2.1 & 2.2 矩阵的代数运算

本节主要内容

1. 一、同型矩阵与矩阵相等
2. 二、矩阵的线性运算
3. 三、矩阵的乘法运算
4. 四、矩阵的幂与矩阵多项式

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一、同型矩阵与矩阵相等

1. 同型矩阵

若两个矩阵的行数相等、列数相等，则称它们为同型矩阵。

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$B=(b_{ij}{)}_{m\times n}$，则 $A$ 与 $B$ 是同型的 $m\times n$ 矩阵。

2. 矩阵相等

若 $A$ 与 $B$ 为同型矩阵，且对应元素相等，即 $a_{ij}=b_{ij}$ $(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$。

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二、矩阵的线性运算

1. 矩阵的加法

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$B=(b_{ij}{)}_{m\times n}$，定义： $A+B=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{m\times n}$

注意：只有同型矩阵才能进行加法运算。

2. 负矩阵

$-A=(-a_{ij}{)}_{m\times n}$

利用负矩阵，可以定义矩阵的减法： $A-B=A+(-B)$

3. 数与矩阵的乘法

设 $k$ 为常数，$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，定义： $kA=Ak=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$

4. 矩阵的线性运算

矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算。

5. 线性运算的性质

序号	性质
(1)	$A+B=B+A$（交换律）
(2)	$(A+B)+C=A+(B+C)$（结合律）
(3)	$A+O=A$
(4)	$A+(-A)=O$
(5)	$1\cdot A=A$
(6)	$k(lA)=(kl)A$
(7)	$k(A+B)=kA+kB$（分配律）
(8)	$(k+l)A=kA+lA$（分配律）
(9)	若 $kA=O$，则 $k=0$ 或 $A=O$

矩阵的线性运算与向量的线性运算完全一致！

6. 线性组合

若 $B=k_1{A}_1+k_2{A}_2+\cdots +k_s{A}_s$，则称 $B$ 可由 $A_1,A_2,\cdots ,A_s$ 线性表示，或称 $B$ 是 $A_1,A_2,\cdots ,A_s$ 的一个线性组合，$k_1,k_2,\cdots ,k_s$ 为组合系数。

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三、矩阵的乘法运算

1. 矩阵乘法的定义

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$，$B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$，则 $A$ 与 $B$ 的乘积 $C=AB$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，其中：

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}={\sum }_{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$

记作 $C=(c_{ij}{)}_{m\times n}$。

2. 乘法规则：左行 × 右列

$(AB{)}_{ij}$ = 第 $i$ 行与第 $j$ 列的内积（数量积）。

前提条件： 左矩阵的列数 = 右矩阵的行数，否则不能相乘。

结果矩阵的形状： $\text{行数}=A\text{的行数},\text{列数}=B\text{的列数}$

3. 从方程组角度看矩阵乘法

多元线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：

• $A$：系数矩阵（$m\times n$）
• $\mathbf{x}$：未知向量（$n\times 1$）
• $\mathbf{b}$：常数向量（$m\times 1$）

展开即： $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

4. 几何变换示例：旋转变换

以原点为中心逆时针旋转 $\theta$ 角的旋转变换：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

5. 矩阵乘法与数乘法的本质区别（重要！）

数的乘法	矩阵乘法
若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$	若 $AB=O$，不一定 $A=O$ 或 $B=O$
$ab=ba$（交换律成立）	$AB=BA$（交换律一般不成立）
若 $ac=ad$ 且 $a\ne 0$，则 $c=d$	若 $AC=AD$ 且 $A\ne O$，不一定 $C=D$

核心教训： 矩阵乘法不满足交换律和消去律！

6. 矩阵乘法的运算规律

规律	公式
结合律	$(AB)C=A(BC)$
左分配律	$A(B+C)=AB+AC$
右分配律	$(A+B)C=AC+BC$
数乘结合律	$(kA)B=A(kB)=k(AB)$
零矩阵	$AO=O$，$OA=O$
单位矩阵	$E_m{A}_{m\times n}=A$，$A_{m\times n}{E}_n=A$
矩阵幂	$A^k{A}^l=A^{k+l}$，$(A^k{)}^l=A^{kl}$

推论：$\lambda E$ 与任何同阶方阵都是可交换的。

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四、矩阵的幂与矩阵多项式

1. 矩阵的幂

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，定义： $A^0=E,A^1=A,A^2=AA,\cdots ,A^{k+1}=A^k\cdot A$

性质：

• $A^k{A}^l=A^{k+l}$
• $(A^k{)}^l=A^{kl}$
• $(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$（交换律不成立时）

2. 矩阵多项式

设 $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_m{x}^m$ 为多项式，$A$ 为 $n$ 阶方阵，定义：

$f(A)=a_{0}E+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_m{A}^m$

称为 $A$ 的一个矩阵多项式。

一般地，$A$ 的矩阵多项式之间可交换。

3. 重要性质

若 $AB=BA$（$A$ 与 $B$ 可交换），则： $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2$ $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-B^2$ $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

若 $AB\ne BA$，则上式一般不成立！

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本节小结

知识点	内容
同型矩阵	行数、列数分别相等的两个矩阵
矩阵相等	同型且对应元素相等
线性运算	加法、数乘、负矩阵、线性组合
矩阵乘法	左行×右列；$c_{ij}=\sum a_{ik}{b}_{kj}$
乘法特殊性	不满足交换律、消去律；$AB$ 可能为零
运算律	结合律、左右分配律、单位矩阵、零矩阵
矩阵幂	$A^k$，$A^0=E$
矩阵多项式	$f(A)=\sum a_k{A}^k$