第八章多元函数微分学

§8.1 概念与极限 → §8.3 偏导数 → §8.4 全微分 → §8.5 链式法则 → §8.6 隐函数 → §8.7 几何应用 → §8.8 方向导数与梯度 → §8.10 极值与最值 📇 闪卡速记 · 🧪 自测题（A/B/C 三组 + 详解） 注：§8.2 为习题课/阶段性复习，无独立知识内容；§8.9（泰勒公式）不做要求。均已跳过。

🏔️ 本章直觉地图

学这一章前，先在脑中建一张”画面”：

概念	想象力类比
偏导数 $f_{x}^{'}$	你站在山上，朝正东走一步的坡度（南北坐标锁死）
全微分 $d z$	用一块平板（切平面）近似脚下弯曲的地面，走上一步的高差
偏导连续 ⇒ 可微	曲面光滑无折痕 → 平板能贴上去；有尖角就贴不上
链式法则	水流过管道网络——每条路径的流量都要算进去
梯度 $\nabla f$	指南针，永远指向最陡的上坡方向
方向导数	指南针在你选的方向 $l$ 上的投影
$A C - B^{2}$ 判极值	山顶 vs 鞍部 vs 山谷——二阶导告诉你脚下的弯曲方向
拉格朗日乘数法	被锁在一条山脊上走，问哪里最高—— $\nabla f$ 必须与山脊垂直

为什么学这一章？

一元函数 $y = f (x)$ 只有一条路——沿 $x$ 轴。但现实中大多数问题涉及多个变量：温度 $T (x, y, z)$ 依赖于空间位置，材料强度依赖于组分和工艺参数。

本章核心：把一元微积分所有结论推广到多元——极限、连续、导数（偏导数）、微分、链式法则、隐函数、几何应用、极值——每一步都有”质变”：

一元	二元	质变在哪？
$x \to x_{0} lim$ 从两边走	$(x, y) \to (0, 0) lim$ 从所有方向走	方向无穷多
可导 ⇒ 连续	偏导存在 ⇏ 连续	反例： $f = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}$
可导 ⇔ 可微	可微 ⇒ 偏导存在，反之不成立	额外条件：偏导连续
链式： $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$	链式：画变量依赖图	关系更复杂
极值： $f^{'} (x_{0}) = 0, f^{''}$ 判符号	极值： $\nabla f = 0, A C - B^{2}$ 判	二阶判别从一数变矩阵
—	条件极值：拉格朗日乘数法	全新方法

第一部分：知识整合

§8.1 多元函数的基本概念、极限与连续性

学完本节你能：判断二元函数的定义域；用四种方法求极限；识别两种典型错误；判断连续性和间断类型。

8.1.1 二元函数的定义域

$z = f (x, y)$ 的定义域是 $x O y$ 平面上的一个区域（开/闭区域、有界/无界）。

常用区域： $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}$ ：闭圆盘； $D = {(x, y) ∣ x y > 0}$ ：第一、三象限。

8.1.2 二元极限的四种方法

定义： $(x, y) \to (x_{0}, y_{0}) lim f (x, y) = A$ 的 $ε - δ$ 定义与一元类似，但 $(x, y)$ 可以从任何方向、沿任何路径逼近。

方法一：极坐标代换

适用：分子分母同次齐次的函数。

令 $x = r cos θ, y = r sin θ$ ，转为一元极限：

r \to 0 lim f (r cos θ, r sin θ)

关键：结果必须与 $θ$ 无关才能存在；若依赖于 $θ$ ，则极限不存在。

方法二：夹逼准则（放缩法）

适用：函数有明确上界，如 $∣ x y ∣ \leq \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})$ ，估值后用 $r \to 0$ 夹逼。

方法三：利用已知极限组合

适用：可拆分为已知极限的组合（如 $\frac{s i n u}{u} \to 1$ 、 $\frac{e ^{u} - 1}{u} \to 1$ 等）。

方法四：转化为一元重要极限

如 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{s i n ( x y )}{x y} = 1$ （令 $u = x y$ ）。

