1.1 线性方程组、高斯消元法与矩阵

本章主要内容

向量的定义与运算
矩阵的定义
线性方程组的定义
高斯消元法

一、向量的定义与运算

1. n 维向量的定义

确定一架飞机的状态需要 6 个参数：机身的仰角、机翼的转角、机身的水平转角，以及飞机重心在空间的位置参数。因此飞机的状态可以用一个 6 维数组 来描述。

n 维向量就是 n 个有顺序的数组成的有序数组。

记作：／ $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 称为 n 维行向量； $α = a_{1} a_{2} ⋮ a_{n}$ 称为 n 维列向量。

其中 $a_{i}$ 称为向量的第 i 个分量。

2. 向量的相等

若两个 n 维向量的对应分量分别相等，则称这两个向量相等，记作 $α = β$ 。

3. 向量的加法

设 $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $β = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，定义： $α + β = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n})$

4. 数量乘法（数乘）

设 $k$ 为常数， $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，定义： $k α = (k a_{1}, k a_{2}, \dots, k a_{n})$

5. 负向量

$- α = (- a_{1}, - a_{2}, \dots, - a_{n})$ ，称其为 $α$ 的负向量。

利用负向量的概念，可以定义向量的减法： $α - β = α + (- β)$

6. 零向量

分量全为零的向量称为零向量，记作 $0 = (0, 0, \dots, 0)$ 。

注意：数零 0 和零向量 $0$ 是不同的。

7. 向量的线性运算

向量的加法与数乘是向量最基本的两种运算，统称为向量的线性运算。

7.1 线性运算的统一定义

设 $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $β = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 为任意 n 维向量， $k, l$ 为任意常数，则：

运算	定义	示例
加法	$α + β = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n})$	$(1, 2) + (3, 4) = (4, 6)$
数乘	$k α = (k a_{1}, k a_{2}, \dots, k a_{n})$	$2 (1, 2, 3) = (2, 4, 6)$
减法	$α - β = α + (- β)$	由加法与负向量导出

这两种运算之所以称为「线性」，是因为运算结果的分量是原分量的一次（线性）表达式，不涉及平方、乘积或其他非线性变换。

7.2 线性组合

由向量的加法和数乘可以组合出更复杂的运算——线性组合。

定义：给定向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 和一组数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ ，称

$β = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m}$

为向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 的一个线性组合， $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 称为该组合的系数。

例题：设 $α_{1} = (1, 0, - 1)$ ， $α_{2} = (2, 1, 3)$ ，求 $2 α_{1} - α_{2}$ 。

解： $2 α_{1} - α_{2} = 2 (1, 0, - 1) - (2, 1, 3) = (2, 0, - 2) - (2, 1, 3) = (0, - 1, - 5)$

7.3 线性运算的封闭性

n 维向量的线性运算具有封闭性（closure）：

任意两个 n 维向量的和仍为 n 维向量
任意 n 维向量的数乘仍为 n 维向量

这一性质意味着 n 维向量集合在线性运算下构成一个向量空间（vector space），这是线性代数的核心概念之一，将在后续章节中深入展开。

7.4 线性运算的几何意义（以 2 维为例）

运算	几何意义	示意图说明
加法	平行四边形法则	$α + β$ 是以 $α$ 、 $β$ 为邻边的平行四边形的对角线
数乘	缩放（同向/反向）	$k > 0$ 时同向拉伸； $k < 0$ 时反向拉伸；$
减法	三角形法则	$α - β$ 是从 $β$ 终点指向 $α$ 终点的向量

