§8.3 偏导数与高阶偏导数

§8.3 偏导数

偏增量 → 偏导数定义 → 几何意义 → 二阶偏导数 → 混合偏导次序无关定理 → 拉普拉斯方程

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Why 偏导数？

一元函数 $y=f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 告诉我们函数在某点的变化率。二元函数 $z=f(x,y)$ 有两个自变量——我们希望分别了解：

• 固定 $y$，只让 $x$ 动 → 对 $x$ 的偏导数 $f_x^{\prime }$
• 固定 $x$，只让 $y$ 动 → 对 $y$ 的偏导数 $f_y^{\prime }$

🧠 直觉：偏导数就是”把另一个变量当作常数，对指定变量求导”——技术上就是把多元函数的导数分拆成两个独立的单变量问题。

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预备概念：三种增量

增量类型	公式	含义
偏增量 ${\Delta }_{x}z$	$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$	只有 $x$ 动、$y$ 不动
偏增量 ${\Delta }_{y}z$	$f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$	只有 $y$ 动、$x$ 不动
全增量 $\Delta z$	$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$	两个都动

偏导数是”偏增量的比值的极限”，全微分是”用偏导数近似全增量”（下节 §8.4）。

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§8.3.1 偏导数的定义

从一元导数到偏导数

	一元函数	二元函数
定义	$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$	$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
区别	$x$ 动	$x$ 动、$y$ 固定不动
记号	$f^{\prime }(x_0)$	$\frac{\partial f}{\partial x}{\Vert }_{(x_0,y_0)}$ 或 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$

精确定义

设 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。

对 $x$ 的偏导数：固定 $y=y_0$，若极限存在：

$$\boxed{f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}}$$

对 $y$ 的偏导数：固定 $x=x_0$，若极限存在：

$$\boxed{f_y^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}}$$

偏导函数

若 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内每一点 $(x,y)$ 的偏导数都存在，则得到偏导函数：

$$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},z_x^{\prime },f_x^{\prime }(x,y)$$

记号对照：

• $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$ = 在具体点的值（代入数字）
• $\frac{\partial z}{\partial x}$ = 偏导函数（保留变量）

计算规则

📌 核心操作：求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，把 $y$ 当作常数，对 $x$ 用一元求导公式。多元初等函数在定义域内直接套公式即可。

例：$f(x,y)=e^{xy}$。

对 $x$ 求偏导（$y$ 常数）：$f_x^{\prime }(x,y)=e^{xy}\cdot y=y{e}^{xy}$

对 $y$ 求偏导（$x$ 常数）：$f_y^{\prime }(x,y)=e^{xy}\cdot x=x{e}^{xy}$

性质：$\boxed{f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\frac{df(x,y_0)}{dx}{|}_{x=x_0}}$ — 即先把 $y=y_0$ 代入化为一元函数再求导。

例：$f(x,y)=x^3{y}^2$，求 $f_x^{\prime }(1,1)$。

法一（偏导函数）：$f_x^{\prime }=3x^2{y}^2$，代入 $(1,1)$ 得 $3$。

法二（先代入）：$f(x,1)=x^3$，$f^{\prime }(x)=3x^2$，在 $x=1$ 处 $=3$。✓

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⚠️ 分段点在偏导数处使用定义

与一元函数一样：初等函数用公式，分段函数的分段点必须用定义！

例（考点）：$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$，求 $f_x^{\prime }(0,0)$。

$$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\Delta x\cdot 0}{\Delta x^2+0}-0}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{0}{\Delta x}=0$$

同理 $f_y^{\prime }(0,0)=0$。两个偏导数都存在！

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🔴 关键结论：偏导数存在 $\nRightarrow$ 连续

一元函数	二元函数
可导 ⇒ 连续	偏导数存在 ⇏ 连续！

上面那个例子：$f_x^{\prime }(0,0)=f_y^{\prime }(0,0)=0$ 存在，但 §8.1 中已证该函数在 $(0,0)$ 不连续（沿不同路径极限不同）。

反之，连续也推不出偏导数存在。例如 $z=\sqrt{x^2+y^2}$（圆锥面）在原点连续，但偏导数不存在（尖点处不可导）。

这告诉我们：偏导数只是”沿坐标轴方向”的信息，要描述二元函数的整体性质，还需要更强的条件——全微分（§8.4）。

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考研题型：已知极限关系求偏导数

例：设 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}=1$，问 $f_x^{\prime }(0,0)$ 存在吗？

分析：$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$。

由连续性和极限条件：$f(0,0)=0$。

沿 $y=0$：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)}{|x|}=1$ ⇒ $f(x,0)\sim |x|$（不可导，因为左右导数不同）。

