§7.1 向量及向量的运算（续）— 数量积、向量积与混合积

§7.1 向量及向量的运算（续）

数量积 · 向量积 · 混合积

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§7.1.4 数量积（内积、点积）

一、定义

两向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积是一个数，等于两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，记为 $\vec{a}\cdot \vec{b}$：

$$\boxed{\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta }$$

其中 $\theta =(\widehat{\vec{a},\vec{b}})$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

注：数量积的结果是数（标量），不是向量。

二、运算规律

规律	表达式	说明
(1) 交换律	$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$	对称
(2) 分配律	$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$
(3) 数乘结合	$(k\vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$	$k$ 为实数
(4) 自身点积	$\vec{a} \cdot \vec{a} =	\vec{a}

⚠️ 重要：数量积不满足结合律！$(\vec{a}\cdot \vec{b})\cdot \vec{c}$ 无意义（$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 是数，不能与向量 $\vec{c}$ 做数量积）。

三、夹角公式

设 $\vec{a},\vec{b}$ 是两个非零向量，由定义得：

$$\boxed{\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}$$

四、投影

                     C
                    /|
                   / |
                  /  |
          b→    /    |
              /      |
            /        |
          /          |
        O ────────── B
        |     a→    |
        A           

设 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，过 $A$ 作 $AC\perp OB$ 于 $C$，则 $\overrightarrow{OC}$ 称为 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的分向量。

由于 $\overrightarrow{OC}$ 与 $\vec{b}$ 共线，存在 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{OC}=\lambda {\vec{b}}^0$，$\lambda$ 称为 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影：

$$\boxed{{\mathrm{Prj}}_{\vec{b}}\vec{a}=|\vec{a}|\cos \theta }$$

由数量积定义：

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =|\vec{b}|\cdot {\mathrm{Prj}}_{\vec{b}}\vec{a}$$

故：

$$\boxed{{\mathrm{Prj}}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=\vec{a}\cdot {\vec{b}}^0}$$

同理，$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影：

$${\mathrm{Prj}}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}=\vec{b}\cdot {\vec{a}}^0$$

注：(1) 分向量 $\overrightarrow{OC}$ 是向量；(2) 投影是一个实数。

五、垂直条件

性质：两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直的充要条件是：

$$\boxed{\vec{a}\cdot \vec{b}=0}$$

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§7.1.5 向量积（外积、叉积）

一、定义

两向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的向量积为一个向量，记为 $\vec{a}\times \vec{b}$：

• 模：$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$
• 方向：垂直于 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所决定的平面，指向按右手规则确定

右手规则：四指从 $\vec{a}$ 转向 $\vec{b}$（沿较小角度），拇指指向即为 $\vec{a}\times \vec{b}$ 的方向。

用单位向量 $\vec{u}$（与 $\vec{a}\times \vec{b}$ 同向）表示为：

$$\boxed{\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta \cdot \vec{u}}$$

二、几何意义

$|\vec{a}\times \vec{b}|$ 等于以 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为邻边所构成的平行四边形的面积：

$$S_{\text{平行四边形}}=|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$

三、重要性质

(1) 平行条件：两向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行的充要条件是：

$$\boxed{\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}}$$

(2) $\vec{a}\times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 均垂直：

• $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{a}=0$
• $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{b}=0$

(3) $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$，但 $\vec{a}\times \vec{a}=\vec{0}$

判断口诀：数量积为零 ⇔ 垂直；向量积为零 ⇔ 平行。

四、运算规律

规律	表达式	说明
(1) 反交换律	$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$	交换顺序方向变反
(2) 分配律	$\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$
(3) 数乘结合	$(\lambda \vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times (\lambda \vec{b})=\lambda (\vec{a}\times \vec{b})$
(4) 右分配律	$(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$

⚠️ 向量积不满足交换律和结合律：一般地 $(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\ne \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$

