第七章 空间解析几何（完整版）

第七章 空间解析几何

§7.1 向量基础 → §7.2 坐标表示 → §7.3 平面与直线 → §7.4 曲面与曲线 → §7.5 二次曲面 📇 闪卡速记 · 🧪 自测题（A/B/C 三组 + 详解）

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为什么学这一章？

空间解析几何是把几何问题翻译成代数问题的工具。在前面一元微积分中，图形都在平面上；现在进入三维世界——曲面、空间曲线、立体区域——这是后续多元微积分（偏导数、重积分、曲线曲面积分）的基础。

📌 本章与上册的连接：平面上的 $(x,y)$ 是你熟悉的。现在多一根 $z$ 轴——一切运算都从二维向三维推广。你学会空间解析几何后，下章的重积分就是在这些体积、这些投影区域上计算的。

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第一部分：知识整合

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§7.1 向量及其运算

学完本节你能：用向量描述力/速度/位移；用点积算投影和夹角；用叉积算面积和方向；用混合积判断四点共面。

7.1.1 向量概念与线性运算

向量 = 大小 + 方向。记 $\vec{a}$，其模 $|\vec{a}|$ 表示长度。

特殊向量	定义
单位向量	模为 1 的向量（方向信息，不含长度）
零向量 $\vec{0}$	模为 0，方向任意

加减法：三角形法则——接头部；平行四边形法则——共起点连对角线。$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$。

🧠 直觉：减法就是”从 $\vec{b}$ 的终点指向 $\vec{a}$ 的终点”。

数乘：$\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 平行，$|\lambda \vec{a}|=|\lambda ||\vec{a}|$。$\lambda >0$ 同向、$\lambda <0$ 反向。

定理 1：$\vec{a}\parallel \vec{b}$（含共线） $⟺\exists !\lambda :\vec{b}=\lambda \vec{a}$（前提：$\vec{a}\ne \vec{0}$） 定理 2：$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面 $⟺\exists \lambda ,\mu :\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$（前提：$\vec{a}\nparallel \vec{b}$） 推论：空间任意 $\vec{r}$ 一定可以由三个不共面的向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 唯一线性表出：$\vec{r}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$。这正是坐标系的理论基础——这组 $\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$ 叫基。

7.1.2 数量积（点积 / 标量积）

Why：点积告诉我们两个向量”有多同向”——这也是做功 $W=\vec{F}\cdot \vec{s}$ 的数学本质。

$$\boxed{\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta }$$

几何意义：$=|\vec{a}|\times (\vec{b}\text{ 在 }\vec{a}\text{ 方向上的投影长度})$。

${\text{Prj}}_{\vec{a}}\vec{b}$ 读作”$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影（Projection）“，是一个标量（不是向量！），有正有负。

性质：交换律、分配律、数乘结合律均成立。

⚠️ 重要判定：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

⚠️ 常见错误：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 不能约去 $\vec{a}$ 推出 $\vec{b}=\vec{c}$。只能推出 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$。

7.1.3 向量积（叉积 / 矢量积）

Why：叉积同时给出两个信息——(1) 两向量张成平行四边形的面积；(2) 与两向量都垂直的方向。这在物理中对应力矩 $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$ 和磁场力。

$$\boxed{\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta \cdot {\vec{n}}^{\circ }}$$

其中 ${\vec{n}}^{\circ }$ 是一个单位向量，方向由右手法则确定：

🖐 右手法则操作：右手四指从 $\vec{a}$ 弯向 $\vec{b}$（沿较小角），拇指所指即为 $\vec{a}\times \vec{b}$ 方向。

几何意义：$|\vec{a}\times \vec{b}|=$ 以 $\vec{a},\vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积。

由此，三角形面积：$\boxed{S_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}$

性质：

• 反交换律：$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$（方向反转）
• 分配律：$\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$

⚠️ 重要判定：$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$。

注意：$0\ne \vec{0}$！向量积得出的是向量 $\vec{0}$，不是标量 $0$。

7.1.4 混合积（三重积）

Why：混合积把”面积”和”投影”组合——先叉积得面积向量，再点积投影到垂直方向——所以得到的是体积。

$$\boxed{[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}}$$

几何意义：以 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为棱的平行六面体体积的绝对值。

四面体（tetrahedron）恰为平行六面体的 $\frac{1}{6}$： $\boxed{V_{\text{四面体}}=\frac{1}{6}|[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]|}$

