§8.5 多元复合函数求导法则

链式法则（三种情形）→ 二阶偏导（$f_1^{\prime }$ 仍复合）→ 全微分形式不变性 → 隐函数求导 → 欧拉定理

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Why 重新学链式法则？

上学期 $y=f(x^2)$ 的复合链式法则很简单。但多元世界中：

• $z=f(u,v)$，$u=x^2+y^2$，$v=xy$ → 如何求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ？
• $z=f(xy,x+y)$ → $f$ 是抽象函数（没给具体表达式），怎么求偏导？

🧠 答案是一致的：画变量依赖图 → 每条路径积求和。每一种情况有一个公式。

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抽象函数的记号约定 ⭐

记号	含义	对应
$f_1^{\prime }$ 或 $f_u^{\prime }$	$f$ 对第一个位置变量的偏导	如 $f(xy,x+y)$ 对第一个参数 $xy$ 求导
$f_2^{\prime }$ 或 $f_v^{\prime }$	$f$ 对第二个位置变量的偏导	如 $f(xy,x+y)$ 对第二个参数 $x+y$ 求导
$f_{11}^{\prime \prime }$	对第一个变量求导两次	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}$
$f_{12}^{\prime \prime }$	先一后二	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}$
$f_{22}^{\prime \prime }$	对第二个变量求导两次	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}$

📌 $f_1^{\prime }$ 本身仍是关于 $(u,v)$ 的函数，所以 $f_1^{\prime }=f_1^{\prime }(u,v)=f_1^{\prime }(\text{第一参数},\text{第二参数})$，保持与原来 $f$ 相同的复合结构。

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§8.5.1 链式法则 — 三种情形

情形一：多元与一元复合（全导数）

$z=f(u,v)$，$u=\phi (x)$，$v=\psi (x)$ → $z$ 最终只依赖 $x$

变量依赖图：$z\leftarrow \{u,v\}\leftarrow x$（两条路径）

$$\boxed{\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dx}}\text{也写作}\frac{dz}{dx}=f_u^{\prime }\cdot {\phi }^{\prime }(x)+f_v^{\prime }\cdot {\psi }^{\prime }(x)$$

📌 称为全导数（区别于偏导数）。

推论 1：多于两个中间变量 → 加项即可。

例如 $z=f(u,v,w)$，$u,v,w=\text{func}(x)$：$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dx}$

推论 2：$x$ 既是自变量又是中间变量。

$z=f(u,x)$，$u=\phi (x)$ → $\frac{dz}{dx}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot {\phi }^{\prime }(x)+\frac{\partial f}{\partial x}$

推论 3：$z=f(x,x)$ → $\frac{dz}{dx}=f_1^{\prime }(x,x)+f_2^{\prime }(x,x)$（习题册第五题常见）

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例 1：$z=x^2-y^2$，$x=\sin t$，$y=\cos t$，求 $\frac{dz}{dt}$。

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}=2x\cos t-2y(-\sin t)=2\sin t\cos t+2\cos t\sin t=2\sin 2t$$

验算：$z={\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t=-\cos 2t$，$\frac{dz}{dt}=2\sin 2t$ ✓

例 2（抽象函数）：$z=f(\sin t,\cos t)$，$f$ 可微，求 $\frac{dz}{dt}$。

设 $u=\sin t,v=\cos t$：$\frac{dz}{dt}=f_u^{\prime }\cos t+f_v^{\prime }(-\sin t)=\cos t\cdot f_1^{\prime }-\sin t\cdot f_2^{\prime }$

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情形二：多元与多元复合

$z=f(u,v)$，$u=\phi (x,y)$，$v=\psi (x,y)$ → $z$ 最终依赖 $(x,y)$

变量依赖图：$z\leftarrow \{u,v\}\leftarrow \{x,y\}$（每个自变量对应两条路径）

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}}\boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}}$$

🧠 记忆法：对哪个变量求偏导，就看依赖图上从该变量出发经过每条路径的积之和。

推论：$x$ 同时是自变量和中间变量。

$z=f(u,x,y)$，$u=\phi (x,y)$：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$$

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例 3：$z=f(xy,x+y)$，$f$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$。

设 $u=xy,v=x+y$：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot y+f_2^{\prime }\cdot 1\frac{\partial z}{\partial y}=f_1^{\prime }\cdot x+f_2^{\prime }\cdot 1$$

例 4：$z=f(y\sin x,x)$，$f$ 可微，求偏导。

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot y\cos x+f_2^{\prime }\cdot 1\frac{\partial z}{\partial y}=f_1^{\prime }\cdot \sin x$$

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情形三：一元与多元复合

$z=f(u)$，$u=\phi (x,y)$ → $z$ 依赖 $(x,y)$

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x}}\boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial y}}$$

📌 这是最简单的链式：外层一元函数 $f$ 的导数乘以内部的偏导。

例 5：$z=f(x^2+y^2)$，求偏导。

$\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(x^2+y^2)\cdot 2x$，$\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }(x^2+y^2)\cdot 2y$