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§7.1.6 混合积运算

一、定义

设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 是三个向量，先做 $\vec{a},\vec{b}$ 的向量积 $\vec{a}\times \vec{b}$，再把所得向量与 $\vec{c}$ 做数量积 $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}$，这样所得的数称为三向量的混合积：

$$\boxed{[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}}$$

二、几何意义

混合积的绝对值等于以 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为棱的平行六面体的体积：

$$\boxed{V_{\text{平行六面体}}=|[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]|}$$

推导：设 $\vec{a}\times \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $\phi$，则：

$$\begin{array}{rl}|[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]|& =|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|\\ & =|\vec{a}\times \vec{b}|\cdot |\vec{c}|\cdot |\cos \phi |\\ & =(\text{底面面积})\times (\text{高})\end{array}$$

三、共面条件

定理 3：三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面的充要条件是：

$$\boxed{[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0}$$

证明：

必要性：若 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面，则 $\vec{a}\times \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直（$\vec{a}\times \vec{b}$ 垂直于 $\vec{a},\vec{b}$ 所张平面，而 $\vec{c}$ 也在该平面内），故：

$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=|\vec{a}\times \vec{b}|\cdot |\vec{c}|\cdot \cos \frac{\pi }{2}=0$$

充分性：若 $[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=|\vec{a}\times \vec{b}|\cdot |\vec{c}|\cdot \cos \phi =0$，分情况讨论：

• 若 $|\vec{a}\times \vec{b}|=0$，则 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，故 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面；
• 若 $|\vec{c}|=0$（零向量），则 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面；
• 若 $\cos \phi =0$，则 $\vec{a}\times \vec{b}\perp \vec{c}$，而 $\vec{a}\times \vec{b}$ 已垂直于 $\vec{a},\vec{b}$ 所张平面，故 $\vec{c}$ 必在该平面内，即 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面。

终上所述，$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$ 时 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面。$\square$

四、混合积的性质

性质	表达式
(1) 轮转性	$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]=[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$
(2) 对换变号	$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=-[\vec{b}\vec{a}\vec{c}]=-[\vec{c}\vec{b}\vec{a}]=-[\vec{a}\vec{c}\vec{b}]$
(3) 数乘因子	$[k\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=[\vec{a}k\vec{b}\vec{c}]=[\vec{a}\vec{b}k\vec{c}]=k[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$
(4) 分配律	$[{\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2\vec{b}\vec{c}]=[{\vec{a}}_1\vec{b}\vec{c}]+[{\vec{a}}_2\vec{b}\vec{c}]$
(5) 含相同向量	$[\vec{a}\vec{b}\vec{a}]=[\vec{a}\vec{b}\vec{b}]=0$

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例题精讲

例题 3：三点共线的向量证明

设有空间三点 $A,B,C$ 及点 $O$，且 $\overrightarrow{OA}={\vec{r}}_1$，$\overrightarrow{OB}={\vec{r}}_2$，$\overrightarrow{OC}={\vec{r}}_3$。若 ${\vec{r}}_1,{\vec{r}}_2,{\vec{r}}_3$ 满足等式 ${\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_2+{\vec{r}}_2\times {\vec{r}}_3+{\vec{r}}_3\times {\vec{r}}_1=\vec{0}$，试证 $A,B,C$ 三点共线。

证明：

第一步：写出 $A,B,C$ 之间的向量。

$$\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1,\overrightarrow{AC}={\vec{r}}_3-{\vec{r}}_1$$

第二步：计算 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}& =({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)\times ({\vec{r}}_3-{\vec{r}}_1)\\ & ={\vec{r}}_2\times {\vec{r}}_3-{\vec{r}}_2\times {\vec{r}}_1-{\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_3+{\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_1\end{array}$$

第三步：利用向量积的性质简化。

• ${\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_1=\vec{0}$（自身叉积为零）
• $-{\vec{r}}_2\times {\vec{r}}_1={\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_2$（反交换律）
• $-{\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_3={\vec{r}}_3\times {\vec{r}}_1$（反交换律）