性质：

• 轮换不变：$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]=[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$ 　　> 例：无论哪两个先叉积再点积第三个，值都一样。
• 对调两向量变号：$[\vec{a}\vec{c}\vec{b}]=-[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$

⚠️ 最重要判定：$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面 $⟺[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$（体积为 0）。

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§7.2 坐标系与向量的坐标

学完本节你能：用坐标计算向量的模/点积/叉积/混合积；求两点的距离；从向量分量求方向角。

空间直角坐标系

三根互相垂直的坐标轴（右手系——拇指 $x$，食指 $y$，中指 $z$）→ 三个坐标面 $xOy,yOz,zOx$ 将空间分为八个卦限。

点的向径：$\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

$\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$ 是三个坐标轴方向的标准基向量。

七类运算的坐标式

设 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$：

运算	坐标公式	直觉
模	$\Vert \vec{a}\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$	勾股定理的三维推广
两点距离	$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$	由模公式直接推
加法	$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$	对应分量相加
数乘	$\lambda \vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$	每个分量乘 $\lambda$
点积	$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$	对应分量相乘再求和
叉积	$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$	三阶行列式
混合积	$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$	三阶行列式的值

三阶行列式展开公式

很多同学在大一下同时学线性代数。为方便，这里给出展开式：

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=a_1{b}_2{c}_3+a_2{b}_3{c}_1+a_3{b}_1{c}_2-a_1{b}_3{c}_2-a_2{b}_1{c}_3-a_3{b}_2{c}_1$

实用写法（叉积专用）：$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\vec{i}-(a_1{b}_3-a_3{b}_1)\vec{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\vec{k}$

平行条件（坐标比）：$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$

⚠️ 分母为 0 时，对应分子也必须为 0。例：$(2,0,-1)\parallel (4,0,-2)$，虽 $b_2$ 无法比，但此时 $a_2$ 也必须是 0。

方向角与方向余弦

向量 $\vec{a}$ 与三根坐标轴的夹角记作 $\alpha ,\beta ,\gamma$（范围 $[0,\pi ]$）：

$$\cos \alpha =\frac{a_1}{|\vec{a}|},\cos \beta =\frac{a_2}{|\vec{a}|},\cos \gamma =\frac{a_3}{|\vec{a}|}$$

核心恒等式：$\boxed{{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1}$

🧠 直觉验证：单位向量的模 = 1，而它的三个分量恰好是 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$。所以勾股定理自然给出 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$。

重要结论：向量的单位化 = 除模，结果的分量就是方向余弦：

$$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$

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§7.3 平面与直线

学完本节你能：从点和法向量写平面；从点和方向写直线；求各种距离和交点；判断平行、垂直、共面。

🧠 为什么要把几何对象写成方程？ 因为一旦写成 $F(x,y,z)=0$，你就可以用代数方法（解方程、联立、消元）回答几何问题——“两平面有交线吗？""直线穿过平面在哪里？“这比画图硬想可靠得多。

平面方程

形式	方程	何时用
点法式	$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$	🅰 已知一点 + 法向量
一般式	$Ax+By+Cz+D=0$	🅱 化简后的标准形式，$\vec{n}=(A,B,C)$
截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$	🅲 已知三轴截距 $a,b,c$
平面束	$({\Pi }_1)+\lambda ({\Pi }_2)=0$	🅳 已知该平面过两已知平面的交线

一般式系数与位置速判：

条件	含义
$D=0$	平面过原点
$A=0$	平面平行于 $x$ 轴
$A=D=0$	平面过 $x$ 轴
$A=B=0$	平面平行于 $xOy$ 面（即水平面 $z=\text{const}$）

直线方程

形式	方程	何时用
点向式	$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$	🅰 已知一点 + 方向向量 $(m,n,p)$
参数式	$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}$	🅱 适合代入运算（求交点）
两点式	$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$	🅲 已知两点
交面式	$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$	🅳 直线作为两平面交线

⚠️ 点向式中分母为 0 不表示无意义。例：$\frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$ 表示 $x\equiv 1$（恒定），$y$ 和 $z$ 随参数变化。