8.1.3 证明极限不存在的两种方法

⚠️ 最致命错误：令 $y = k x$ 代入得常数，就认为”极限等于该常数”——这只能说明沿直线路径存在，无法说明沿所有路径都存在！

方法一（沿直线族）：令 $y = k x$ → 结果含 $k$ → 极限不存在。

方法二（找两条不同路径）：路径 1 $y = 0$ → $L_{1}$ ；路径 2 $y = x^{2}$ → $L_{2} \neq = L_{1}$ → 极限不存在。

8.1.4 连续性

$f (x, y)$ 在 $P_{0}$ 连续 ⇔ $(x, y) \to P_{0} lim f (x, y) = f (P_{0})$ 。

间断：极限不存在或极限值 ≠ 函数值。

📌 有界闭区域上的连续函数：必有最大值和最小值（最值定理）、必取得介于最值之间的任一值（介值定理）。

§8.3 偏导数与高阶偏导数

学完本节你能：用一元求导法求偏导（把另一变量视作常数）；在分段点用定义求偏导；区分”偏导存在”与”连续”的关系；计算四个二阶偏导并利用次序无关定理。

8.3.1 偏导数定义

偏增量： $Δ_{x} z = f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})$ （只动 $x$ ， $y$ 不动）

偏导数：

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{Δ x}

📌 口诀：对谁求偏导，另一个变量就当常数。

🏔️ 直觉：想象你站在曲面 $z = f (x, y)$ 表示的山上。 $f_{x}^{'}$ 是你朝正东走一步的坡度（此时 $y$ 固定）， $f_{y}^{'}$ 是你朝正北走一步的坡度。偏导数就是把三维曲面问题”切片”为一元切线问题——用平面 $y = y_{0}$ 切一刀，截面曲线就是一元函数。

分段点处：必须用定义求偏导，不能用公式法！

8.3.2 偏导存在与连续的关系

一元	二元
可导 ⇒ 连续	偏导存在 ⇏ 连续 🚨

反例： $f (x, y) = {\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)$ — $f_{x}^{'} (0, 0) = f_{y}^{'} (0, 0) = 0$ 但极限沿不同方向为不同值 → 不连续。

8.3.3 偏导数的几何意义

$f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) =$ 曲面 $z = f (x, y)$ 被平面 $y = y_{0}$ 截出的曲线在点 $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ 处的切线斜率。

8.3.4 高阶偏导数

四个二阶偏导：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = f_{xx}^{''} \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}} = f_{yy}^{''} \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{x y}^{''} \frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x} = f_{y x}^{''}

次序无关定理：若 $f_{x y}^{''}$ 和 $f_{y x}^{''}$ 在区域 $D$ 内连续，则 $f_{x y}^{''} = f_{y x}^{''}$ 。

§8.4 全微分

学完本节你能：写出二元函数的全微分 $d z = f_{x}^{'} d x + f_{y}^{'} d y$ ；判定可微性（两步法）；说明一元与二元可微性的本质差异。

8.4.1 一元微分回顾

Δ y = f^{'} (x_{0}) Δ x + o (Δ x) \Rightarrow d y = f^{'} (x_{0}) d x

可微 ⇔ 可导。几何：用切线局部近似曲线。

8.4.2 全微分的定义

Δ z = f_{x}^{'} (P_{0}) Δ x + f_{y}^{'} (P_{0}) Δ y + o (ρ), ρ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}

全微分：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y

几何意义：用切平面局部近似曲面（全微分 = 切平面的增量）。

8.4.3 可微、连续、偏导的关系 ⭐

偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在
                  ⇓
                 连续

必要条件：可微 ⇒ 偏导存在；可微 ⇒ 连续
充分条件⭐：偏导数连续 ⇒ 可微（考试重点）
⚠️ 偏导存在 ⇏ 可微；连续 ⇏ 可微

💡 直觉：偏导数连续 ≈ 曲面”光滑无折痕”（你不会在山上看到尖的棱角）。如果曲面处处光滑，就必然可以用一块平板（切平面）在每一点局部近似它——这就是全微分。反过来说，如果曲面有尖角或折痕（偏导不连续），平板就贴不上去——不可微。一元时曲线只要不”断”就能用切线近似，但二元时曲面必须额外要求”无折痕”。

8.4.4 可微性判定两步法

Step 1：检查 $f_{x}^{'}, f_{y}^{'}$ 是否存在（分段点用定义）
Step 2：验证极限必为 0：

(Δ x, Δ y) \to (0, 0) lim \frac{Δ z - [ f _{x}^{'} Δ x + f _{y}^{'} Δ y ]}{( Δ x ) ^{2} + ( Δ y ) ^{2}} = 0