7.5 线性运算与线性方程组的联系

线性运算最直接的应用体现在线性方程组中。任何一个线性方程组：

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$ 都可以写成向量的线性组合形式： $$x_1\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} + \cdots + x_n\begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$ > 也就是说：**解线性方程组 = 寻找一组系数，使系数矩阵的列向量的线性组合等于常数向量**。这正是高斯消元法和后续章节中秩、线性相关/无关等概念的几何本质。 ### 8. 运算规律 对任意的 n 维向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 及任意的数 $k, l$，满足： | 序号 | 运算律 | |------|--------| | (1) | $\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}$（交换律） | | (2) | $(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})$（结合律） | | (3) | $\boldsymbol{\alpha} + \mathbf{0} = \boldsymbol{\alpha}$ | | (4) | $\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = \mathbf{0}$ | | (5) | $1 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$ | | (6) | $k(l\boldsymbol{\alpha}) = (kl)\boldsymbol{\alpha}$ | | (7) | $k(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k\boldsymbol{\alpha} + k\boldsymbol{\beta}$（分配律） | | (8) | $(k + l)\boldsymbol{\alpha} = k\boldsymbol{\alpha} + l\boldsymbol{\alpha}$（分配律） | ### 9. 向量的性质 由以上运算规律可以推出： - $0 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}$ - $k \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$ - 若 $k \neq 0$ 且 $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$，则 $k\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ - 若 $k\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}$，则 $k = 0$ 或 $\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}$ --- ## 二、矩阵的定义 ### 1. 引例：航线问题 某航空公司在 A、B、C、D 四城市之间开辟了若干航线，可用数表表示： | 发站/到站 | A | B | C | D | |-----------|----|----|----|----| | A | 0 | 1 | 1 | 1 | | B | 1 | 0 | 0 | 0 | | C | 1 | 0 | 0 | 1 | | D | 1 | 0 | 1 | 0 | > 其中有航班用 1 表示，无航班用 0 表示。 这个数表就是一个 **矩阵**。 ### 2. 数域的定义 设 $P$ 是复数集 $\mathbb{C}$ 的一个子集合，其中包含 0 与 1。如果 $P$ 中任意两个数 $a, b$ 的和、差、积、商（除数不为零）仍在 $P$ 中，则称 $P$ 是一个**数域**。 常见数域： - **有理数域** $\mathbb{Q}$ ✓ - **实数域** $\mathbb{R}$ ✓ - **复数域** $\mathbb{C}$ ✓ - **整数集** $\mathbb{Z}$ ✗（不是数域，因为两个整数相除可能不是整数） ### 3. 矩阵的定义 **定义 2（矩阵）：** 数域 $P$ 上由 $m \times n$ 个数排成的 m 行 n 列的数表，称为数域 $P$ 上的 **m 行 n 列矩阵**，简称 $m \times n$ 矩阵，记作： $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ 简记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 或 $A = (a_{ij})$。 这 $m \times n$ 个数称为矩阵 A 的**元素**。 建立在实数域上的矩阵称为**实矩阵**，建立在复数域上的矩阵称为**复矩阵**。 ### 4. 几种特殊矩阵 | 类型 | 定义 | 示例 | |------|------|------| | **n 阶方阵** | 行数与列数都等于 n 的矩阵 | $A_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 6 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ | | **行矩阵（行向量）** | 只有一行的矩阵 | $A = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$ | | **列矩阵（列向量）** | 只有一列的矩阵 | $A = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$ | | **零矩阵** | 所有元素均为零 | $O$ | | **全 1 矩阵** | 所有元素均为 1 | $J$ | | **上三角矩阵** | 主对角线以下元素全为 0 | — | | **下三角矩阵** | 主对角线以上元素全为 0 | — | | **对角矩阵** | 仅主对角线可能有非零元素 | — | > 注：不同阶数的零矩阵是不相等的。 ### 5. 矩阵与向量的关系 1. 向量是一种特殊的矩阵 2. 矩阵可由向量表示： - 矩阵 $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)$ 的每一列都是 n 维列向量 - 记作 $A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2 & \cdots & \boldsymbol{\beta}_n \end{pmatrix}$ --- ## 三、线性方程的定义 ### 1. 