§8.7 偏导数在几何中的应用

空间曲线的切线与法平面 → 空间曲面的切平面与法线 → 考研证明题

📌 注：§8.8 梯度与 §8.9 泰勒展式不做要求。本节就是第八章的最后一节。

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一、空间曲线的切线与法平面

基本概念

• 切线：割线的极限位置（第七章空间解析几何的延续）
• 法平面：过切点且与切线垂直的平面

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情况 1：参数方程

空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程：

$$\Gamma :\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$$

设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 对应 $t=t_0$。

切向量：

$$\boxed{\vec{T}=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))}$$

切线方程（点向式）：

$$\boxed{\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}}$$

法平面方程：

$$\boxed{x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0}$$

🧠 类比第七章：切线 = 点向式直线（方向 = 切向量），法平面 = 点法式平面（法向量 = 切向量）。

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例 1：$\Gamma :x=t,y=t^2,z=t^3$，求在 $M(1,1,1)$ 处的切线与法平面。

$t_0=1$（由 $x=1$ 得），$x^{\prime }=1,y^{\prime }=2t,z^{\prime }=3t^2$

切向量 $\vec{T}=(1,2,3)$

切线：$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$

法平面：$1(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$ ⇒ $x+2y+3z=6$

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情况 2：一般式（交面式）⭐

空间曲线由两个曲面的交线表示：

$$\Gamma :\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

方法：在 $\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}\ne 0$ 的条件下，方程组确定 $y=y(x),z=z(x)$。方程组两边对 $x$ 求导解出 $y^{\prime },z^{\prime }$。

切向量可取为：

$$\boxed{\vec{T}=(1,y^{\prime }(x_0),z^{\prime }(x_0))}$$

📌 更高效的方法：直接用雅可比行列式求 $y^{\prime },z^{\prime }$（见 §8.6），或通过求导后的线性方程组解出。

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例 2（典型例题）：$\Gamma :\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x^2+y^2+z^2+2x+6y=0\end{array}$，求在 $M(1,2,-1)$ 处的切线与法平面。

方程组两边对 $x$ 求导（$y=y(x),z=z(x)$）：

$$\{\begin{array}{l}1+y^{\prime }+z^{\prime }=0\\ 2x+2y{y}^{\prime }+2z{z}^{\prime }+2+6y^{\prime }=0\end{array}$$

代入 $M(1,2,-1)$：

(1) $1+y^{\prime }+z^{\prime }=0$ (2) $2+4y^{\prime }-2z^{\prime }+2+6y^{\prime }=0$ ⇒ $4+10y^{\prime }-2z^{\prime }=0$ ⇒ $2+5y^{\prime }-z^{\prime }=0$

由 (1)：$z^{\prime }=-1-y^{\prime }$，代入：$2+5y^{\prime }-(-1-y^{\prime })=0$ ⇒ $3+6y^{\prime }=0$ ⇒ $y^{\prime }=-\frac{1}{2}$

$z^{\prime }=-1-(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$

切向量 $\vec{T}=(1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，或取 $(2,-1,-1)$。

切线：$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-1}$

法平面：$2(x-1)-(y-2)-(z+1)=0$ ⇒ $2x-y-z=1$

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二、空间曲面的切平面与法线

情况 1：隐函数形式 $F(x,y,z)=0$

设曲面 $\Sigma :F(x,y,z)=0$，$P_0(x_0,y_0,z_0)\in \Sigma$。

法向量：

$$\boxed{\vec{n}=(F_x^{\prime }(P_0),F_y^{\prime }(P_0),F_z^{\prime }(P_0))}$$

切平面方程：

$$\boxed{F_x^{\prime }(P_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(P_0)(y-y_0)+F_z^{\prime }(P_0)(z-z_0)=0}$$