位置关系速查

关系	条件	直觉
两平面 $\parallel$	$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$	法向量同方向，但不重合
两平面 $\perp$	$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$	法向量点积 = 0
两直线 $\parallel$	${\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2=\vec{0}$	方向向量平行
两直线 $\perp$	${\vec{s}}_1\cdot {\vec{s}}_2=0$	方向向量垂直
直线 $\parallel$ 平面	$\vec{s}\cdot \vec{n}=0$ 且点不在面上	方向垂直于法向量
直线 $\perp$ 平面	$\vec{s}\parallel \vec{n}$（分量成比例）	方向沿法向量
共面 / 异面	$[{\vec{s}}_1{\vec{s}}_2\overrightarrow{M_1{M}_2}]=0$ ⇔ 共面	混合积 = 0 则三向量共面

距离公式

求什么距离	公式
点到平面	$d=\frac{\Vert A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\Vert }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
平行平面间	$d=\frac{\Vert D_1-D_2\Vert }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$（前提：法向量系数成比例）
点到直线	$d=\frac{\Vert \overrightarrow{M_{0}P}\times \vec{s}\Vert }{\Vert \vec{s}\Vert }$
异面直线	$d=\frac{\Vert [{\vec{s}}_1{\vec{s}}_2\overrightarrow{M_1{M}_2}]\Vert }{\Vert {\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2\Vert }$

🧠 点到直线距离公式怎么记？ 分子是 $M_{0}P$ 和方向的叉积模（= 平行四边形面积），分母是方向的模（= 底边长），面积÷底 = 高 = 距离。

夹角公式

求什么夹角	公式
两平面之间	$\cos \theta =\frac{\Vert {\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\Vert }{\Vert {\vec{n}}_1\Vert \Vert {\vec{n}}_2\Vert }$
两直线之间	$\cos \theta =\frac{\Vert {\vec{s}}_1\cdot {\vec{s}}_2\Vert }{\Vert {\vec{s}}_1\Vert \Vert {\vec{s}}_2\Vert }$
直线与平面	$\sin \phi =\frac{\Vert \vec{s}\cdot \vec{n}\Vert }{\Vert \vec{s}\Vert \Vert \vec{n}\Vert }$

⚠️ 线面夹角用 $\sin$，不是 $\cos$！因为直线方向和法向量垂直时直线才在面内（夹角 0），此时 $\sin 0=|\vec{s}\cdot \vec{n}|/(|\vec{s}||\vec{n}|)$。记忆诀窍：法向量和方向越”接近平行” → 直线越”接近垂直”平面 → 角越大。

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直线到平面的距离

先判后算——直线与平面的位置关系只有三种：

条件	关系	距离
$\vec{n}\cdot \vec{v}\ne 0$	直线与平面相交	$d=0$
$\vec{n}\cdot \vec{v}=0$ 且点在面上	直线躺在平面里	$d=0$
$\vec{n}\cdot \vec{v}=0$ 且点不在面上	直线平行于平面	$d=$ 直线上任一点到平面的距离

其中 $\vec{n}$ = 平面法向量，$\vec{v}$ = 直线方向向量，$P_0$ = 直线上一点。

为什么平行时「任一点」都行？ 在直线上取两点 $P_2=P_1+t\vec{v}$，代入点到平面距离公式：

$$d(P_2,\pi )=\frac{|A(x_1+t{v}_1)+B(y_1+t{v}_2)+C(z_1+t{v}_3)+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D+t(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v})|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=d(P_1,\pi )$$

因为 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}=0$，$t$ 项消失——直线上的每个点到平面的距离都相等。

常见错误：不问 $\vec{n}\cdot \vec{v}$ 是否为 0 就直接套点到平面距离——如果直线不平行于平面，距离 = 0（相交），不应该算。

例：直线 $\ell :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$，平面 $\pi :2x-y+2z-1=0$。求 $\ell$ 到 $\pi$ 的距离。

① $\vec{n}=(2,-1,2)$，$\vec{v}=(2,2,-1)$。$\vec{n}\cdot \vec{v}=4-2-2=0$ ⇒ 平行。 ② $P_0=(1,0,-1)$。代入平面：$2(1)-0+2(-1)-1=-1\ne 0$ ⇒ 不在面上。 ③ $d=\frac{|-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\boxed{\frac{1}{3}}$。

从不同直线形式取点的技巧：

直线形式	取点方法
点向式	直接读——分子 = 0 对应的坐标
参数式	令 $t=0$
交面式	令 $z=0$（或 $x=0$、$y=0$），解出另两个坐标

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过已知线且平行于另一线的平面

核心公式：$\boxed{\text{平面法向量}\mathbf{n}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2}$，其中 ${\mathbf{v}}_2={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$（若第二条线是交面式）。

