§8.3 偏导数与高阶偏导数

概述

一元函数中导数对函数性质有举足轻重的作用。对二元函数，研究 $x$ 和 $y$ 各自的导数对函数性质的影响——与一元导数区别，称为偏导数。

• 偏增量：${\Delta }_{x}z=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$（固定 $y$）
• 全增量：$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$

---

§8.3.1 偏导数的定义

一、定义

设 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。固定 $y=y_0$，给 $x$ 增量 $\Delta x$，若极限

$f_x^{\prime }(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

存在，则称此极限为 $f(x,y)$ 在 $P_0$ 处对 $x$ 的偏导数。

同理，对 $y$ 的偏导数：

$f_y^{\prime }(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

二、记号

$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},z_x^{\prime },f_x^{\prime }(x,y)$

三、偏导函数

若 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内每一点偏导数都存在，则称其为偏导函数：

$f_x^{\prime }(x,y)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$

四、计算方法

核心原则：求对 $x$ 的偏导数时，将 $y$ 视为常数，直接对 $x$ 使用求导公式。

例1：$f(x,y)=e^{xy}$，求 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$

$f_x^{\prime }=y{e}^{xy}$（$y$ 视为常数），$f_y^{\prime }=x{e}^{xy}$（$x$ 视为常数）

五、分段点处的偏导数

例2（考研常考）： $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$

求 $f_x^{\prime }(0,0),f_y^{\prime }(0,0)$。

必须用定义： $f_x^{\prime }(0,0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{0-0}{\Delta x}=0$

同理 $f_y^{\prime }(0,0)=0$。但前面已证 $f$ 在 $(0,0)$ 不连续！

---

§8.3.2 偏导数与连续的关系 ⭐

核心结论：偏导数存在 $\nRightarrow$ 连续，连续 $\nRightarrow$ 偏导数存在。

命题	是否成立	反例
偏导存在 → 连续	❌ 不成立	$f=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 偏导存在但不连续
连续 → 偏导存在	❌ 不成立	$z =

这与一元函数（可导必连续）有本质区别！

考研常考题型：已知 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}=1$，$f$ 在 $(0,0)$ 连续，问 $f_x^{\prime }(0,0)$ 是否存在。

分析：$f(0,0)=\lim f(x,y)=0$，$f_x^{\prime }(0,0)={\lim }_{x\to 0}\frac{f(x,0)}{x}$，由条件 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x,0)}{|x|}=1$， 故 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{f(x,0)}{x}=1$，${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{f(x,0)}{x}=-1$，$f_x^{\prime }(0,0)$ 不存在。

---

§8.3.3 偏导数的几何意义

• 一元导数 $f^{\prime }(x_0)$：曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率
• 偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$：曲面 $z=f(x,y)$ 与平面 $y=y_0$ 的交线在 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切线斜率

$f_x^{\prime }(x_0,y_0)={\frac{d}{dx}f(x,y_0)|}_{x=x_0}$

---

§8.3.4 高阶偏导数

一、四个二阶偏导数

记号	含义	别名
$f_{xx}^{\prime \prime }=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$	先对 $x$ 再对 $x$	二阶纯偏导
$f_{xy}^{\prime \prime }=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$	先对 $x$ 再对 $y$	二阶混合偏导
$f_{yx}^{\prime \prime }=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$	先对 $y$ 再对 $x$	二阶混合偏导
$f_{yy}^{\prime \prime }=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}$	先对 $y$ 再对 $y$	二阶纯偏导

或用下标记法：$f_{11}^{\prime \prime },f_{12}^{\prime \prime },f_{21}^{\prime \prime },f_{22}^{\prime \prime }$

二、二阶偏导数的计算

对初等函数：直接对偏导函数再求偏导，使用求导公式即可。

对分段函数在分段点：必须使用定义。

例3：$z=e^{xy}$，求二阶偏导数

$f_x^{\prime }=y{e}^{xy},f_y^{\prime }=x{e}^{xy}$ $f_{xx}^{\prime \prime }=y^2{e}^{xy},f_{xy}^{\prime \prime }=e^{xy}+xy{e}^{xy}$ $f_{yx}^{\prime \prime }=e^{xy}+xy{e}^{xy},f_{yy}^{\prime \prime }=x^2{e}^{xy}$

例4：$z=e^{x+2y}$，求 $f_{xy}^{\prime \prime }(1,2),f_{yx}^{\prime \prime }(1,2)$

$f_x^{\prime }=e^{x+2y},f_y^{\prime }=2e^{x+2y}$ $f_{xy}^{\prime \prime }=2e^{x+2y},f_{yx}^{\prime \prime }=2e^{x+2y}$

三、混合偏导数相等的条件 ⭐

定理：若 $f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)$ 和 $f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$ 都在点 $(x,y)$ 连续，则 $f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$

即二阶混合偏导数在连续条件下与求导次序无关。

注：该定理常直接作为条件使用。绝大多数初等函数的混合偏导数都连续，故 $f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }$ 一般成立。

例5：$f(x,y)=x^2{y}^3$，$f_{xy}^{\prime \prime }=6x{y}^2$，$f_{yx}^{\prime \prime }=6x{y}^2$，相等。

---

四、典型应用：拉普拉斯方程

例6：证明 $u=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 满足拉普拉斯方程 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$

证明： $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$ $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\frac{1}{r^3}+\frac{3x^2}{r^5}=\frac{3x^2-r^2}{r^5}$

同理得 $y,z$ 分量，三式相加： $\frac{3(x^2+y^2+z^2)-3r^2}{r^5}=0$

---

关键词汇总

概念	公式/要点
偏导数定义	$f_x^{\prime }(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
计算原则	对 $x$ 求导时 $y$ 视为常数
分段点	必须用定义
偏导 $\nRightarrow$ 连续	$f=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$
二阶混合偏导	$f_{xy}^{\prime \prime }=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},f_{yx}^{\prime \prime }=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$
混合偏导相等条件	$f_{xy}^{\prime \prime },f_{yx}^{\prime \prime }$ 连续 $⟹f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }$
拉普拉斯方程	${\nabla }^{2}u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$