§7.1 向量及向量的运算

第七章空间解析几何与向量代数

一、向量的概念

1.1 向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。

表示方法：在坐标系中用有向线段表示向量
- 有向线段的长度表示向量的大小
- 有向线段的方向表示向量的方向

a, b, c, \dots 或 A B, C D, \dots

起点 $A$ ，终点 $B$ ：向量记为 $A B$ 或 $a$

1.2 向量的模

向量的模即向量的大小（长度），记为 $∣ a ∣$ ， $∣ A B ∣$ 。

∣ a ∣ \geq 0, ∣ a ∣ = 0 ⟺ a = 0

1.3 特殊向量

（1）相等向量（自由向量）

若两个向量 $a$ 和 $b$ 的大小相等，且方向相同，则称两向量相等，记为 $a = b$ 。

这样的向量称为自由向量——一个自由向量经平行移动后与原向量相等。

例：平行四边形 $A BC D$ 中， $A B = D C$ ， $A D = BC$

（2）负向量

若两个向量 $a$ 和 $b$ 的大小相等，方向相反，则称 $b$ 为 $a$ 的负向量，记为 $b = - a$ （或 $a = - b$ ）。

例：平行四边形 $A BC D$ 中， $A B = - C D$ ， $C D = - A B$

（3）零向量

长度为零的向量称为零向量，记为 $0$ 。

零向量无一定方向，也可看成是任意方向的向量
$∣ 0 ∣ = 0$

（4）单位向量

长度为 1（模为 1）的向量称为单位向量。

注意：单位向量不唯一，任何方向的单位向量都存在。

向量的单位化：设 $a \neq = 0$ ，则与 $a$ 同方向的单位向量为：

a^{0} = \frac{a}{∣ a ∣}

从而有：

a = ∣ a ∣ \cdot a^{0}

重要推论：任一非零向量除以它的模即为该向量的单位向量；任一非零向量等于它的模乘以其单位向量。

推论：若向量 $a$ ， $b$ 同向，且 $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ ，则 $a = b$ 。

二、向量的线性运算

2.1 向量的加法

三角形法则

设有两个向量 $a$ 和 $b$ ，任取一点 $A$ ，作 $A B = a$ ，再以 $B$ 为起点作 $BC = b$ ，连接 $A C$ ，则向量 $A C$ 称为 $a$ 与 $b$ 的和：

c = a + b = A C = A B + BC

口诀：首尾相接，从起点指向终点。

封闭多边形法则

设有向量 $a, b, c, d$ ，将它们首尾相连，则从 $a$ 的起点到 $d$ 的终点的向量即为：

a + b + c + d

坐标系可以是二维或三维。

2.2 向量的减法

两个向量 $a$ 与 $b$ 的差规定为：

a - b = a + (- b)

几何意义：从 $b$ 的终点向 $a$ 的终点所引向量即为 $a - b$ 。

负向量：设 $a$ 为一向量，与 $a$ 的模相等而方向相反的向量称为 $a$ 的负向量，记作 $- a$ 。

2.3 向量加法的运算规律

规律	表达式	说明
(1) 互逆性	若 $a + b = 0$ ，则 $b = - a$ 或 $a = - b$	和为 $0$ 的两个向量互为负向量
(2) 零向量	$a + 0 = a$	零向量是加法单位元
(3) 交换律	$a + b = b + a$
(4) 结合律	$(a + b) + c = a + (b + c)$
(5) 消去律	若 $a + b = a + c$ ，则 $b = c$

其中 (5) 的几何含义： $b$ 的起点与 $a$ 的终点重合， $b$ 的终点与 $a$ 的起点重合 → 构成封闭回路 → $b = c$

三、数乘运算

3.1 定义

实数 $k$ 与向量 $a$ 相乘称为数乘运算，结果仍是一个向量，记为 $k a$ 。

模： $∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$
方向：
- $k > 0$ ：与 $a$ 同向
- $k < 0$ ：与 $a$ 反向

向量的加法、减法与数乘运算统称为向量的线性运算。

3.2 数乘运算的运算规律

规律	表达式
(1) 结合律	$k (l a) = (k l) a$
(2) 分配律	$(k + l) a = k a + l a$
(3) 零因子律	若 $k a = 0$ ，则 $k = 0$ 或 $a = 0$

四、向量的夹角与位置关系

4.1 向量的夹角

设有两个非零向量 $a$ ， $b$ ，任取空间一点 $O$ ，作 $O A = a$ ， $OB = b$ ，规定不超过 $π$ 的 $∠ A OB$ 称为向量 $a$ 与 $b$ 的夹角，记作：

(a, b) 或 (b, a)

$(a, b) = 0$ ： $a$ 与 $b$ 同向
$(a, b) = π$ ： $a$ 与 $b$ 反向
$(a, b) = 0$ 或 $π$ ： $a$ 与 $b$ 平行（共线），记作 $a ∥ b$
$(a, b) = \frac{π}{2}$ ： $a$ 与 $b$ 垂直，记作 $a ⊥ b$