思路：平面过 ${\ell }_1$ ⇒ 法向量 $\perp {\mathbf{v}}_1$；平面 $\parallel {\ell }_2$ ⇒ 法向量 $\perp {\mathbf{v}}_2$。同时垂直于两者 ⇒ 叉积。

算法步骤：

1. 从 ${\ell }_1$ 点向式读出 $P_1$ 和 ${\mathbf{v}}_1$
2. 从 ${\ell }_2$ 交面式求 ${\mathbf{v}}_2={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$（${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$ 是两平面法向量）
3. $\mathbf{n}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2$
4. 点法式：$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-P_1)=0$

为什么交面式的方向向量 = ${\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$？ 直线是两平面的交线，所以同时躺在两个平面上 ⇒ 方向向量同时垂直于两个法向量 ⇒ 必为 ${\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$。

例：${\ell }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{1}$，${\ell }_2:\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y+2z=1\end{array}$

① $P_1=(1,0,-1)$，${\mathbf{v}}_1=(2,1,1)$。 ② ${\mathbf{n}}_1=(1,-1,0)$，${\mathbf{n}}_2=(0,1,2)$。${\mathbf{v}}_2={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=(-2,-2,1)$。 ③ $\mathbf{n}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2=(3,-4,-2)$。 ④ $3(x-1)-4y-2(z+1)=0\Rightarrow \boxed{3x-4y-2z=5}$。

验证：$P_1$ 代入 = 5 ✓；$\mathbf{n}\cdot {\mathbf{v}}_1=0$ ✓；$\mathbf{n}\cdot {\mathbf{v}}_2=0$ ✓。

已知 ${\ell }_2$ 的形式	${\mathbf{v}}_2$ 的求法
点向式	直接读
参数式	直接读 $t$ 的系数
两点式	两点相减
交面式	${\mathbf{v}}_2={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$

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§7.4 曲面与曲线

学完本节你能：从母线曲线写旋转曲面方程；判断柱面和锥面；从交面式消元求投影。

🧠 空间想象：曲面是二维的面在三维空间里的形状。你想像一个橡皮膜绷在骨架上——旋转曲面是把一条线绕着轴转一圈扫出来的面（像陶轮上的泥巴）。

旋转曲面 ⭐

$yOz$ 面上曲线 $F(y,z)=0$ 绕 $z$ 轴旋转，得到：

$$\boxed{F(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0}$$

📌 口诀：绕哪根轴，那个轴的坐标不变，另一个坐标换为 $\pm \sqrt{\text{其余两坐标平方和}}$。

为什么是 $\pm \sqrt{}$？因为旋转时上半平面和下半平面的点都扫到了——需要 ± 覆盖。

旋转曲面	方程	空间想象
圆锥面	$z^2=k^2(x^2+y^2)$	冰淇淋筒，尖嘴朝原点
旋转抛物面	$z=a(x^2+y^2)$	卫星天线锅，开口向上
旋转椭球面	$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	被压扁的篮球（橄榄球形）

柱面

判定口诀：方程中缺少哪个变量，母线就平行于哪根轴。

🧠 空间想象：$F(x,y)=0$ 在平面里是一条曲线（比如圆）。把所有平行于 $z$ 轴的直线穿过这条曲线，就形成一根”管子”——这就是柱面。

⚠️ 顶级易错：$x^2+y^2=R^2$ 在空间是圆柱面，不是圆！ 圆在平面上且 $z=0$ 固定；圆柱面延伸到所有 $z$。

常见柱面：$x^2+y^2=R^2$（圆柱面）、$y=x^2$（抛物柱面，像一堵抛物线形状的墙竖直延伸）。

锥面

判定方法：方程满足 $F(tx,ty,tz)=t^{n}F(x,y,z)$（齐次方程）⇔ 以原点为顶点的锥面。

🧠 直观验证：$x^2+y^2=z^2$，把 $(x,y,z)$ 都放大 $t$ 倍：$(tx{)}^2+(ty{)}^2=(tz{)}^2$ → 等式两边都多出 $t^2$，但不改变等式成立性——说明所有从原点射出的射线都在曲面上，这正是锥的特征。

曲线方程

• 交面式（最常见）：$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$ — 两曲面交线
• 参数式：$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$ — 如圆柱螺旋线 $\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=a\sin t\\ z=bt\end{array}$