引例：燃烧丙烷的配平 丙烷 $(C_3H_8)$ 和氧气 $(O_2)$ 结合，生成二氧化碳 $(CO_2)$ 和水 $(H_2O)$。配平化学方程式： $$x_1 C_3H_8 + x_2 O_2 \rightarrow x_3 CO_2 + x_4 H_2O$$ 列方程组： $$\begin{cases} 3x_1 = x_3 \\ 8x_1 = 2x_4 \\ 2x_2 = 2x_3 + x_4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_3 = 3x_1 \\ x_4 = 4x_1 \\ x_2 = \frac{5}{2}x_1 \end{cases}$$ 取 $x_1 = 2$，得：$C_3H_8 + 5O_2 \rightarrow 3CO_2 + 4H_2O$ ✓ ### 2. 一元/多元线性方程 | 类型 | 形式 | |------|------| | 一元线性方程 | $ax = b$ | | 二元线性方程 | $ax + by = c$（平面直线方程） | | 三元线性方程 | $ax + by + cz = d$（空间平面方程） | | n 元线性方程 | $a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b$ | ### 3. n 元线性方程的定义 一个 **n 元线性方程**（linear equation in n unknowns）是具有如下形式的方程： $$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b$$ 其中 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为系数，$b$ 为常数项，均为已知的实数或复数；$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为未知变量。 ### 4. 线性方程组的定义 **线性方程组**（system of linear equations / linear system）：一个或几个含相同变量的线性方程组成的集合。 - **齐次线性方程组**：所有常数项 $b_i = 0$ - **非齐次线性方程组**：存在常数项 $b_i \neq 0$ ### 5. 线性方程组的基本问题 一个线性方程组的解一定是下列三种情况之一： 1. **无解**（不相容） 2. **有唯一解** 3. **有无穷多解** 两个基本问题： - **存在性问题**：方程组是否相容（是否有解） - **唯一性问题**：如果解存在，是否唯一 ### 6. 解向量 方程组的解是一组满足方程组的 n 元有序数组 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，称为**解向量**。方程组的全部解的集合称为方程组的**解集**。 --- ## 四、高斯消元法 ### 1. 消元法示例 解方程组： $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 + 3x_2 = 7 \end{cases}$$ **步骤：** | 步骤 | 操作 | 结果 | |------|------|------| | 初始 | 原方程组 | $\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 + 3x_2 = 7 \end{cases}$ | | $(2) + (-2) \times (1)$ | 用 -2 倍的第1式加到第2式 | $\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ -x_2 = -1 \end{cases}$ | | $(-1) \times (2)$ | 第2式乘 -1 | $\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ x_2 = 1 \end{cases}$ | | $(1) + (-2) \times (2)$ | 用 -2 倍的第2式加到第1式 | $\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 1 \end{cases}$ | **结论：** $x_1 = 2, x_2 = 1$ ### 2. 线性方程组的三种初等变换 | 变换 | 操作 | |------|------| | (1) **对换变换** | 互换两个方程的位置 | | (2) **数乘变换** | 用一非零数 $c$ 乘某一方程 | | (3) **倍加变换** | 把某一方程的 $k$ 倍加到另一个方程上 | 这三种变换称为线性方程组的**初等变换**。 > 重要性质：初等变换不改变方程组的解集，变换前后的方程组**等价**。 ### 3. 增广矩阵 线性方程组与其**增广矩阵**一一对应： $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$ 增广矩阵中去除最后一列（常数项），得到**系数矩阵**。 ### 4. 矩阵的三种初等行变换 作用在增广矩阵上的三种变换称为**矩阵的初等行变换**： | 变换 | 操作 | 记号 | |------|------|------| | (1) **对换变换** | 交换矩阵的两行 | $r_i \leftrightarrow r_j$ | | (2) **数乘变换** | 将某行全体元素乘以非零常数 $c$ | $c \times r_i$ | | (3) **倍加变换** | 将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行 | $r_i + k \cdot r_j$ | ### 5. 初等行变换的性质 - 初等行变换是**可逆**的，且逆变换是同类型的初等行变换 - 若两个矩阵可通过初等行变换相互转化，则这两个矩阵**行等价** - 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个方程组**同解** ### 6. 高斯消元法的一般步骤 1. 写出方程组的**增广矩阵** 2. 用初等行变换将增广矩阵化为**阶梯形矩阵** 3. 由阶梯形矩阵写出等价方程组 4. 从下往上逐步回代，求出所有未知量 --- ## 本节小结 | 知识点 | 内容 | |--------|------| | **向量** | n 维有序数组，相等、加法、数乘、负向量、零向量 | | **矩阵** | m×n 数表，行列式、特殊矩阵（方阵、行/列向量、零矩阵、三角矩阵） | | **线性方程组** | 齐次 vs 非齐次；解的存在性、唯一性、无穷多解 | | **初等变换** | 对换、数乘、倍加——不改变解集 | | **高斯消元法** | 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形，逐步回代求解 |

📝 夔嵬的笔记

探索

1.1 线性方程组与高斯消元法