§7.4 曲面与曲线

§7.4.1 曲面方程 · §7.4.2 旋转曲面 ⭐ · §7.4.3 柱面与锥面 §7.4.4 曲线方程 · §7.4.5 投影柱面与投影曲线

§7.4.1 曲面方程

在空间中，称方程 $F (x, y, z) = 0$ 表示的图形为曲面。

若曲面 $Σ$ 与方程 $F (x, y, z) = 0$ 满足：

$Σ$ 上任一点的坐标都满足方程
不在 $Σ$ 上的点的坐标都不满足方程

则方程叫做 $Σ$ 的方程， $Σ$ 叫做方程的图形。

考试重点：旋转曲面和柱面是两类最常见的曲面。

§7.4.2 旋转曲面 ⭐

定义

一条曲线绕某直线旋转而成的曲面称为旋转曲面。该曲线为母线，该直线为旋转轴。

三维特征（求方程的依据）

旋转曲面上任一点都与母线上一点对应
旋转曲面上任一点的轨迹是一个圆（垂直于轴的截面截痕为圆）—— 两点到旋转轴的距离相等
对应点的连线与旋转轴垂直

核心公式：坐标面上的曲线绕坐标轴旋转

$y O z$ 面上曲线 $L : F (y, z) = 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周：

F (\pm x^{2} + y^{2}, z) = 0

推导：设 $M (x, y, z)$ 是曲面上任一点，对应母线点 $M_{1} (0, y_{1}, z_{1})$ ：

到 $z$ 轴距离相等： $x^{2} + y^{2} = ∣ y_{1} ∣$ ⇒ $y_{1} = \pm x^{2} + y^{2}$
高度相同： $z_{1} = z$
$M_{1}$ 在母线上： $F (y_{1}, z_{1}) = 0$

代入即得。 $□$

替换速查表：

母线所在面	绕轴	替换规则
$y O z$ : $F (y, z) = 0$	绕 $z$	$y \to \pm x^{2} + y^{2}$
$y O z$ : $F (y, z) = 0$	绕 $y$	$z \to \pm x^{2} + z^{2}$
$x O y$ : $F (x, y) = 0$	绕 $x$	$y \to \pm y^{2} + z^{2}$
$x O y$ : $F (x, y) = 0$	绕 $y$	$x \to \pm x^{2} + z^{2}$
$z O x$ : $F (z, x) = 0$	绕 $z$	$x \to \pm x^{2} + y^{2}$
$z O x$ : $F (z, x) = 0$	绕 $x$	$z \to \pm y^{2} + z^{2}$

口诀：绕哪根轴，哪个坐标不变；另一坐标换成 $\pm 其他两坐标平方和$ 。

常见旋转曲面（表 7.1）

名称	母线	旋转轴	方程
圆锥面	$z = k y$ （直线）	$z$	$z^{2} = k^{2} (x^{2} + y^{2})$
旋转抛物面	$z = a y^{2}$ （抛物线）	$z$	$z = a (x^{2} + y^{2})$
旋转椭球面	$\frac{y ^{2}}{a ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$	$z$	$\frac{x ^{2} + y ^{2}}{a ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$
单叶旋转双曲面	双曲线绕虚轴	$z$	$\frac{x ^{2} + y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$
双叶旋转双曲面	双曲线绕实轴	$y$	$\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2} + z ^{2}}{c ^{2}} = 1$

直线绕轴旋转

直线 $L : {A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ 绕 $z$ 轴旋转：

以 $z$ 为参数解出 $x = x (z), y = y (z)$ ，则旋转曲面方程为：

x^{2} + y^{2} = [x (z)]^{2} + [y (z)]^{2}

§7.4.3 柱面与锥面

柱面

直线沿定曲线平行移动形成的轨迹叫做柱面。动直线→母线，定曲线→准线。

⚠️ 柱面 ≠ 仅圆柱面！准线是直线时，柱面就是经过直线的平面。

特殊情况（考试重点）——准线在坐标面上，母线平行于与该面垂直的坐标轴：

方程	含义
$F (x, y) = 0$ （缺 $z$ ）	母线 $∥ z$ 轴
$F (y, z) = 0$ （缺 $x$ ）	母线 $∥ x$ 轴
$F (x, z) = 0$ （缺 $y$ ）	母线 $∥ y$ 轴