§8.5 多元复合函数求导法则（链式法则）

学完本节你能：根据变量关系画依赖图写出链式法则；处理抽象函数 $f (x y, x + y)$ 的偏导；求抽象函数的二阶偏导（关键： $f_{1}^{'}$ 仍复合！）。

8.5.1 抽象函数记号

记号	含义
$f_{1}^{'}$ 或 $f_{u}^{'}$	$f$ 对第一参数的偏导
$f_{2}^{'}$ 或 $f_{v}^{'}$	$f$ 对第二参数的偏导
$f_{11}^{''}$	对第一参数求两次
$f_{12}^{''}$	先一后二的混合偏导

🚨 $f_{1}^{'}$ 自己仍然是 $(u, v)$ 的复合函数——求二阶时必须再链式一次！

8.5.2 三种链式情形

情形	依赖关系	公式
全导数	$z (u, v), u (x), v (x)$	$\frac{d z}{d x} = f_{u}^{'} u^{'} (x) + f_{v}^{'} v^{'} (x)$
多→多	$z (u, v), u (x, y), v (x, y)$	$\frac{\partial z}{\partial x} = f_{u}^{'} \frac{\partial u}{\partial x} + f_{v}^{'} \frac{\partial v}{\partial x}$
一→多	$z (u), u (x, y)$	$\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (u) u_{x}^{'}$

🧠 记忆：画变量依赖图 → 每条路径积求和。

8.5.3 二阶偏导的关键难点

例： $z = f (x y, x + y)$ ，求 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。

🔑 第一步：设中间变量 $u = x y, v = x + y$ ，即 $z = f (u, v)$ 。写出依赖： $x, y \to u, v \to z$ 。

求一阶偏导 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ：

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f_{u}^{'} \cdot y + f_{v}^{'} \cdot 1 = y f_{1}^{'} + f_{2}^{'}

再对 $y$ 求偏导（应用乘法法则）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y f_{1}^{'}) + \frac{\partial}{\partial y} (f_{2}^{'})

🚨 $f_{1}^{'}$ 和 $f_{2}^{'}$ 仍然依赖 $u = x y, v = x + y$ ！求 $\frac{\partial f _{1}^{'}}{\partial y}$ 必须再链式一次：

\frac{\partial}{\partial y} (y f_{1}^{'}) = 乘法 1 \cdot f_{1}^{'} + y \cdot 链式 \frac{\partial f _{1}^{'}}{\partial y} = f_{1}^{'} + y (f_{11}^{''} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{12}^{''} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}) = f_{1}^{'} + y (f_{11}^{''} \cdot x + f_{12}^{''} \cdot 1)

\frac{\partial}{\partial y} (f_{2}^{'}) = f_{21}^{''} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{22}^{''} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_{21}^{''} \cdot x + f_{22}^{''} \cdot 1

合并（利用 $f_{12}^{''} = f_{21}^{''}$ ）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{1}^{'} + x y f_{11}^{''} + (x + y) f_{12}^{''} + f_{22}^{''}

💡 检查项自己： $f_{1}^{'}$ 项来自哪里？——乘法求导中 $(y) (f_{1}^{'})$ 的 $y$ 导数为 $1$ ，乘以 $f_{1}^{'}$ 得 $f_{1}^{'}$ 。这是新手最常漏掉的项。没有链式、没有二阶——只是普通的乘法法则。

8.5.4 全微分形式不变性

d z = f_{u}^{'} d u + f_{v}^{'} d v

无论 $u, v$ 是自变量还是中间变量，形式永远不变。

§8.6 隐函数的求导法则

学完本节你能：判断方程能否确定隐函数（存在条件）；用公式法和推导法求隐函数导数；处理方程组隐函数（雅可比行列式）。

8.6.1 $F (x, y) = 0$ → 一元隐函数

存在条件： $F_{y}^{'} \neq = 0$ 。

\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}^{'}}{F _{y}^{'}}

8.6.2 $F (x, y, z) = 0$ → 二元隐函数

存在条件： $F_{z}^{'} \neq = 0$ 。

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}^{'}}{F _{z}^{'}}, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}^{'}}{F _{z}^{'}}

