§8.10 多元函数的极值与最值

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§8.10.1 无条件极值

一、定义

若 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有 $f(x,y)\le f(x_0,y_0)$（或 $\ge$），则称 $f$ 在该点取得极大值（或极小值）。

例：

• $z=x^2+y^2$ 在 $(0,0)$ 取极小值
• $z=-x^2-y^2$ 在 $(0,0)$ 取极大值
• $z=xy$ 在 $(0,0)$ 无极值（马鞍点）

二、必要条件

定理1：若 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 存在偏导数且取极值，则 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$

使偏导为 0 的点称为驻点。但驻点不一定是极值点（反例：$z=xy$ 的 $(0,0)$）。

三、充分条件（AC - B² 判别法）⭐

定理2：若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且 $f_x^{\prime }=f_y^{\prime }=0$，令 $A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0),B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0),C=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$

$\Delta =AC-B^2$	结论
$\Delta >0$ 且 $A>0$	极小值
$\Delta >0$ 且 $A<0$	极大值
$\Delta <0$	无极值
$\Delta =0$	无法判断，需另行讨论

理论依据：利用了二次型的正定性。$f(x,y)-f(x_0,y_0)\approx A(\Delta x{)}^2+2B\Delta x\Delta y+C(\Delta y{)}^2$

四、求极值的标准步骤

1. 令 $f_x^{\prime }=0,f_y^{\prime }=0$，解出所有驻点
2. 求出 $A=f_{xx}^{\prime \prime }$，$B=f_{xy}^{\prime \prime }$，$C=f_{yy}^{\prime \prime }$
3. 在每个驻点处计算 $\Delta =AC-B^2$ 并判断

例1（考研）：由 $x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-10=0$ 确定 $z=f(x,y)$ 的极值

隐函数求偏导：$z_x^{\prime }=\frac{1-x}{z-2}$，$z_y^{\prime }=\frac{-1-y}{z-2}$

驻点 $(1,-1)$，对应的两个 $z$ 值分别 $A>0,A<0$ → 极小/极大

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§8.10.2 二元函数的最值

方法

函数在有界闭区域上连续 → 最值存在。最值可疑点：

1. 区域内部的驻点（$f_x^{\prime }=f_y^{\prime }=0$）
2. 边界上的可疑点（转化为条件极值或代入边界）

计算所有可疑点的函数值，最大即最大值，最小即最小值。

常用技巧：若实际问题中函数只有最大值且在区域内部取得，区域内只有一个驻点，则此驻点必为最大值点。

例2：体积 $2{\text{m}}^3$ 的有盖长方体水箱，用料最省？

设长 $x$、宽 $y$，高 $h=\frac{2}{xy}$

面积 $S=2(xy+\frac{2}{x}+\frac{2}{y})$

令 $S_x^{\prime }=S_y^{\prime }=0$，得 $x=y=\sqrt[3]{2}$，此时用料最省（唯一驻点）

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§8.10.3 条件极值 — 拉格朗日乘数法

问题

求 $z=f(x,y)$ 在约束条件 $\phi (x,y)=0$ 下的极值。

方法

拉格朗日乘数法步骤：

Step 1：构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \cdot \phi (x,y)$

Step 2：令偏导为 0 $\{\begin{array}{l}{L}_x=f_x+\lambda {\phi }_x=0\\ L_y=f_y+\lambda {\phi }_y=0\\ L_{\lambda }=\phi (x,y)=0\end{array}$

Step 3：解方程组得可疑点，根据实际问题背景判断极值。

本质理解

从 $\phi (x,y)=0$ 可确定 $y=y(x)$，$z=f(x,y(x))$ 取极值：

$\frac{dz}{dx}=f_x+f_y\cdot y^{\prime }=0,y^{\prime }=-\frac{{\phi }_x}{{\phi }_y}$

$⟹f_x{\phi }_y-f_y{\phi }_x=0⟹\frac{f_x}{{\phi }_x}=\frac{f_y}{{\phi }_y}=-\lambda$

推广：多个约束条件

求 $u=f(x,y,z)$ 在 $\phi (x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$ 下的极值：

$L(x,y,z,\lambda ,\mu )=f+\lambda \phi +\mu \psi$

令五个偏导为 0，解方程组。

典型题型

例3：求 $z=x^2+y^2$ 与平面 $x+y-z=2$ 之间的最短距离

目标：$d^2=(x-u{)}^2+(y-v{)}^2+(z-w{)}^2$

约束：$z=x^2+y^2$，$u+v-w=2$

设切点后求距离

例4：证 $x,y,z>0$ 且 $x+y+z=a$ 时，$u=x^{\alpha }{y}^{\beta }{z}^{\gamma }$ 的最值

$L=\alpha \ln x+\beta \ln y+\gamma \ln z+\lambda (x+y+z-a)$

得 $x=\frac{\alpha a}{\alpha +\beta +\gamma }$ 等

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关键词汇总

概念	公式/判别
驻点	$f_x^{\prime }=0,f_y^{\prime }=0$
AC-B² > 0, A > 0	极小值
AC-B² > 0, A < 0	极大值
AC-B² < 0	无极值
AC-B² = 0	不确定
拉格朗日函数	$L=f+\lambda \phi$（单约束）
多约束	$L=f+\lambda \phi +\mu \psi$
最值	内部驻点 + 边界可疑点 → 比较函数值