§7.1 向量及向量的运算

第七章 空间解析几何与向量代数

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一、向量的概念

1.1 向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。

• 表示方法：在坐标系中用有向线段表示向量
  • 有向线段的长度表示向量的大小
  • 有向线段的方向表示向量的方向

$$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\cdots \text{或}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},\cdots$$

• 起点 $A$，终点 $B$：向量记为 $\overrightarrow{AB}$ 或 $\vec{a}$

1.2 向量的模

向量的模即向量的大小（长度），记为 $|\vec{a}|$，$|\overrightarrow{AB}|$。

$$|\vec{a}|\ge 0,|\vec{a}|=0⟺\vec{a}=\vec{0}$$

1.3 特殊向量

（1）相等向量（自由向量）

若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的大小相等，且方向相同，则称两向量相等，记为 $\vec{a}=\vec{b}$。

这样的向量称为自由向量——一个自由向量经平行移动后与原向量相等。

例：平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

（2）负向量

若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的大小相等，方向相反，则称 $\vec{b}$ 为 $\vec{a}$ 的负向量，记为 $\vec{b}=-\vec{a}$（或 $\vec{a}=-\vec{b}$）。

例：平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$

（3）零向量

长度为零的向量称为零向量，记为 $\vec{0}$。

• 零向量无一定方向，也可看成是任意方向的向量
• $|\vec{0}|=0$

（4）单位向量

长度为 1（模为 1）的向量称为单位向量。

注意：单位向量不唯一，任何方向的单位向量都存在。

向量的单位化：设 $\vec{a}\ne \vec{0}$，则与 $\vec{a}$ 同方向的单位向量为：

$${\vec{a}}^0=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

从而有：

$$\vec{a}=|\vec{a}|\cdot {\vec{a}}^0$$

重要推论：任一非零向量除以它的模即为该向量的单位向量；任一非零向量等于它的模乘以其单位向量。

推论：若向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 同向，且 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，则 $\vec{a}=\vec{b}$。

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二、向量的线性运算

2.1 向量的加法

三角形法则

设有两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，任取一点 $A$，作 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，再以 $B$ 为起点作 $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，连接 $AC$，则向量 $\overrightarrow{AC}$ 称为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和：

$$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$

口诀：首尾相接，从起点指向终点。

封闭多边形法则

设有向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$，将它们首尾相连，则从 $\vec{a}$ 的起点到 $\vec{d}$ 的终点的向量即为：

$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$$

坐标系可以是二维或三维。

2.2 向量的减法

两个向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的差规定为：

$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$$

几何意义：从 $\vec{b}$ 的终点向 $\vec{a}$ 的终点所引向量即为 $\vec{a}-\vec{b}$。

负向量：设 $\vec{a}$ 为一向量，与 $\vec{a}$ 的模相等而方向相反的向量称为 $\vec{a}$ 的负向量，记作 $-\vec{a}$。

2.3 向量加法的运算规律

规律	表达式	说明
(1) 互逆性	若 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$，则 $\vec{b}=-\vec{a}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$	和为 $\vec{0}$ 的两个向量互为负向量
(2) 零向量	$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$	零向量是加法单位元
(3) 交换律	$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
(4) 结合律	$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$
(5) 消去律	若 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$，则 $\vec{b}=\vec{c}$

其中 (5) 的几何含义：$\vec{b}$ 的起点与 $\vec{a}$ 的终点重合，$\vec{b}$ 的终点与 $\vec{a}$ 的起点重合 → 构成封闭回路 → $\vec{b}=\vec{c}$

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三、数乘运算

3.1 定义

实数 $k$ 与向量 $\vec{a}$ 相乘称为数乘运算，结果仍是一个向量，记为 $k\vec{a}$。

• 模：$|k\vec{a}|=|k|\cdot |\vec{a}|$
• 方向：
  • $k>0$：与 $\vec{a}$ 同向
  • $k<0$：与 $\vec{a}$ 反向

向量的加法、减法与数乘运算统称为向量的线性运算。

3.2 数乘运算的运算规律

规律	表达式
(1) 结合律	$k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}$
(2) 分配律	$(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$
(3) 零因子律	若 $k\vec{a}=\vec{0}$，则 $k=0$ 或 $\vec{a}=\vec{0}$

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四、向量的夹角与位置关系

4.1 向量的夹角

设有两个非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，任取空间一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，规定不超过 $\pi$ 的 $\angle AOB$ 称为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作：

$$(\widehat{\vec{a},\vec{b}})\text{或}(\widehat{\vec{b},\vec{a}})$$

• $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=0$：$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向
• $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\pi$：$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向
• $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=0$ 或 $\pi$：$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行（共线），记作 $\vec{a}\parallel \vec{b}$
• $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\frac{\pi }{2}$：$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，记作 $\vec{a}\perp \vec{b}$

注：零向量与任意向量的关系比较特殊——零向量既可以认为与任意向量平行，也可以认为与任意向量垂直。

4.2 向量共面

定义：$k$（$k\ge 3$）个向量与同一个平面平行，则称这些向量共面。

从几何上看：把它们的起点固定在同一点时，$k$ 个终点和公共起点在同一个平面上。

常用判别法：三个向量与同一非零向量垂直 $⟹$ 三向量共面。

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五、共线与共面定理

5.1 共线定理

定理 1：设 $\vec{a}\ne \vec{0}$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线的充要条件是存在唯一的数 $k$，使得 $\vec{b}=k\vec{a}$。