8.6.3 方程组 → 雅可比行列式 ⭐

{F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 \Rightarrow {y = y (x) z = z (x)

存在条件：雅可比 $J = \frac{\partial ( F , G )}{\partial ( y , z )} = F_{y}^{'} G_{y}^{'} F_{z}^{'} G_{z}^{'} \neq = 0$

求导公式（Cramer 法则）：

\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{J} F_{x}^{'} G_{x}^{'} F_{z}^{'} G_{z}^{'}, \frac{d z}{d x} = - \frac{1}{J} F_{y}^{'} G_{y}^{'} F_{x}^{'} G_{x}^{'}

🧠 推导法更推荐：方程组两边直接对 $x$ 求导 → 解关于 $y^{'}, z^{'}$ 的二元一次方程组。

§8.7 偏导数在几何中的应用

学完本节你能：求空间曲线的切线与法平面；求空间曲面的切平面与法线。

8.7.1 空间曲线的切线与法平面

参数式： $Γ : x = x (t), y = y (t), z = z (t)$

切向量： $T = (x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0}))$

切线： $\frac{x - x _{0}}{x ^{'} ( t _{0} )} = \frac{y - y _{0}}{y ^{'} ( t _{0} )} = \frac{z - z _{0}}{z ^{'} ( t _{0} )}$

法平面： $x^{'} (t_{0}) (x - x_{0}) + y^{'} (t_{0}) (y - y_{0}) + z^{'} (t_{0}) (z - z_{0}) = 0$

交面式（ $F = 0, G = 0$ ）：两边对 $x$ 求导解出 $y^{'}, z^{'}$ → 切向量 $(1, y^{'}, z^{'})$ 。

8.7.2 空间曲面的切平面与法线

隐式 $F (x, y, z) = 0$ ：法向量 $n = (F_{x}^{'}, F_{y}^{'}, F_{z}^{'})$

切平面： $F_{x}^{'} (x - x_{0}) + F_{y}^{'} (y - y_{0}) + F_{z}^{'} (z - z_{0}) = 0$

显式 $z = f (x, y)$ ：法向量 $n = (f_{x}^{'}, f_{y}^{'}, - 1)$

切平面： $z - z_{0} = f_{x}^{'} (x - x_{0}) + f_{y}^{'} (y - y_{0})$

📌 显式切平面 = 全微分的几何化：用线性函数在 $P_{0}$ 局部近似曲面。

球面： $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ 在 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的切平面： $x_{0} x + y_{0} y + z_{0} z = r^{2}$

§8.8 方向导数与梯度

🧭 直观图景：回到山上——梯度 $\nabla f$ 是指南针，永远指向你脚下最陡的上坡方向。方向导数就是这条指南针在你选定方向 $l$ 上的投影： $\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot l$ 。梯度的模 $∣\nabla f ∣$ 告诉你那个最陡方向到底有多陡。如果你沿等值线方向走（高度不变），方向导数为 0——因为 $\nabla f ⊥ l$ （坡度最陡的方向与高度不变的方向垂直）。

学完本节你能：求任意方向的方向导数；用梯度找最大变化率方向。

8.8.1 方向导数

若 $f$ 在 $P$ 处可微，沿方向 $l = (cos α, cos β)$ 的方向导数：

\frac{\partial f}{\partial l} = f_{x}^{'} cos α + f_{y}^{'} cos β

三元推广：加 $+ f_{z}^{'} cos γ$ 。

📌 方向导数是单侧极限（沿 $l$ 正方向），偏导数是双侧极限。

8.8.2 梯度

\nabla f (x, y) = grad f (x, y) = (f_{x}^{'}, f_{y}^{'})

梯度与方向导数的核心关系：

\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot l = ∣\nabla f ∣ cos θ

方向	方向导数	含义
$l ∥ \nabla f$	$+	\nabla f
$l ⊥ \nabla f$	$0$	等值线方向
$l ∥ - \nabla f$	$-	\nabla f

🧠 梯度方向 = 函数增长最快的方向；梯度的模 = 该方向上的最大变化率。

§8.10 多元函数的极值与最值

⛰️ 直观图景：你在群山（二元函数曲面）中寻找最高点和最低点。

无条件极值（ $A C - B^{2}$ ）= 在整个山脉中找山顶和谷底——驻点是候选，二阶导数告诉你脚下是凸起（ $A C - B^{2} > 0$ ）还是鞍部（ $A C - B^{2} < 0$ ）。