代入：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}& ={\vec{r}}_2\times {\vec{r}}_3+{\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_2+{\vec{r}}_3\times {\vec{r}}_1\\ & ={\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_2+{\vec{r}}_2\times {\vec{r}}_3+{\vec{r}}_3\times {\vec{r}}_1\end{array}$$

第四步：利用已知条件。

由已知 ${\vec{r}}_1\times {\vec{r}}_2+{\vec{r}}_2\times {\vec{r}}_3+{\vec{r}}_3\times {\vec{r}}_1=\vec{0}$，故：

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\vec{0}$$

第五步：得出结论。

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\vec{0}$ 说明 $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$，即 $A,B,C$ 三点共线。$■$

关键技巧：展开叉积后利用反交换律重新排列项，凑出已知条件的形式。

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例题 4：向量夹角的证明

设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 均为非零向量，且 $\vec{c}=\vec{b}\times \vec{a}-\vec{b}$（$\vec{a}\times \vec{b}\ne \vec{0}$）。试证： (1) $\vec{a}\perp (\vec{b}+\vec{c})$ (2) $\vec{b},\vec{c}$ 的夹角 $\theta$ 满足 $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$

证明：

(1) 由 $\vec{c}=\vec{b}\times \vec{a}-\vec{b}$，移项得：

$$\vec{b}+\vec{c}=\vec{b}\times \vec{a}$$

两边与 $\vec{a}$ 做数量积：

$$(\vec{b}+\vec{c})\cdot \vec{a}=(\vec{b}\times \vec{a})\cdot \vec{a}$$

而 $(\vec{b}\times \vec{a})\cdot \vec{a}=0$（叉积结果垂直于原来的每个向量），故：

$$(\vec{b}+\vec{c})\cdot \vec{a}=0$$

即 $\vec{a}\perp (\vec{b}+\vec{c})$。$✓$

(2) 计算 $\vec{b}\cdot \vec{c}$：

$$\begin{array}{rl}\vec{b}\cdot \vec{c}& =\vec{b}\cdot (\vec{b}\times \vec{a}-\vec{b})\\ & =\vec{b}\cdot (\vec{b}\times \vec{a})-\vec{b}\cdot \vec{b}\\ & =0-|\vec{b}{|}^2\\ & =-|\vec{b}{|}^2<0\end{array}$$

同时计算 $\vec{b}\times \vec{c}$：

$$\begin{array}{rl}\vec{b}\times \vec{c}& =\vec{b}\times (\vec{b}\times \vec{a}-\vec{b})\\ & =\vec{b}\times (\vec{b}\times \vec{a})-\vec{b}\times \vec{b}\\ & =\vec{b}\times (\vec{b}\times \vec{a})\ne \vec{0}(\text{由已知 }\vec{a}\times \vec{b}\ne \vec{0})\end{array}$$

由夹角公式：

$$\cos \theta =\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|}=\frac{-|\vec{b}{|}^2}{|\vec{b}||\vec{c}|}=-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{c}|}<0$$

$\cos \theta <0$ 说明 $\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ]$；又因 $\vec{b}\times \vec{c}\ne \vec{0}$（即 $\vec{b},\vec{c}$ 不共线），故 $\theta \ne \pi$。

因此 $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$。$✓$

思路回顾：(1) 的关键是移项后利用”叉积垂直于原向量”；(2) 的关键是计算 $\vec{b}\cdot \vec{c}$ 得到负值，且排除 $\theta =\pi$ 的情况。

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例题 5：极限与向量运算

设 $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量，且两向量的夹角为 $\frac{\pi }{4}$，求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|\vec{a}+x\vec{b}|-|\vec{a}|}{x}$。

解：

第一步：识别形式。这是一个含向量模的导数极限，可以转化为求导问题。

设 $f(x)=|\vec{a}+x\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}+x\vec{b})\cdot (\vec{a}+x\vec{b})}$，则所求极限为 $f^{\prime }(0)$。