识别口诀：方程中缺少哪个变量，母线就平行于哪根轴。

常见柱面（表 7.2）：

名称	方程	母线方向
圆柱面	$x^{2} + y^{2} = R^{2}$	$∥ z$
椭圆柱面	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$∥ z$
抛物柱面	$y = x^{2}$	$∥ z$
双曲柱面	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$∥ z$

锥面

直线保持过定点且沿定曲线运动 → 锥面。定点为顶点，曲线为准线。

重要性质（考研）： $F (x, y, z) = 0$ 是 $n$ 次齐次方程（即 $F (t x, t y, t z) = t^{n} F (x, y, z)$ ）⇔ 表示以原点为顶点的锥面。

理由：曲面上任一点与原点的连线仍在曲面上。

常见锥面：圆锥面 $z^{2} = k^{2} (x^{2} + y^{2})$

§7.4.4 曲线方程

一般式（交面式）

空间曲线由两曲面相交得到：

{F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0

坐标面上的曲线特例：

方程组	含义
${F (x, y) = 0 z = 0$	$x O y$ 面上的曲线
${F (x, z) = 0 y = 0$	$z O x$ 面上的曲线
${F (y, z) = 0 x = 0$	$y O z$ 面上的曲线

参数式

⎩ ⎨ ⎧ x = x (t) y = y (t) z = z (t) (t \in I)

求空间曲线的参数方程是考点也是难点。

经典例：圆柱螺旋线

⎩ ⎨ ⎧ x = a cos t y = a sin t z = b t (a, b > 0)

曲线在圆柱面 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上，随 $t$ 增大螺旋上升。

圆锥螺旋线： $⎩ ⎨ ⎧ x = t cos t y = t sin t z = t$ （在 $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ 上）

§7.4.5 投影柱面与投影曲线 ⭐

定义

过曲线（准线）作母线垂直于某平面的柱面 → 投影柱面；投影柱面与该平面的交线 → 投影曲线。

在坐标面上的投影（考试重点）

设空间曲线 $L : {F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0$

在 $x O y$ 面上的投影：从方程组消去 $z$ ，得 $H (x, y) = 0$ ：

{H (x, y) = 0 z = 0

类推：

投影面	操作	最终形式
$x O y$	消 $z$	${H (x, y) = 0 z = 0$
$z O x$	消 $y$	${R (x, z) = 0 y = 0$
$y O z$	消 $x$	${S (y, z) = 0 x = 0$

投影区域：曲面中所有点在坐标面上的投影点的集合 = 两曲面交线的投影所围区域。

例题精讲

例题 1（例 7）：圆柱面交线

中心轴分别为 $y$ 轴、 $z$ 轴，半径均为 $R$ 的两个圆柱面，相交在第一卦限部分的交线方程。

解：

圆柱 1（轴 $∥ y$ ）： $x^{2} + z^{2} = R^{2}$

圆柱 2（轴 $∥ z$ ）： $x^{2} + y^{2} = R^{2}$

交线：

{x^{2} + z^{2} = R^{2} x^{2} + y^{2} = R^{2} (x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)

例题 2（例 9）：直线在平面上的投影直线

求直线 $l : {2 x + 3 y - z = 0 4 x + y + z = 0$ 在平面 $2 x + 3 z - 1 = 0$ 上的投影直线方程。

解：

第一步：求 $l$ 的方向向量 $s = (2, 3, - 1) \times (4, 1, 1) = (4, - 6, - 10) \propto (2, - 3, - 5)$ 。

$Π$ 的法向量 $n_{Π} = (2, 0, 3)$

过 $l$ 且 $⊥ Π$ 的平面法向量：

n_{1} = s \times n_{Π} = (2, - 3, - 5) \times (2, 0, 3) = (- 9, - 16, 6)