条件极值（拉格朗日）= 你被限定在一条特定路径 $φ = 0$ 上行走（如沿一条山脊），问这条路径上哪里最高。此时你的梯度方向必须”贴着”路径的法向量——因为你偏离开路径的方向被约束卡死了： $\nabla f ∥ \nabla φ$ 。

学完本节你能：用 $A C - B^{2}$ 判别法求无条件极值；用拉格朗日乘数法求条件极值；解决应用最优化问题。

8.10.1 无条件极值 — $A C - B^{2}$ 判别法

必要条件： $\nabla f = 0$ （ $f_{x}^{'} = f_{y}^{'} = 0$ ）→ 驻点。（注：驻点不要求是极值点）

充分条件：设 $A = f_{xx}^{''}$ , $B = f_{x y}^{''}$ , $C = f_{yy}^{''}$ ：

判别式	结论
$A C - B^{2} > 0, A > 0$	极小值
$A C - B^{2} > 0, A < 0$	极大值
$A C - B^{2} < 0$	非极值（鞍点）
$A C - B^{2} = 0$	不能确定

经典鞍点： $z = x y$ 在 $(0, 0)$ — $A = C = 0, B = 1$ ， $A C - B^{2} = - 1 < 0$ → 非极值。

求极值三步：解 $\nabla f = 0$ → 算 $A, B, C$ → 判 $A C - B^{2}$ 。

8.10.2 最值

在封闭区域 $D$ 上的最值 = $max {内点驻点值 \cup 边界上最值}$ 。

特例：若由背景知最值在内部且只有一个驻点 → 该驻点即最值点。

8.10.3 条件极值 — 拉格朗日乘数法 ⭐

求 $f (x, y)$ 在 $φ (x, y) = 0$ 下的极值：

构造拉格朗日函数：

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y)

解方程组：

⎩ ⎨ ⎧ L_{x}^{'} = f_{x}^{'} + λ φ_{x}^{'} = 0 L_{y}^{'} = f_{y}^{'} + λ φ_{y}^{'} = 0 L_{λ}^{'} = φ = 0

三元多约束推广： $L = f + λ φ + μ ψ$ ，解 $5$ 个方程。

🧠 Lagrange 乘数法的本质：在约束下， $\nabla f ∥ \nabla φ$ （目标函数梯度与约束面法向量平行）， $λ$ 就是比例因子。

第二部分：📇 闪卡速记

🔖 Q1：二元极限存在的必要条件？ A：沿所有路径的极限都相等。仅沿 $y = k x$ 方向相等不能证明极限存在。

🔖 Q2： $f_{x}^{'} (0, 0)$ 的极限定义？ A： $Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x}$ （必须用定义，不能直接公式求导）。

🔖 Q3：偏导存在 ⇒ 连续？反过来呢？ A：都不成立。 $f = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}$ 在 $(0, 0)$ 偏导 = 0 但不连续。

🔖 Q4： $f_{x y}^{''} = f_{y x}^{''}$ 何时成立？ A：当 $f_{x y}^{''}$ 和 $f_{y x}^{''}$ 连续时。

🔖 Q5：一元可微与二元可微的最大区别？ A：一元可导 ⇔ 可微；二元偏导存在 ⇏ 可微。可微的充分条件：偏导数连续。

🔖 Q6：判断可微的充分条件（考试高频）？ A：偏导数连续 ⇒ 可微。

🔖 Q7：全微分的定义式？ A： $Δ z = f_{x}^{'} Δ x + f_{y}^{'} Δ y + o (ρ)$ ， $d z = f_{x}^{'} d x + f_{y}^{'} d y$ ， $ρ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ 。

🔖 Q8： $z = f (x y, x + y)$ 的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ？ A： $y f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ 。

🔖 Q9：求 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}$ 时最大的坑？ A： $f_{1}^{'}$ 仍复合！必须再次链式： $\frac{\partial f _{1}^{'}}{\partial y} = f_{11}^{''} \frac{\partial u}{\partial y} + f_{12}^{''} \frac{\partial v}{\partial y}$ 。

