阵的方法

将 $A$ 与 $E$ 并排放置，做联合矩阵 $(A\mid E)$，对其实施初等行变换：

$\left(A\mid E\right)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left(E\mid A^{-1}\right)$

操作步骤：

1. 构造分块矩阵 $(A\mid E)$
2. 用初等行变换将左侧 $A$ 化为 $E$
3. 右侧同步变为 $A^{-1}$

注意事项：

• 左右两侧每次变换必须同步
• 全程只能使用初等行变换（不能有列变换）
• 若化简过程中某行全为零 $\Rightarrow$ $A$ 不可逆

用初等列变换求逆矩阵

类似地： $\left(\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right)\stackrel{\text{初等列变换}}{\to }\left(\begin{array}{c}E\\ A^{-1}\end{array}\right)$

求矩阵方程 $AX=B$

若 $A$ 可逆，则 $X=A^{-1}B$。

求法：对 $(A\mid B)$ 做初等行变换：

$\left(A\mid B\right)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left(E\mid A^{-1}B\right)$

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本节小结

知识点	内容
逆矩阵	$AB=BA=E$，则 $B=A^{-1}$
性质	$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$，$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$
初等矩阵	$P(i,j)$、$P(i(k))$、$P(i,j(k))$
初等变换与矩阵乘法	行变换 = 左乘初等矩阵；列变换 = 右乘初等矩阵
求逆矩阵	$(A\mid E)\stackrel{r}{\to }(E\mid A^{-1})$
可逆判定	$A$ 与 $E$ 行等价；齐次方程只有零解