第二步：展开模的平方。

$$\begin{array}{rl}|\vec{a}+x\vec{b}{|}^2& =(\vec{a}+x\vec{b})\cdot (\vec{a}+x\vec{b})\\ & =\vec{a}\cdot \vec{a}+2x(\vec{a}\cdot \vec{b})+x^2(\vec{b}\cdot \vec{b})\\ & =1+2x\cos \frac{\pi }{4}+x^2\\ & =1+\sqrt{2}x+x^2\end{array}$$

第三步：计算极限。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|\vec{a}+x\vec{b}|-|\vec{a}|}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\sqrt{2}x+x^2}-1}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+\sqrt{2}x+x^2)-1}{x\left(\sqrt{1+\sqrt{2}x+x^2}+1\right)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2}x+x^2}{x\left(\sqrt{1+\sqrt{2}x+x^2}+1\right)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{1+\sqrt{2}x+x^2}+1}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$

答案：

$$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

技巧：向量模的极限常转化为内积展开，含根式的 $\frac{0}{0}$ 型用有理化分子。

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例题 6：由叉积模反求点积

设 $|\vec{a}|=3$，$|\vec{b}|=1$，且 $|\vec{a}\times \vec{b}|=2$，求 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。

解：

第一步：利用叉积的模与夹角的关系。

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$

代入已知：

$$2=3\times 1\times \sin \theta ⟹\sin \theta =\frac{2}{3}$$

第二步：由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求 $\cos \theta$。

$$\cos \theta =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\pm \sqrt{1-\frac{4}{9}}=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$

第三步：计算数量积。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =3\times 1\times \left(\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\pm \sqrt{5}$$

答案：

$$\boxed{\vec{a}\cdot \vec{b}=\pm \sqrt{5}}$$

注：由叉积模只能确定 $\sin \theta$ 的绝对值，无法确定 $\theta$ 的象限，故 $\cos \theta$ 有正负两种可能。

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补充题：教材习题 14

设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为非零向量，且满足 $\vec{a}=\vec{b}\times \vec{c}$，$\vec{b}=\vec{c}\times \vec{a}$，$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$。试证：$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$。

证明思路：由 $\vec{a}=\vec{b}\times \vec{c}$ 知 $\vec{a}\perp \vec{b}$，$\vec{a}\perp \vec{c}$，且 $|\vec{a}|=|\vec{b}||\vec{c}|\sin {\theta }_{bc}$。利用循环关系可证 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 两两垂直（$\theta =\pi /2$），且模相等。进一步由 $|\vec{a}|=|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|$（因 $\sin \theta =1$）结合对称性可推得 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$。（完整证明留作练习）

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补充题：教材习题 11

设有平行四边形 $ABCD$，且 $\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$，求垂直于 $AD$ 边的高向量。

思路：$AD$ 边上的高向量即 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的垂直方向上的分向量。先求 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影分向量，再从 $\vec{b}$ 中减去即可。

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思考题

设 $\vec{a},\vec{b}$ 是两个非零向量且不共线，则它们夹角平分线上的单位向量为：

$\vec{u}=\frac{{\vec{a}}^0+{\vec{b}}^0}{|{\vec{a}}^0+{\vec{b}}^0|}=\frac{|\vec{b}|\vec{a}+|\vec{a}|\vec{b}}{||\vec{b}|\vec{a}+|\vec{a}|\vec{b}|}$

理由：${\vec{a}}^0$ 和 ${\vec{b}}^0$ 是两个单位向量，以它们为邻边构成一个菱形，其对角线正好是两边的角平分线方向。

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本节公式速查

运算	定义	结果类型	几何意义
数量积	$\vec{a}\cdot \vec{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \cos \theta$	数	投影关系
向量积	$\Vert \vec{a}\times \vec{b}\Vert =\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \sin \theta$	向量	$\vec{a},\vec{b}$ 张成的平行四边形面积
混合积	$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}$	数	$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 张成的平行六面体体积

判断条件	数量积	向量积	混合积
垂直	$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$	—	—
平行	—	$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$	—
共面	—	—	$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$