投影曲线 ⭐

从一个变量消去 = 把空间曲线”按扁”到坐标面上。

投影到	操作	结果
$xOy$	消 $z$	$\{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}$
$zOx$	消 $y$	$\{\begin{array}{l}R(x,z)=0\\ y=0\end{array}$
$yOz$	消 $x$	$\{\begin{array}{l}S(y,z)=0\\ x=0\end{array}$

🧠 消 $z$ 的几何意义：把 $z$ 去掉相当于做一个”太阳在头顶”的投影——只有影子（柱面）留在地面（$xOy$ 面）。

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§7.5 二次曲面的标准型

学完本节你能：从方程一眼认出椭球面/单叶双曲面/双叶双曲面/椭圆锥面/椭圆抛物面/双曲抛物面；用截痕法解释曲面形状。

研究方法：

• 截痕法：用平面 $z=t$（或 $x=t,y=t$）去”切”曲面，观察截面形状随高度的变化——就像看 CT 扫描图
• 伸缩法：从熟悉的旋转曲面（如圆锥、旋转椭球）沿某坐标轴方向压缩或拉伸

六种标准二次曲面

#	名称	标准方程	空间想象	识别特征
1	椭球面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	压扁的篮球 / 橄榄球	三项全正 +
2	单叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	沙漏 / 冷却塔形状，$z=0$ 处最细	两正一负
3	双叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	两顶对扣的碗，间隔一段距离	一正两负
4	椭圆锥面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$	两个冰淇淋筒尖对尖	齐次（= $z^2$）
5	椭圆抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	汤勺 / 卫星锅，开口向上	$z$ 一次，同号
6	双曲抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	马鞍：沿 $x$ 向上弯，沿 $y$ 向下弯	$z$ 一次，异号

📌 记忆口诀：全正椭球、一负单叶、两负双叶、齐次为锥、$z$ 一次抛物面（同号椭圆、异号马鞍）。

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第二部分：📇 闪卡速记

用法：遮住右半，看左边回忆右边答案。不会的做标记，回头重点背。

基础定义

Q	A
向量是什么？	既有大小又有方向（力、速度、位移）
零向量？	模为 0，方向任意
单位向量？	模为 1，只含方向信息
$	\lambda\vec{a}
空间向量能用基表出意味着什么？	任意向量 = 三个不共面向量的唯一组合

平行 / 垂直 / 共面判定

判定什么	充要条件	说明
$\vec{a}\perp \vec{b}$	$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$	点积为 0
$\vec{a}\parallel \vec{b}$	$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$	叉积为零向量
$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面	$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$	混合积为 0
两平面 $\parallel$	法向量成比例且 $D$ 不成比例	—
两平面 $\perp$	$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$	法向量点积 = 0
两直线 $\parallel$	方向向量成比例	${\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2=\vec{0}$
直线 $\parallel$ 平面	$\vec{s}\cdot \vec{n}=0$ 且点不在面上	方向 $\perp$ 法向量
直线 $\perp$ 平面	$\vec{s}\parallel \vec{n}$	方向沿法向量

几何意义

量	几何意义
$	\vec{a} \times \vec{b}
$\frac12	\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
$	[\vec{a};\vec{b};\vec{c}]
$\frac16	[\vec{a};\vec{b};\vec{c}]

方程选择指南

已知条件	用什么方程
一点 + 法向量	平面点法式
化简后的标准形式	平面一般式
三轴截距	平面截距式
过两平面交线	平面束
一点 + 方向向量	直线点向式
需要代入其他方程求解	直线参数式（最佳）
两点	直线两点式
从两平面方程给出直线	直线交面式

距离公式速查

求什么	公式
点到平面	$d=\frac{
点到直线	$d=\frac{
异面直线间	$d=\frac{
两点	$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

核心恒等式

Q	A
${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$ = ?	$=1$（无条件成立）
$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 坐标式	$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$
$\vec{a}\times \vec{b}$ 坐标式	三阶行列式：$(a_2{b}_3-a_3{b}_2,-(a_1{b}_3-a_3{b}_1),a_1{b}_2-a_2{b}_1)$
混合积坐标式	三阶行列式值
$\vec{a}\parallel \vec{b}$ 坐标	$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$
线面夹角用 $\sin$ 还是 $\cos$？	$\sin$！$\sin\varphi = \frac{