🔖 Q10：全微分形式不变性？ A： $d z = f_{u}^{'} d u + f_{v}^{'} d v$ ，无论 $u, v$ 是自变还是中间变量，形式永远不变。

🔖 Q11： $F (x, y) = 0$ ⇒ $\frac{d y}{d x} =$ ？ A： $- \frac{F _{x}^{'}}{F _{y}^{'}}$ ，前提 $F_{y}^{'} \neq = 0$ 。

🔖 Q12： $F (x, y, z) = 0$ ⇒ $\frac{\partial z}{\partial x} =$ ？ A： $- \frac{F _{x}^{'}}{F _{z}^{'}}$ ，前提 $F_{z}^{'} \neq = 0$ 。

🔖 Q13：方程组隐函数的雅可比条件？ A： $\frac{\partial ( F , G )}{\partial ( y , z )} = F_{y}^{'} G_{y}^{'} F_{z}^{'} G_{z}^{'} \neq = 0$ 。

🔖 Q14：参数空间曲线的切向量？ A： $T = (x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0}))$

🔖 Q15：曲面 $z = f (x, y)$ 的法向量？ A： $n = (f_{x}^{'}, f_{y}^{'}, - 1)$

🔖 Q16：显式曲面的切平面方程？ A： $z - z_{0} = f_{x}^{'} (x - x_{0}) + f_{y}^{'} (y - y_{0})$ （= 全微分的几何版）

🔖 Q17：球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ 的切平面？ A： $x_{0} x + y_{0} y + z_{0} z = r^{2}$

🔖 Q18：方向导数公式（可微时）？ A： $\frac{\partial f}{\partial l} = f_{x}^{'} cos α + f_{y}^{'} cos β$

🔖 Q19：梯度 $\nabla f$ 的几何意义？ A： $\nabla f$ = 函数增长最快方向； $∣\nabla f ∣$ = 最大方向导数。

🔖 Q20： $A C - B^{2} > 0$ 且 $A > 0$ → ？ A：极小值。（ $A < 0$ → 极大值）

🔖 Q21： $A C - B^{2} < 0$ → ？ A：非极值（鞍点）。经典例： $z = x y$ 在 $(0, 0)$ 。

🔖 Q22：拉格朗日函数怎么构造？ A： $L = f + λ φ$ （目标函数 + $λ$ × 约束条件）。

🔖 Q23：拉格朗日乘数法的本质？ A： $\nabla f ∥ \nabla φ$ （目标梯度与约束法向平行）， $λ$ 是比例系数。

第三部分：🧪 自测题

A 组 — 基础巩固

A1：求 $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{sin ( x ^{2} + y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}}$ 。

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令 $u = x^{2} + y^{2} \to 0$ ， $u \to 0 lim \frac{sin u}{u} = 1$ 。

A2： $z = ln (1 + x^{2} + y^{2})$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 。

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$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2 x}{1 + x ^{2} + y ^{2}}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 y}{1 + x ^{2} + y ^{2}}$ 。

A3： $z = x^{3} + y^{3} - 3 x y$ ，求所有驻点。

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$z_{x}^{'} = 3 x^{2} - 3 y = 0$ ⇒ $y = x^{2}$ ； $z_{y}^{'} = 3 y^{2} - 3 x = 0$ ⇒ $x^{4} - x = 0$ ⇒ $x = 0, 1$ 。驻点： $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ 。

A4： $z = x^{2} + y^{2}$ ，求在 $P (1, 1)$ 沿方向 $l = (3, 4)$ 的方向导数。

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$\nabla f = (2 x, 2 y)$ ，在 $P$ ： $(2, 2)$ 。单位化 $l$ ： $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ 。 $\frac{\partial f}{\partial l} = 2 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{14}{5}$ 。

A5：写出球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ 在 $P (1, 2, 2)$ 的切平面。

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$n = (2, 4, 4)$ 。切平面： $2 (x - 1) + 4 (y - 2) + 4 (z - 2) = 0$ ⇒ $x + 2 y + 2 z = 9$ 。验证： $1 + 4 + 4 = 9$ ✓

B 组 — 进阶计算

B1：讨论 $f (x, y) = {\frac{x ^{2} y}{x ^{4} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)$ 在 $(0, 0)$ 处的可微性。

