1.2 行化简与阶梯形矩阵

1.2 行化简与阶梯形矩阵——解的存在唯一性

本节主要内容

1. 一、阶梯形矩阵与行最简形
2. 二、方程组解的情况的判定
3. 三、使用初等行变换求解线性方程组

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一、阶梯形矩阵与行最简形

1. 阶梯形矩阵的定义

称满足下列两条性质的矩阵为阶梯形矩阵（Row Echelon Form）：

1. 所有非零行均在零行之上（即零行在矩阵最下方）
2. 每一行非零首元（第一个非零元素）所在的列，都在上一行非零首元所在列的右边

阶梯形矩阵的一般形状：

$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1r}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2r}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{rr}& \cdots & a_{rn}\\ 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0\end{array}\right)(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{rr}\ne 0)$

示例：

$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right)\text{是阶梯形}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{是阶梯形}$

2. 行最简形的定义

如果阶梯形矩阵 $A$ 还满足以下两个条件，则称为行最简形（Reduced Row Echelon Form，RREF 或 Jordan 标准形）：

1. 所有非零行的非零首元均为 1
2. 非零首元所在列的其余元素全为 0

示例：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{是行最简形}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{是行最简形}$

3. 主元和主元列

• 主元位置：阶梯形中非零首元对应的位置
• 主元：位于主元位置的元素
• 主元列：主元所在的列

重要结论： 不同顺序的初等行变换化出的阶梯形可能不同，但主元位置是相同的，且行最简形是唯一的。

4. 化矩阵为阶梯形（行最简形）的一般步骤

化为阶梯形：

1. 从矩阵最左边的非零列开始，主元位置在该列的第一行；若该位置元素为零，用对换变换把非零行换上来
2. 用倍加变换将主元下方的元素化为零
3. 盖住含有主元位置的行和它上方的所有行，对余下的子矩阵重复以上步骤
4. 得到阶梯形矩阵

化为行最简形：

5. 用倍加变换将主元列中主元以外的所有元素化为零
6. 用数乘变换将主元化为 1

从下往上进行，用主元将上方的元素也清零。

消元法的本质： 将线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形或行最简形。

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二、方程组解的情况的判定

1. 线性方程组解的判定

对于线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，设 $A$ 为系数矩阵，$[A\mid \mathbf{b}]$ 为增广矩阵：

条件	结论
增广矩阵主元列数 $\ne$ 系数矩阵主元列数	无解（不相容）
增广矩阵主元列数 $=$ 系数矩阵主元列数 $=$ 未知量个数 $n$	唯一解
增广矩阵主元列数 $=$ 系数矩阵主元列数 $<$ 未知量个数 $n$	无穷多解

关键判据： 增广矩阵最后一列是否是主元列。

• 若增广矩阵的最后一列（常数项列）成为主元列 → 无解（矛盾方程）
• 否则有解，再比较主元列数与未知量个数

2. 矛盾方程

增广矩阵的主元列数 > 系数矩阵的主元列数 时，说明出现了形如 $0=1$ 的矛盾方程，方程组无解。

例：某行化为 $[00\cdots 0\mid 1]$，即 $0x_1+0x_2+\cdots +0x_n=1$，显然无解。

3. 齐次线性方程组

对于齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$，由于常数项全为零，一定有解（至少零解）：

条件	结论
系数矩阵主元列数 $=$ 未知量个数 $n$	唯一解（只有零解）
系数矩阵主元列数 $<$ 未知量个数 $n$	非零解（无穷多解）

推论： $n$ 个未知量 $n$ 个方程的齐次线性方程组有非零解 $\iff$ 系数行列式 $=0$。

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三、使用初等行变换求解线性方程组

求解步骤

1. 写出线性方程组的增广矩阵 $[A\mid \mathbf{b}]$
2. 对增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵，用主元列数判断是否相容
   • 若不相容，停止
   • 若相容，继续
3. 继续进行初等行变换，得到行最简形
4. 写出行最简形矩阵对应的线性方程组
5. 找出基本变量（主元列对应的变量）和自由变量（非主元列对应的变量）
6. 将基本变量用自由变量显示表示出来，写出通解

基本变量与自由变量

• 基本变量（首变量）：主元列对应的变量，在行最简形中每个基本变量只在一个方程中出现
• 自由变量：非主元列对应的变量，可以任意取值

自由变量个数公式： $\text{自由变量数}=\text{未知量总数}-\text{主元列数}$

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本节小结

阶梯形矩阵 vs 行最简形

特征	阶梯形（REF）	行最简形（RREF）
非零行在上	✓	✓
主元严格右移	✓	✓
主元均为 1	不要求	✓
主元列其他元素为 0	不要求	✓
唯一性	不唯一	唯一

解的判定流程图

增广矩阵 → 化阶梯形
    ↓
增广矩阵主元列数 ≠ 系数矩阵主元列数？
    ↓是                ↓否
  无解            有解（相容）
                   ↓
            主元列数 = n？ → 唯一解
                   ↓否
              无穷多解（自由变量）

齐次方程组特例

• 一定有解（零解）
• 主元列数 $=n$ → 只有零解
• 主元列数 $<n$ → 有非零解（无穷多解）

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典型例题

例 1：化矩阵为阶梯形与行最简形

将下列矩阵化为阶梯形和行最简形，并指出主元列：

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& -3& 1& 6\\ 2& 1& -4& 8\\ 1& -1& 2& -2\end{array}\right)$

解（阶梯形化简步骤）：

$A\stackrel{r_1\leftrightarrow r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& -2\\ 2& 1& -4& 8\\ 0& -3& 1& 6\end{array}\right)\stackrel{r_2-2r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& -2\\ 0& 3& -8& 12\\ 0& -3& 1& 6\end{array}\right)$ $\stackrel{r_3+r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& -2\\ 0& 3& -8& 12\\ 0& 0& -7& 18\end{array}\right)\stackrel{\frac{1}{3}{r}_2,-\frac{1}{7}{r}_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& -2\\ 0& 1& -\frac{8}{3}& 4\\ 0& 0& 1& -\frac{18}{7}\end{array}\right)$

阶梯形： 第一、二、三列为主元列。

行最简形（继续化简）： $\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& -2\\ 0& 1& -\frac{8}{3}& 4\\ 0& 0& 1& -\frac{18}{7}\end{array}\right)\stackrel{r_1+r_2,r_2+\frac{8}{3}{r}_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \frac{4}{7}\\ 0& 1& 0& -\frac{4}{7}\\ 0& 0& 1& -\frac{18}{7}\end{array}\right)$

例 2：求解线性方程组

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+2x_4+x_5=1\\ x_1+x_2+2x_3+3x_4+4x_5=2\\ 2x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=3\end{array}$

解： 增广矩阵化为行最简形后，得：

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1& 0& 6\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

基本变量：$x_1,x_2,x_3,x_5$；自由变量：$x_4=k$（任意常数）。

通解： $\{\begin{array}{l}{x}_1=4-k\\ x_2=6-k\\ x_3=-k\\ x_4=k\\ x_5=0\end{array}(k\in \mathbb{R})$

例 3：判断无解

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=2\\ 2x_1+2x_2+3x_3=3\\ x_1+x_2+2x_3=1\end{array}$

增广矩阵化简后出现零行和矛盾行，无解。