法线方程：

$$\boxed{\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }(P_0)}}$$

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情况 2：显函数形式 $z=f(x,y)$ ⭐

这是隐函数形式的特例。令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$，则：

$$F_x^{\prime }=f_x^{\prime },F_y^{\prime }=f_y^{\prime },F_z^{\prime }=-1$$

法向量：

$$\boxed{\vec{n}=(f_x^{\prime }(P_0),f_y^{\prime }(P_0),-1)}$$

切平面方程：

$$\boxed{z-z_0=f_x^{\prime }(P_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(P_0)(y-y_0)}$$

🧠 直觉：这正是全微分的几何版本！切平面 = 用线性函数在 $P_0$ 局部近似曲面（§8.4 的几何对应物）。

法线方程：

$$\frac{x-x_0}{f_x^{\prime }(P_0)}=\frac{y-y_0}{f_y^{\prime }(P_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$$

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经典例题

例 3：球面 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面。

$F=x^2+y^2+z^2-r^2$，$F_x^{\prime }=2x_0,F_y^{\prime }=2y_0,F_z^{\prime }=2z_0$

切平面：$x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)+z_0(z-z_0)=0$ ⇒ $\boxed{x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^2}$

📌 球面的切平面公式极其简洁——只消去 $x^2$ 中的一半。

例 4：椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面：

$$\boxed{\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}+\frac{z_{0}z}{c^2}=1}$$

例 5：抛物面 $z=a{x}^2+b{y}^2$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面：

$f_x^{\prime }=2a{x}_0,f_y^{\prime }=2b{y}_0$，切平面：$z-z_0=2a{x}_0(x-x_0)+2b{y}_0(y-y_0)$

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三、综合题型

题型 1：切平面过一定点

例 6（证明）：$z=xf\left(\frac{y}{x}\right)$，$f$ 可微，证明曲面上任一点的切平面都通过原点。

$f_x^{\prime }=f\left(\frac{y}{x}\right)+x{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^2}\right)=f\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)$

$f_y^{\prime }=x{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)$

切平面：$z-z_0=f_x^{\prime }(x-x_0)+f_y^{\prime }(y-y_0)$

代入原点 $(0,0,0)$：$-z_0=-x_0{f}_x^{\prime }-y_0{f}_y^{\prime }$

即 $z_0=x_0{f}_x^{\prime }+y_0{f}_y^{\prime }$。由 $z_0=x_{0}f(y_0/x_0)$ 和 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$ 的表达式可验证恒成立 ✓。

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题型 2：切平面相切条件

例 7：$x^2+y^2-z^2+3\lambda x+3y+16=0$ 与椭球面 $3x^2+y^2+z^2=16$ 相切，求 $\lambda$。

设切点 $(x_0,y_0,z_0)$，写出两个曲面在该点的法向量，利用法向量平行列等式，联立解出 $\lambda =\pm 2$。（详细计算见 PPT 第 19 页）

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题型 3（考研）：证明曲面是柱面

例 8：证明 $e^{x-2z}=f(\pi y-\sqrt{2}z)$ 表示柱面。

思路：柱面 = 存在固定方向 $\vec{a}$，使曲面上每点的法向量与该方向垂直（$n\cdot a=0$）。

令 $F=e^{x-2z}-f(\pi y-\sqrt{2}z)$。

$F_x^{\prime }=e^{x-2z}$，$F_y^{\prime }=-\pi f^{\prime }(\pi y-\sqrt{2}z)$，$F_z^{\prime }=-2e^{x-2z}+\sqrt{2}{f}^{\prime }(\pi y-\sqrt{2}z)$

尝试找 $\vec{a}=(a,b,c)$ 使 $a{F}_x^{\prime }+b{F}_y^{\prime }+c{F}_z^{\prime }=0$ 对任意点恒成立。

取 $\vec{a}=(2,\sqrt{2}\pi ,1)$，验证 $n\cdot a=2e^{x-2z}-\sqrt{2}{\pi }^2{f}^{\prime }-2e^{x-2z}+\sqrt{2}{f}^{\prime }=-\sqrt{2}({\pi }^2-1)f^{\prime }$…观察法取 $\vec{a}=(2,\sqrt{2}\pi ,1)$ 可证 ✓。

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