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Step 1：偏导。 $f_{x}^{'} (0, 0) = lim_{Δ x \to 0} \frac{0 - 0}{Δ x} = 0$ ， $f_{y}^{'} (0, 0) = 0$ 。

Step 2： $Δ z = \frac{( Δ x ) ^{2} Δ y}{( Δ x ) ^{4} + ( Δ y ) ^{2}}$ 。验证极限 $lim \frac{Δ z}{ρ}$ 。

沿 $Δ y = (Δ x)^{2}$ ： $\frac{( Δ x ) ^{4}}{2 ( Δ x ) ^{4}} \cdot \frac{1}{( Δ x ) ^{2} + ( Δ x ) ^{4}} \to \frac{1}{2} \neq = 0$ → 不可微 ❌。

B2： $z = f (x y, \frac{x}{y})$ ，求 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}$ 。

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$\frac{\partial z}{\partial x} = y f_{1}^{'} + \frac{1}{y} f_{2}^{'}$ 。

对 $y$ 求导： $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍复合于 $(x y, \frac{x}{y})$ 。

$\frac{\partial}{\partial y} (y f_{1}^{'}) = f_{1}^{'} + y (x f_{11}^{''} - \frac{x}{y ^{2}} f_{12}^{''}) = f_{1}^{'} + x y f_{11}^{''} - \frac{x}{y} f_{12}^{''}$

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{y} f_{2}^{'}) = - \frac{1}{y ^{2}} f_{2}^{'} + \frac{1}{y} (x f_{21}^{''} - \frac{x}{y ^{2}} f_{22}^{''}) = - \frac{1}{y ^{2}} f_{2}^{'} + \frac{x}{y} f_{12}^{''} - \frac{x}{y ^{3}} f_{22}^{''}$

合并： $f_{1}^{'} - \frac{1}{y ^{2}} f_{2}^{'} + x y f_{11}^{''} - \frac{x}{y ^{3}} f_{22}^{''}$ （ $f_{12}^{''}$ 项抵消！）

B3： ${x + y + z = 0 x + y + \int_{0}^{x + y} sin t^{2} d t = 0$ 确定 $y = y (x), z = z (x)$ ，求 $\frac{d z}{d x}_{x = 0}$ 。

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两边对 $x$ 求导： (1) $1 + y^{'} + z^{'} = 0$ ⇒ $y^{'} + z^{'} = - 1$ (2) $1 + y^{'} + sin (x + y)^{2} \cdot (1 + y^{'}) = 0$ ⇒ $(1 + y^{'}) [1 + sin (x + y)^{2}] = 0$

由 (2)： $1 + y^{'} = 0$ ⇒ $y^{'} = - 1$ 。代入 (1)： $z^{'} = 0$ 。

B4：求 $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ 在约束 $x + y - 1 = 0$ 下的极值（两种方法）。

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消元法： $y = 1 - x$ ， $f = 2 x^{2} - 2 x + 1$ ， $f^{'} = 4 x - 2 = 0$ ⇒ $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$ ，极小 $\frac{1}{2}$ 。

拉格朗日： $L = x^{2} + y^{2} + λ (x + y - 1)$ 。 $2 x + λ = 0$ ， $2 y + λ = 0$ ， $x + y = 1$ ⇒ $x = y = \frac{1}{2}$ ， $λ = - 1$ 。

C 组 — 综合应用题

C1（考研）：由方程 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 6 y + 4 z + 10 = 0$ 确定的 $z = f (x, y)$ ，求极值。

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隐函数求导： $z_{x}^{'} = - \frac{x + 1}{z + 2}$ ， $z_{y}^{'} = - \frac{y - 3}{z + 2}$ 。令均为 0 ⇒ $x = - 1, y = 3$ 。

代入原方程： $1 + 9 + z^{2} - 2 - 18 + 4 z + 10 = 0$ ⇒ $z^{2} + 4 z = 0$ ⇒ $z = 0$ 或 $z = - 4$ 。

二阶偏导： $A = C = - \frac{1}{z + 2}$ ， $B = 0$ 。

$z = 0$ ： $A = - \frac{1}{2} < 0$ ， $A C - B^{2} = \frac{1}{4} > 0$ → 极大值 0。 $z = - 4$ ： $A = \frac{1}{2} > 0$ ， $A C - B^{2} = \frac{1}{4} > 0$ → 极小值 -4。

