§8.8 方向导数与梯度

概述

偏导数刻画的是平行于坐标轴方向的变化率。实际中往往需要知道任意方向的变化率 → 引入方向导数。

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§8.8.1 方向导数

一、定义

设 $z=f(x,y)$ 在 $P(x,y)$ 的某邻域内有定义，$l$ 是从 $P$ 引出的一条射线，$Q(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 是 $l$ 上一点，$\rho =|PQ|=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。

若极限

$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_P={\lim }_{\rho \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }$

存在，则称其为 $f$ 在 $P$ 点沿方向 $l$ 的方向导数。

注：方向导数是单侧极限（沿射线方向），而偏导数是双侧极限。

二、计算公式（充分条件）

若 $f(x,y)$ 在 $P(x,y)$ 处可微，则沿任意方向 $l$ 的方向导数都存在：

$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta$

其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 是 $l$ 方向的单位向量（方向余弦）。

如何求方向余弦：将方向向量单位化即可。

三、三元函数的推广

$u=f(x,y,z),\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma$

四、典型例题

例1：$u=\ln (x+y^2+z^2)$，求在 $A(0,1,1)$ 处沿 $\overrightarrow{AB}$ 方向的方向导数，其中 $B(2,1,2)$

$\overrightarrow{AB}=(2,0,1)$，单位化：$\left(\frac{2}{\sqrt{5}},0,\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_A=\frac{1}{2},\frac{\partial u}{\partial y}{|}_A=1,\frac{\partial u}{\partial z}{|}_A=1$

$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+1\cdot 0+1\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

注：该定理只是充分条件。函数不可微时，方向导数也可能存在（需用定义判断）。

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§8.8.2 梯度（Gradient）

一、定义

若 $f(x,y)$ 在 $D$ 内偏导数存在，则对每一点 $P(x,y)$ 定义一个向量：

$\text{grad}f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

或记为 $\nabla f=f_x^{\prime }\vec{i}+f_y^{\prime }\vec{j}$（Nabla 算子 $\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}\right)$）

三元：$\text{grad}f=(f_x^{\prime },f_y^{\prime },f_z^{\prime })$

二、方向导数与梯度的关系

设 $l$ 方向的单位向量为 ${\vec{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$，则：

$\frac{\partial f}{\partial l}=\text{grad}f\cdot {\vec{e}}_l=|\text{grad}f|\cdot \cos \theta$

其中 $\theta$ 为梯度方向与 $l$ 方向的夹角。

三、梯度的性质 ⭐

性质（核心）：函数沿梯度方向的方向导数最大，最大值 = 梯度的模。

方向	$\frac{\partial f}{\partial l}$	含义
$\theta =0$（沿梯度方向）	$	\text{grad}, f
$\theta =\pi$（反梯度方向）	$-	\text{grad}, f
$\theta =\pi /2$（与梯度垂直）	$0$	等值线方向

即：梯度方向 = 函数增加最快的方向，梯度的模 = 最大方向导数值。

例2：$f(x,y,z)=x^2+y+z$，求在 $P(1,1,1)$ 沿增加最快方向的方向导数

$\text{grad}f{|}_P=(2,1,1)$，$|\text{grad}f|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$

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四、进阶题型：内法向方向导数（考研）

例3（考研）：求 $f(x,y)=x^2-4xy+3y^2$ 在椭圆 $C:2x^2+2xy+3y^2=6$ 上点 $P(1,-1)$ 处内法向的方向导数。

令 $F=2x^2+2xy+3y^2-6$，$\text{grad}F{|}_P=(2,-4)=\pm (2,-4)$

判断内法向：$F(0,0)=-6<0$，原点在椭圆内。$\overrightarrow{PO}=(-1,1)$

$\vec{n}\cdot \overrightarrow{PO}>0$ → 内法向为 $(4,-8)$

$\text{grad}f{|}_P=(5,-7)$

$\frac{\partial f}{\partial n}=(5,-7)\cdot \frac{(4,-8)}{\sqrt{80}}=\frac{76}{\sqrt{80}}=\frac{19}{\sqrt{5}}$

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关键词汇总

概念	公式
方向导数	$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta$
三元方向导数	$f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta +f_z\cos \gamma$
梯度	$\text{grad}f=(f_x,f_y)$ 或 $\nabla f$
方向导数与梯度	$\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \vec{e}_l =
最大方向导数	沿 $\nabla f$ 方向，值 $=
内法向量判定	$\vec{n}\cdot \overrightarrow{PO}>0$（$O$ 在曲线内）