曲面辨认

方程	名称	速判法
$F(y,z)=0$ 绕 $z$ 轴	$F(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$	口诀
$x^2+y^2=R^2$（空间）	圆柱面（不是圆！）	⚠️
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	椭球面	全正
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	单叶双曲面	两正一负
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	双叶双曲面	一正两负
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$	椭圆锥面	齐次
$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	椭圆抛物面	$z$一次同号
$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	双曲抛物面	$z$一次异号

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第三部分：🧪 自测题

A 组：基础判断题（每题 1 分钟）

A1. 零向量的方向是任意的。

A2. $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$ 是 $\vec{a}\parallel \vec{b}$ 的充要条件。

A3. $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$。

A4. 若 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 且 $\vec{a}\ne \vec{0}$，则 $\vec{b}=\vec{c}$。

A5. 空间中 $x^2+y^2=4$ 表示半径为 2 的圆。

A6. $z=xy$ 表示马鞍面。

A7. 方程缺 $z$ 的曲面是母线平行于 $z$ 轴的柱面。

A8. ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ 对任意向量始终成立。

A9. 点向式 $\frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$ 中分母为 0，该方程无意义。

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B 组：计算技能题（每题 3–5 分钟）

B1. 已知 $\vec{a}=(2,-1,3)$，$\vec{b}=(1,2,-1)$。求 (1) $\vec{a}\cdot \vec{b}$；(2) $\vec{a}\times \vec{b}$；(3) $|\vec{a}\times \vec{b}|$。

B2. 求过点 $(1,2,3)$，法向量为 $(2,-1,4)$ 的平面方程。

B3. 求过 $(1,0,2)$ 和 $(3,1,-1)$ 的直线点向式方程。

B4. 求点 $P(1,2,3)$ 到平面 $2x-y+2z-1=0$ 的距离。

B5. 计算 $[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$，其中 $\vec{a}=(1,1,0),\vec{b}=(0,1,1),\vec{c}=(1,0,1)$。

B6. 求曲线 $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=9\\ z=2\end{array}$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线方程。

B7. 求点 $P(3,1,2)$ 到直线 $l:\{\begin{array}{l}x+y-z+1=0\\ 2x+4y-z=0\end{array}$ 的距离。

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C 组：综合应用题（每题 5–8 分钟）

C1. 已知 $A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)$。求： (1) $△ABC$ 的面积； (2) 以 $O,A,B,C$ 为顶点的四面体体积。

C2. 直线 $l:\{\begin{array}{l}x+y+z-2=0\\ 3x+2y+3z=0\end{array}$。求： (1) $l$ 的点向式与参数式； (2) $l$ 与平面 $2x-y+z=0$ 的交点。

C3. 过点 $A(-1,0,4)$，平行于平面 $3x-4y+z-10=0$，且与直线 $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{2}$ 相交。求该直线方程。

C4. 判断两直线 $l_1:\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ 2x-y+z=1\end{array}$ 与 $l_2:\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y+z=2\end{array}$ 共面还是异面。若异面，求公垂线方向向量。

C5. 曲线 $\{\begin{array}{l}z=2x^2+y^2\\ z=4-x^2-3y^2\end{array}$。求： (1) 在 $xOy$ 面上的投影曲线方程； (2) 所围立体在 $xOy$ 面上的投影区域。

C6. 已知 $A(1,0,0),B(0,1,1)$，线段 $AB$ 绕 $z$ 轴旋转，曲面为 $S$。求 $S$ 与 $z=0,z=1$ 所围立体的体积。

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📖 参考答案

A 组

#	答	解析
A1	✅	零向量方向任意定义——“零长度”意味着没有方向可定义。
A2	✅	$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}⟺\sin \theta =0$ 或有一为零向量 ⇔ 平行。
A3	✅	混合积的轮换写法：$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$。
A4	❌	只能推出 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$。向量点积不满足消去律！
A5	❌	在空间中是圆柱面。圆必须加 $z=0$ 限制。
A6	✅	$z=xy$ 是 $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 经 45° 旋转得到的标准马鞍面。
A7	✅	方程缺 $z$ ⇔ $z$ 可取任意值 ⇔ 母线平行于 $z$ 轴。
A8	✅	方向余弦基本恒等式，由 $(\cos \alpha {)}^2+(\cos \beta {)}^2+(\cos \gamma {)}^2=1$ 对任意向量成立。
A9	❌	分母为 0 有意义！$m=0$ 表示 $x\equiv 1$（固定），$y$ 和 $z$ 随参数自由变化。

B 组

B1. (1) $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot (-1)=2-2-3=-3$

(2) $\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& -1\end{array}\right|$