注：零向量与任意向量的关系比较特殊——零向量既可以认为与任意向量平行，也可以认为与任意向量垂直。

4.2 向量共面

定义： $k$ （ $k \geq 3$ ）个向量与同一个平面平行，则称这些向量共面。

从几何上看：把它们的起点固定在同一点时， $k$ 个终点和公共起点在同一个平面上。

常用判别法：三个向量与同一非零向量垂直 $⟹$ 三向量共面。

五、共线与共面定理

5.1 共线定理

定理 1：设 $a \neq = 0$ ，则 $a$ 与 $b$ 共线的充要条件是存在唯一的数 $k$ ，使得 $b = k a$ 。

这是向量坐标表示的理论依据。

定理 1 的等价表述（推论）：向量 $a$ 与 $b$ 共线的充要条件是存在不全为零的数 $k_{1}, k_{2}$ ，使得 $k_{1} a + k_{2} b = 0$ 。

证明：

必要性：当 $a = 0$ 或 $b = 0$ 时，结论显然成立。

当 $a, b$ 均不为零时，由 $a$ 与 $b$ 平行，存在实数 $l$ 使 $a = l b$ ，移项得 $a - l b = 0$ 。取 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = - l$ ，即存在不全为零的 $k_{1}, k_{2}$ 使 $k_{1} a + k_{2} b = 0$ 。

充分性：若存在不全为零的数 $k_{1}, k_{2}$ 使 $k_{1} a + k_{2} b = 0$ 。不妨设 $k_{2} \neq = 0$ ，则：

b = - \frac{k _{1}}{k _{2}} a

由定理 1 知 $a$ 与 $b$ 共线。 $□$

5.2 共面定理

定理 2：若向量 $a, b, c$ 满足 $c = k_{1} a + k_{2} b$ （即 $c$ 可由 $a, b$ 线性表出），则 $a, b, c$ 共面。

几何理解：

以 $O$ 为起点，作 $O M_{1} = k_{1} a$ ， $O M_{2} = k_{2} b$
以 $O M_{1}$ 和 $O M_{2}$ 为邻边作平行四边形，对角线即为 $c$
$a, b, c$ 在同一平面内

推论：三个向量 $a, b, c$ 共面的充要条件是存在不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，使得：

k_{1} a + k_{2} b + k_{3} c = 0

六、例题精讲

例题 1：平行四边形对角线的中点表示

在平行四边形 $A BC D$ 中，设 $A B = a$ ， $A D = b$ 。试用 $a$ 和 $b$ 表示向量 $M A$ 和 $MC$ ，这里 $M$ 是平行四边形对角线的交点。

        D ─────────── C
        │ \         / │
        │   \  M  /   │
        │     \/      │
        │     /\      │
        │   /    \    │
        │ /        \  │
        A ─────────── B
              a→

解：

第一步：找到关键向量关系。

由于 $M$ 是对角线交点，也是两条对角线的中点，因此：

A M = MC, BM = M D

第二步：求 $A C$ （对角线）。

由平行四边形法则：

A C = A B + A D = a + b

第三步：求 $A M$ 。

因为 $M$ 是 $A C$ 的中点：

A M = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (a + b)

第四步：求 $M A$ 。

M A = - A M = - \frac{1}{2} (a + b)

第五步：求 $MC$ 。

MC = A M = \frac{1}{2} (a + b)

答案：

M A = - \frac{1}{2} (a + b), MC = \frac{1}{2} (a + b)

验证： $M A + MC = - \frac{1}{2} (a + b) + \frac{1}{2} (a + b) = 0$ ，符合 $M$ 是中点的性质（ $M A$ 与 $MC$ 互为负向量）。 $✓$

例题 2：用向量方法证明平行四边形

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形。

        D ─────────── C
          \         /
           \   M  /
            \    /
             \  /
              A ─ B

证明：

第一步：设四边形 $A BC D$ 的对角线交点为 $M$ 。

由条件”对角线互相平分”可知：

A M = MC, BM = M D

第二步：考察边向量 $A D$ 。

利用向量加法的三角形法则：

A D = A M + M D

第三步：代入中点条件。

由 $A M = MC$ 且 $M D = BM$ ：

A D = A M + M D = MC + BM = BM + MC (交换律) = BC

第四步：得出结论。

由 $A D = BC$ 可知 $A D$ 与 $BC$ 平行且相等。

同理可证 $A B = D C$ 。

因此四边形 $A BC D$ 是平行四边形。 $■$

思路回顾：关键技巧是”连接中点 → 利用中点条件替换 → 利用向量加法合并”，本质上是用向量语言翻译”对角线互相平分”这一几何条件。

七、本节小结

知识点	关键内容
向量的模	$∥ a ∥$ ，非负实数
零向量	长度为0，无方向（或任意方向）
单位向量	$a^{0} = \frac{a}{∥ a ∥}$
自由向量	平移不变，只关心大小和方向
加法	三角形法则、平行四边形法则、多边形法则
减法	$a - b = a + (- b)$
数乘	$∥ k a ∥ = ∥ k ∥ \cdot ∥ a ∥$ ， $k > 0$ 同向， $k < 0$ 反向
共线条件	$k_{1} a + k_{2} b = 0$ 且 $k_{1}, k_{2}$ 不全为零
共面条件	$k_{1} a + k_{2} b + k_{3} c = 0$ 且 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 不全为零

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