第二步： $l$ 上取一点。令 $z = 0$ ： $2 x + 3 y = 0$ , $4 x + y = 0$ ⇒ $(0, 0, 0)$

过该点的平面 $Π_{1}$ ： $- 9 x - 16 y + 6 z = 0$

答案（投影直线 = $Π_{1} \cap Π$ ）：

{9 x + 16 y - 6 z = 0 2 x + 3 z - 1 = 0

例题 3（例 10）：圆锥面与平面交线的投影

求圆锥面 $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ 与以下平面的交线在 $z O x$ 面上的投影： (1) $y = 0$ ；(2) $y = z - 1$ ；(3) $y = 4 z - 1$

解：

(1) 消 $y$ ： $x^{2} + 0 = z^{2}$ ⇒ $x = \pm z$

投影： ${x = \pm z y = 0$ （两条相交直线）

(2) 代入消 $y$ ： $x^{2} + (z - 1)^{2} = z^{2} ⟹ x^{2} + z^{2} - 2 z + 1 = z^{2} ⟹ x^{2} = 2 z - 1$

投影： ${x^{2} = 2 z - 1 y = 0$ （抛物线）

(3) 代入消 $y$ ： $x^{2} + (4 z - 1)^{2} = z^{2} ⟹ x^{2} + 16 z^{2} - 8 z + 1 = z^{2}$

$x^{2} + 15 z^{2} - 8 z + 1 = 0 ⟹ x^{2} + 15 (z - \frac{4}{15})^{2} = \frac{1}{15}$

投影： ${x^{2} + 15 (z - \frac{4}{15})^{2} = \frac{1}{15} y = 0$ （椭圆）

例题 4（例 11）：交线投影与投影区域

两曲面 $z = 2 x^{2} + y^{2}$ 和 $z = 4 - x^{2} - 3 y^{2}$ ，求：(1) 交线在 $x O y$ 面投影；(2) 所围立体在 $x O y$ 面的投影区域。

解：

第一步：两式相等消 $z$ 。

$2 x^{2} + y^{2} = 4 - x^{2} - 3 y^{2} ⟹ 3 x^{2} + 4 y^{2} = 4$

第二步：投影曲线。

{3 x^{2} + 4 y^{2} = 4 z = 0 即 \frac{x ^{2}}{4/3} + \frac{y ^{2}}{1} = 1

第三步：投影区域（椭圆内部）。

3 x^{2} + 4 y^{2} \leq 4

补充：考研进阶方法

曲线绕任意轴旋转

曲线 $Γ : {F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0$ 绕直线 $l : \frac{x - x _{0}}{m} = \frac{y - y _{0}}{n} = \frac{z - z _{0}}{p}$ ：

设 $M (x, y, z)$ 为旋转曲面上任一点， $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 为母线上对应点：

$∣ M_{0} M ∣ = ∣ M_{0} M_{1} ∣$ （到定点等距）
$F (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = 0, G (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = 0$

消 $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ 得曲面方程。

一般柱面方程求法

准线 $Γ : {F = 0 G = 0$ ，母线方向 $v = (a, b, c)$ ：

由 $\overset{ˉ}{M} M ∥ v$ 得：

\overset{x}{ˉ} = x - a t, \overset{y}{ˉ} = y - b t, \overset{z}{ˉ} = z - c t

代入 $F (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ}) = 0, G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ}) = 0$ ，消 $t$ 得柱面方程。

公式速查

曲面	方程特征	示例
旋转曲面	$F (\pm x^{2} + y^{2}, z) = 0$	绕 $z$ 轴
柱面	缺一个变量	$x^{2} + y^{2} = R^{2}$ （缺 $z$ ）
锥面	齐次方程	$x^{2} + y^{2} = z^{2}$

曲线	方程形式
交面式	${F = 0 G = 0$
参数式	$x = x (t), y = y (t), z = z (t)$

投影类型	方法	结果
$x O y$ 面	消 $z$	${H (x, y) = 0 z = 0$
$z O x$ 面	消 $y$	${R (z, x) = 0 y = 0$
$y O z$ 面	消 $x$	${S (y, z) = 0 x = 0$

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