这是向量坐标表示的理论依据。

定理 1 的等价表述（推论）：向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线的充要条件是存在不全为零的数 $k_1,k_2$，使得 $k_1\vec{a}+k_2\vec{b}=\vec{0}$。

证明：

必要性：当 $\vec{a}=\vec{0}$ 或 $\vec{b}=\vec{0}$ 时，结论显然成立。

当 $\vec{a},\vec{b}$ 均不为零时，由 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，存在实数 $l$ 使 $\vec{a}=l\vec{b}$，移项得 $\vec{a}-l\vec{b}=\vec{0}$。取 $k_1=1$，$k_2=-l$，即存在不全为零的 $k_1,k_2$ 使 $k_1\vec{a}+k_2\vec{b}=\vec{0}$。

充分性：若存在不全为零的数 $k_1,k_2$ 使 $k_1\vec{a}+k_2\vec{b}=\vec{0}$。不妨设 $k_2\ne 0$，则：

$$\vec{b}=-\frac{k_1}{k_2}\vec{a}$$

由定理 1 知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线。$\square$

5.2 共面定理

定理 2：若向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足 $\vec{c}=k_1\vec{a}+k_2\vec{b}$（即 $\vec{c}$ 可由 $\vec{a},\vec{b}$ 线性表出），则 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面。

几何理解：

• 以 $O$ 为起点，作 $\overrightarrow{O{M}_1}=k_1\vec{a}$，$\overrightarrow{O{M}_2}=k_2\vec{b}$
• 以 $O{M}_1$ 和 $O{M}_2$ 为邻边作平行四边形，对角线即为 $\vec{c}$
• $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 在同一平面内

推论：三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面的充要条件是存在不全为零的数 $k_1,k_2,k_3$，使得：

$$k_1\vec{a}+k_2\vec{b}+k_3\vec{c}=\vec{0}$$

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六、例题精讲

例题 1：平行四边形对角线的中点表示

在平行四边形 $ABCD$ 中，设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$。试用 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{MA}$ 和 $\overrightarrow{MC}$，这里 $M$ 是平行四边形对角线的交点。

        D ─────────── C
        │ \         / │
        │   \  M  /   │
        │     \/      │
        │     /\      │
        │   /    \    │
        │ /        \  │
        A ─────────── B
              a→

解：

第一步：找到关键向量关系。

由于 $M$ 是对角线交点，也是两条对角线的中点，因此：

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC},\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MD}$$

第二步：求 $\overrightarrow{AC}$（对角线）。

由平行四边形法则：

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$$

第三步：求 $\overrightarrow{AM}$。

因为 $M$ 是 $AC$ 的中点：

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$$

第四步：求 $\overrightarrow{MA}$。

$$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$$

第五步：求 $\overrightarrow{MC}$。

$$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$$

答案：

$$\boxed{\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}),\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})}$$

验证：$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=\vec{0}$，符合 $M$ 是中点的性质（$\overrightarrow{MA}$ 与 $\overrightarrow{MC}$ 互为负向量）。$✓$

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例题 2：用向量方法证明平行四边形

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形。

        D ─────────── C
          \         /
           \   M  /
            \    /
             \  /
              A ─ B

证明：

第一步：设四边形 $ABCD$ 的对角线交点为 $M$。

由条件”对角线互相平分”可知：

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC},\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MD}$$

第二步：考察边向量 $\overrightarrow{AD}$。

利用向量加法的三角形法则：

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD}$$

第三步：代入中点条件。

由 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}$ 且 $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BM}$：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AD}& =\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD}\\ & =\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BM}\\ & =\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}\text{(交换律)}\\ & =\overrightarrow{BC}\end{array}$$

第四步：得出结论。

由 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ 可知 $AD$ 与 $BC$ 平行且相等。

同理可证 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。

因此四边形 $ABCD$ 是平行四边形。$■$

思路回顾：关键技巧是”连接中点 → 利用中点条件替换 → 利用向量加法合并”，本质上是用向量语言翻译”对角线互相平分”这一几何条件。

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七、本节小结

知识点	关键内容
向量的模	$\Vert \vec{a}\Vert$，非负实数
零向量	长度为0，无方向（或任意方向）
单位向量	${\vec{a}}^0=\frac{\vec{a}}{\Vert \vec{a}\Vert }$
自由向量	平移不变，只关心大小和方向
加法	三角形法则、平行四边形法则、多边形法则
减法	$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$
数乘	$\Vert k\vec{a}\Vert =\Vert k\Vert \cdot \Vert \vec{a}\Vert$，$k>0$同向，$k<0$反向
共线条件	$k_1\vec{a}+k_2\vec{b}=\vec{0}$ 且 $k_1,k_2$ 不全为零
共面条件	$k_1\vec{a}+k_2\vec{b}+k_3\vec{c}=\vec{0}$ 且 $k_1,k_2,k_3$ 不全为零