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§8.5.2 复合函数的高阶偏导数 ⭐

核心难点：$f_1^{\prime }$ 仍然复合！

🚨 求二阶偏导时最大的坑：$f_1^{\prime }(u,v)$ 本身仍然是 $(u,v)$ 的复合函数，求导时必须再次使用链式法则！

回顾一元：$y=f(x^2)$，$y^{\prime }=f^{\prime }(x^2)\cdot 2x$

$y^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }(x^2)\cdot 2x\cdot 2x+f^{\prime }(x^2)\cdot 2=4x^2{f}^{\prime \prime }(x^2)+2f^{\prime }(x^2)$

注意 $f^{\prime }(x^2)$ 仍然是 $u=x^2$ 的复合函数 → 再次链式求导。

二元的类比完全相同。

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例 6（考试重点）：$z=f(xy,x+y)$，求 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$（$f$ 二阶连续偏导）

第一步：一阶偏导

$\frac{\partial z}{\partial x}=y{f}_1^{\prime }+f_2^{\prime }$

第二步：对 $y$ 再求偏导。⚠️ $f_1^{\prime }$ 和 $f_2^{\prime }$ 的复合结构仍为 $f_1^{\prime }(xy,x+y)$ 和 $f_2^{\prime }(xy,x+y)$！

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(y{f}_1^{\prime }+f_2^{\prime })$$

对 $y{f}_1^{\prime }$ 部分（乘法）：

$$\frac{\partial }{\partial y}(y{f}_1^{\prime })=1\cdot f_1^{\prime }+y\cdot \frac{\partial f_1^{\prime }}{\partial y}$$

而 $\frac{\partial f_1^{\prime }}{\partial y}=f_{11}^{\prime \prime }\cdot \frac{\partial (xy)}{\partial y}+f_{12}^{\prime \prime }\cdot \frac{\partial (x+y)}{\partial y}=f_{11}^{\prime \prime }\cdot x+f_{12}^{\prime \prime }\cdot 1$

对 $f_2^{\prime }$ 部分：

$$\frac{\partial f_2^{\prime }}{\partial y}=f_{21}^{\prime \prime }\cdot x+f_{22}^{\prime \prime }\cdot 1$$

汇总（利用 $f_{12}^{\prime \prime }=f_{21}^{\prime \prime }$ 连续条件）：

$$\boxed{\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_1^{\prime }+xy{f}_{11}^{\prime \prime }+(x+y)f_{12}^{\prime \prime }+f_{22}^{\prime \prime }}$$

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例 7：$z=x^{3}f(xy,\frac{y}{x})$，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}f+x^3\left(y{f}_1^{\prime }-\frac{y}{x^2}{f}_2^{\prime }\right)=3x^{2}f+x^{3}y{f}_1^{\prime }-xy{f}_2^{\prime }$

继续求二阶（过程从略，思路完全类比例6），注意乘积法则 + $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 仍然复合。

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§8.5.3 全微分形式不变性

核心结论

无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，全微分的形式永远不变：

$$\boxed{dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv}$$

验证：若 $u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$，则

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right)dy$$

重组：$=\frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\right)+\frac{\partial z}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$

📌 应用：从外到内逐层微分，不区分自变量和中间变量，结构更简洁。

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应用：隐函数求导

例 8：$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$。

法一（链式法则）：方程两边对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数，$z$ 是 $x$ 的函数）：

$$F_x^{\prime }+F_z^{\prime }\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0\Rightarrow \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}}$$

同理 $\boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}}$。

法二（全微分形式不变性）：$dF=F_x^{\prime }dx+F_y^{\prime }dy+F_z^{\prime }dz=0$

⇒ $dz=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}dx-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}dy$，直接读出 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$。

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四、考研题型示例

题 1（已知偏导值求全导数）

$f(x,y)$ 在 $(1,1)$ 可微，且 $f(1,1)=1,\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(1,1)}=2,\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(1,1)}=3$。令 $\phi (x)=f(x,f(x,x))$，求 $\frac{d\phi }{dx}{|}_{x=1}$。

解：

${\phi }^{\prime }(x)=f_1^{\prime }(x,f(x,x))+f_2^{\prime }(x,f(x,x))\cdot \frac{d}{dx}f(x,x)$

$=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }(f_1^{\prime }(x,x)+f_2^{\prime }(x,x))$

代入 $x=1$：${\phi }^{\prime }(1)=2+3(2+3)=2+15=\boxed{17}$

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题 2（欧拉定理 — $k$ 次齐次函数）

若 $f(tx,ty,tz)=t^{k}f(x,y,z)$，则：

$$\boxed{x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z}=kf(x,y,z)}$$

证：两边对 $t$ 求导，再令 $t=1$。

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核心公式速查

情形	公式
全导数	$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}$
多元→多元	$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$x$ 同时中间变量	$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$
一元→多元	$\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x}$
全微分不变性	$dz=f_u^{\prime }du+f_v^{\prime }dv$（$u,v$ 无论什么身份）
隐函数 $F(x,y,z)=0$	$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$
${\mathbf{f}}_1^{\prime }$ 仍复合！	求二阶时必须再次链式：$\frac{\partial f_1^{\prime }}{\partial y}=f_{11}^{\prime \prime }\frac{\partial u}{\partial y}+f_{12}^{\prime \prime }\frac{\partial v}{\partial y}$