C2（考研）： $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{f ( x , y ) - 1}{3 x - y ^{2} + e ^{x} - 1} = 1$ ，证明 $(0, 0)$ 是 $f$ 的极小值点。

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第一步（读条件）：分母在 $(0, 0)$ 处为 $0 + 0 + 0 = 0$ ，极限存在且为 $1$ ⇒ 分子也为 $0$ ，故 $f (0, 0) = 1$ 。

第二步（Taylor 展开）： $e^{x} - 1 = x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ 。

代入原极限条件： $f (x, y) - 1 = 3 x - y^{2} + (x + \frac{x ^{2}}{2}) - 1 + 1 + o (ρ) = 4 x - y^{2} + \frac{x ^{2}}{2} + o (ρ)$ ，其中 $ρ = x^{2} + y^{2}$ 。

第三步（求一阶偏导）：

f_{x}^{'} (0, 0) = x \to 0 lim \frac{f ( x , 0 ) - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{4 x + \frac{x ^{2}}{2} + o ( x )}{x} = 4 \neq = 0

等等—— $f_{x}^{'} (0, 0) = 4$ ，不是驻点？这意味着 $(0, 0)$ 不满足必要条件 $\nabla f = 0$ ……说明原始极限条件有误或者我们需要重新审视。

实际上！ $f_{x}^{'} (0, 0)$ 的定义是 $lim_{x \to 0} \frac{f ( x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{x} = lim_{x \to 0} \frac{f ( x , 0 ) - 1}{x}$ 。由极限条件：当 $y = 0$ ， $\frac{f ( x , 0 ) - 1}{3 x + e ^{x} - 1} \to 1$ ，而 $e^{x} - 1 \sim x$ ，分母 $\sim 4 x$ ，所以 $f (x, 0) - 1 \sim 4 x$ ⇒ $f_{x}^{'} (0, 0) = 4$ 。

$(0, 0)$ 不是驻点 ⇒ 不是极值点。该题为证明 $(0, 0)$ 是极值点的错误例题——正确的结论应该是：已知条件只能说明 $f$ 在 $(0, 0)$ 附近沿某些方向的局部行为，而 $f_{x}^{'} (0, 0) = 4 \neq = 0$ 表明 $(0, 0)$ 不是极值点。

⚠️ 本题来自考研真题，原始条件可能有误或笔端需要重新核实。以上推导严格遵循定义， $f_{x}^{'} (0, 0) = 4 \neq = 0$ 意味着 $(0, 0)$ 不可能是极值点。

C3：体积 $2 m^{3}$ 的有盖长方体水箱，用料最省时长宽高各多少？

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设长 $x$ 、宽 $y$ ，高 $h = 2/ (x y)$ 。表面积 $S = 2 (x y + \frac{2}{y} + \frac{2}{x})$ 。

$S_{x}^{'} = 2 (y - \frac{2}{x ^{2}}) = 0$ ， $S_{y}^{'} = 2 (x - \frac{2}{y ^{2}}) = 0$ ⇒ $x = y = 32$ ，高 $= 32$ 。

唯一驻点 + 问题本身有最小值 → 长 = 宽 = 高 = $32$ 时用料最省。

C4（证明）：若二元函数 $z = f (x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有连续二阶偏导，且 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}} = 0$ ，证明 $z$ 的最值在 $D$ 的边界上取得。

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假设最值在 $D$ 内部点 $P_{0}$ 取得，则 $P_{0}$ 必为极值点 → $\nabla f (P_{0}) = 0$ 。

$A = z_{xx}^{''}$ ， $B = z_{x y}^{''}$ ， $C = z_{yy}^{''}$ 。由条件 $A + C = 0$ 。

$A C - B^{2} = A (- A) - B^{2} = - A^{2} - B^{2} \leq 0$ 。

若 $A, B$ 不全为 0，则 $A C - B^{2} < 0$ → $P_{0}$ 非极值 → 矛盾！若 $A = B = 0$ ，则 $C = 0$ ， $A C - B^{2} = 0$ ，不能确定。

更严格证明用到第 9 章极值原理。结论：最值只能在边界上取得。✓

📝 夔嵬的笔记

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第八章 多元函数微分学（完整版）

第八章 多元函数微分学