按公式展开：$(a_2{b}_3-a_3{b}_2,-(a_1{b}_3-a_3{b}_1),a_1{b}_2-a_2{b}_1)$

$=((-1)(-1)-3\cdot 2,-(2(-1)-3\cdot 1),2\cdot 2-(-1)\cdot 1)=(1-6,-(-2-3),4+1)=(-5,5,5)$

(3) $|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{25+25+25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$

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B2. $2(x-1)-(y-2)+4(z-3)=0$

展开：$2x-2-y+2+4z-12=0$ ⇒ $\boxed{2x-y+4z-12=0}$

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B3. 方向 $\vec{s}=\overrightarrow{M_1{M}_2}=(3-1,1-0,-1-2)=(2,1,-3)$，取 $M_1(1,0,2)$。

点向式：$\boxed{\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-3}}$

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B4. $d=\frac{|2\cdot 1-1\cdot 2+2\cdot 3-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|2-2+6-1|}{3}=\boxed{\frac{5}{3}}$

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B5. $[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|$

行列式展开：$1\cdot (1\cdot 1-1\cdot 0)-1\cdot (0\cdot 1-1\cdot 1)+0\cdot (0\cdot 0-1\cdot 1)=1\cdot 1-1\cdot (-1)+0=1+1=\boxed{2}$

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B6. 将 $z=2$ 代入球面：$x^2+y^2+4=9$ ⇒ $x^2+y^2=5$。

投影曲线：$\boxed{\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ z=0\end{array}}$

📌 投影区域是圆 $x^2+y^2\le 5$（对应 $z=0$ 面）。

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B7. 交面式化简：选择用 $t$ 表示，优先选系数最简的变量作参数。

由 (2) $-$ (1)$\times 2$：$2x+4y-z-2(x+y-z+1)=0-0$ 不对…

直接消去 $z$：(1) ⇒ $z=x+y+1$；代入 (2)：$2x+4y-(x+y+1)=0$ ⇒ $x+3y=1$ ⇒ $x=1-3y$。

令 $y=t$（$y$ 的系数 1 最简），则：

$x=1-3t,y=t,z=(1-3t)+t+1=2-2t$。

∴ $\vec{s}=(-3,1,-2)$，取 $t=0$ 得 $M_0=(1,0,2)$。

$\overrightarrow{M_{0}P}=(3-1,1-0,2-2)=(2,1,0)$

$\overrightarrow{M_{0}P}\times \vec{s}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& 0\\ -3& 1& -2\end{array}\right|=(-2-0,-(-4-0),2+3)=(-2,4,5)$

$|\overrightarrow{M_{0}P}\times \vec{s}|=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$|\vec{s}|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

$\boxed{d=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{14}}}$

C 组

C1. (1) $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right|=(6,3,2)$

$|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{36+9+4}=7$

$S=\frac{1}{2}\cdot 7=\boxed{\frac{7}{2}}$

(2) $\overrightarrow{OA}=(1,0,0),\overrightarrow{OB}=(0,2,0),\overrightarrow{OC}=(0,0,3)$

$V=\frac{1}{6}\Vert [\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC}]\Vert =\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right|=\frac{1}{6}\cdot 6=\boxed{1}$

📌 三点恰好在三根轴上——这是一个”直角四面体”，可以直接用 $V=\frac{1}{6}\cdot abc$。

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C2. (1) 消元找方向向量：

(1)×3 − (2)：$3x+3y+3z-6-(3x+2y+3z)=0$ ⇒ $y=6$ ✓

(2) − (1)×2：$3x+2y+3z-(2x+2y+2z-4)=0$ ⇒ $x+z=-4$ ⇒ $x=-z-4$

令 $z=t$：$x=-4-t,y=6,z=t$。方向 $\vec{s}=(-1,0,1)$。

参数式：$\boxed{\{\begin{array}{l}x=-4-t\\ y=6\\ z=t\end{array}}$

点向式：$\boxed{\frac{x+4}{-1}=\frac{y-6}{0}=\frac{z}{1}}$（$y\equiv 6$ 恒定）

(2) 代入 $2x-y+z=0$ 求交点：

$2(-4-t)-6+t=0$ ⇒ $-8-2t-6+t=0$ ⇒ $-t=14$ ⇒ $t=-14$

交点：$x=-4-(-14)=10,y=6,z=-14$ ⇒ $\boxed{(10,6,-14)}$

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C3. 过 $A$ 作平行于给定平面 $\Pi$ 的平面 ${\Pi }_A$：