此题 $f_x^{\prime }(0,0)$ 不存在——因为沿 $x\to 0^{+}$ 和 $x\to 0^{-}$ 得不同值。

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§8.3.2 偏导数的几何意义

🧠 空间想象：曲面 $z=f(x,y)$ 像一张起伏的地形。用平面 $y=y_0$（一堵平行于 $xOz$ 面的竖直墙）去截这张曲面，截痕是一条空间曲线。偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 就是这条截痕曲线在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处的切线斜率。

	$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$	$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$
截面	平面 $y=y_0$	平面 $x=x_0$
截线	$\{\begin{array}{l}z=f(x,y)\\ y=y_0\end{array}$	$\{\begin{array}{l}z=f(x,y)\\ x=x_0\end{array}$
几何	曲线在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处切线对 $x$ 轴的斜率	曲线在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处切线对 $y$ 轴的斜率

类比一元：$f^{\prime }(x_0)$ = 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x_0,f(x_0))$ 的切线斜率。偏导数就是 $f^{\prime }(x_0)$ 的三维对应物。

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§8.3.3 高阶偏导数

定义

偏导函数 $f_x^{\prime }(x,y)$ 再对 $x$（或 $y$）求偏导 → 二阶偏导数。

记号	含义	等价写法
$f_{xx}^{\prime \prime }$	先对 $x$ 再对 $x$	$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$
$f_{xy}^{\prime \prime }$	先对 $x$ 再对 $y$	$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$
$f_{yx}^{\prime \prime }$	先对 $y$ 再对 $x$	$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$
$f_{yy}^{\prime \prime }$	先对 $y$ 再对 $y$	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

⚠️ $f_{xy}^{\prime \prime }$ ≠ $f_{yx}^{\prime \prime }$ 在一般情况下！注意求导次序。

$$f_{xy}^{\prime \prime }=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f_x^{\prime }(x,y+\Delta y)-f_x^{\prime }(x,y)}{\Delta y}\text{而}{f}_{yx}^{\prime \prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f_y^{\prime }(x+\Delta x,y)-f_y^{\prime }(x,y)}{\Delta x}$$

计算示例

例：$z=e^{xy}$，求四个二阶偏导数。

$z_x^{\prime }=y{e}^{xy}$，$z_y^{\prime }=x{e}^{xy}$

$z_{xx}^{\prime \prime }=\frac{\partial }{\partial x}(y{e}^{xy})=y^2{e}^{xy}$

$z_{xy}^{\prime \prime }=\frac{\partial }{\partial y}(y{e}^{xy})=e^{xy}+xy{e}^{xy}=(1+xy)e^{xy}$

$z_{yx}^{\prime \prime }=\frac{\partial }{\partial x}(x{e}^{xy})=e^{xy}+xy{e}^{xy}=(1+xy)e^{xy}$ ✓ 与 $z_{xy}^{\prime \prime }$ 相同

$z_{yy}^{\prime \prime }=\frac{\partial }{\partial y}(x{e}^{xy})=x^2{e}^{xy}$

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⭐ 混合偏导次序无关定理

定理：若 $f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)$ 和 $f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处都连续，则

$$\boxed{f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)}$$

即二阶混合偏导数在连续条件下与求导次序无关。

📌 考试要点：该定理常作为已知条件出现——“已知 $f_{xy}^{\prime \prime }$ 连续” 等价于告诉你 $f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }$。

反例：当混合偏导不连续时，$f_{xy}^{\prime \prime }$ 和 $f_{yx}^{\prime \prime }$ 可以不同。例如 $f(x,y)=x^3{y}^2$ 的混合偏导不相等（PPT 中展示了 $f_{xy}^{\prime \prime }\ne f_{yx}^{\prime \prime }$ 的反例）。

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应用：拉普拉斯方程

例：验证 $u=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 满足拉普拉斯方程 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$。

计算 $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\frac{1}{r^3}+\frac{3x^2}{r^5},r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

同理 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=-\frac{1}{r^3}+\frac{3y^2}{r^5}$，$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=-\frac{1}{r^3}+\frac{3z^2}{r^5}$

三式相加：$\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}-\frac{3}{r^3}=\frac{3r^2}{r^5}-\frac{3}{r^3}=0$ ✓

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核心公式速查

概念	公式/表述
偏导数定义	$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
计算口诀	对 $x$ 求偏导 → $y$ 当常数
分段点	必须用定义！
偏导存在 ⇏ 连续	反例 $f=\frac{xy}{x^2+y^2}$
几何意义	曲面被 $y=y_0$ 平面截得的曲线斜率
$f_{xx}^{\prime \prime }$	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ — 对同一变量两次
$f_{xy}^{\prime \prime }$	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ — 先 $x$ 后 $y$
混合偏导次序无关	$f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }$（条件：两者连续）