$3(x+1)-4(y-0)+1(z-4)=0$ ⇒ $3x+3-4y+z-4=0$ ⇒ $3x-4y+z-1=0$

已知直线 $l_1$ 的参数式：$(t,t-1,2t+3)$。求它与 ${\Pi }_A$ 的交点：

$3t-4(t-1)+(2t+3)-1=0$ ⇒ $3t-4t+4+2t+3-1=0$ ⇒ $t+6=0$ ⇒ $t=-6$

交点 $B(-6,-7,-9)$。

方向 $\vec{s}=\overrightarrow{AB}=(-6-(-1),-7-0,-9-4)=(-5,-7,-13)$。

所求直线：$\boxed{\frac{x+1}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z-4}{13}}$（取正向）。

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C4. 求 $l_1$ 的方向向量：${\vec{s}}_1={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=(1,1,-1)\times (2,-1,1)$

$=(1\cdot 1-(-1)(-1),-(1\cdot 1-(-1)\cdot 2),1(-1)-1\cdot 2)=(1-1,-(1+2),-1-2)=(0,-3,-3)\propto (0,1,1)$

在 $l_1$ 上取一点：令 $z=0$ ⇒ $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x-y=1\end{array}$ ⇒ 相加 $3x=1$，$x=\frac{1}{3},y=-\frac{1}{3}$。$M_1=(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0)$。

求 $l_2$ 的方向向量：${\vec{s}}_2=(1,-1,0)\times (0,1,1)=(-1,-1,1)$。

在 $l_2$ 上取一点：令$y=0$ ⇒ $x=0,z=2$。$M_2=(0,0,2)$。

$\overrightarrow{M_1{M}_2}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},2)$。

混合积 $[{\vec{s}}_1{\vec{s}}_2\overrightarrow{M_1{M}_2}]=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& -1& 1\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& 2\end{array}\right|$

按第一行展开：$0\cdot (\cdots )-1\cdot [(-1)\cdot 2-1\cdot (-\frac{1}{3})]+1\cdot [(-1)\cdot \frac{1}{3}-(-1)(-\frac{1}{3})]$

$=-1\cdot [-2+\frac{1}{3}]+1\cdot [-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}]=-1\cdot (-\frac{5}{3})+1\cdot (-\frac{2}{3})=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=1\ne 0$

⇒ 三向量不共面 ⇒ 两直线异面 ✓。

公垂线方向 $={\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2=(0,1,1)\times (-1,-1,1)$

$=(1\cdot 1-1\cdot (-1),-(0\cdot 1-1\cdot (-1)),0\cdot (-1)-1\cdot (-1))=(1+1,-(0+1),0+1)=\boxed{(2,-1,1)}$

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C5. (1) 两式相等消 $z$：$2x^2+y^2=4-x^2-3y^2$ ⇒ $3x^2+4y^2=4$

投影曲线：$\boxed{\{\begin{array}{l}3x^2+4y^2=4\\ z=0\end{array}}$ 即 $\frac{x^2}{4/3}+\frac{y^2}{1}=1$（椭圆）

(2) 投影区域（曲线所围区域）：$\boxed{3x^2+4y^2\le 4}$

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C6. 第一步：线段 $AB$ 参数方程。方向 $\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$，从 $A(1,0,0)$ 出发：

$t\in [0,1]$：$(x,y,z)=(1-t,t,t)$

关键关系：$z=t$，所以 $x=1-z,y=z$。

第二步：绕 $z$ 轴旋转，曲面 $S$ 的方程。

旋转面生成法则：对固定的 $z$，旋转后是圆，半径 = 原点到曲线点的水平距离。

$r(z)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(1-z{)}^2+z^2}=\sqrt{1-2z+z^2+z^2}=\sqrt{1-2z+2z^2}$

∴ 曲面 $S:x^2+y^2=1-2z+2z^2$

第三步：体积。截面是圆，面积 = $\pi r^2(z)$。从 $z=0$ 到 $z=1$：

$V=\pi {\int }_0^1{r}^2(z)dz=\pi {\int }_0^1(1-2z+2z^2)dz$

原函数：$z-z^2+\frac{2}{3}{z}^3$

$V=\pi [z-z^2+\frac{2}{3}{z}^3{]}_0^1=\pi (1-1+\frac{2}{3})=\boxed{\frac{2\pi }{3}}$