5.1 特征值与特征向量

来源：2026-05-22 课堂录音 → 汉王电纸本语音转文字 整理说明：已纠正语音识别错误，剔除课堂闲聊，保留核心知识体系

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一、定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在非零向量 $x\ne 0$ 和数 $\lambda$，使得：

$Ax=\lambda x$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$x$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

关键点

• 特征值只对方阵而言
• 特征向量必须是非零向量
• 属于同一特征值的特征向量的任意非零线性组合，仍是该特征值的特征向量

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二、几何意义

线性变换对应于一个矩阵。对特征向量方向施加线性变换，实际上只做了伸缩变换（方向不变或反向）：

• $\lambda >0$：方向不变（伸缩）
• $\lambda <0$：反向（伸缩+旋转 $180°$）

普通的线性变换还包括旋转、投影等，但对特征向量方向，变换退化为纯粹的伸缩。

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三、核心性质

性质一：同一特征值的线性组合

若 $x_1,x_2,\dots ,x_t$ 是 $A$ 的属于同一特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量，则它们的任意非零线性组合仍是属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

$A(k_1{x}_1+k_2{x}_2+\cdots +k_t{x}_t)={\lambda }_0(k_1{x}_1+k_2{x}_2+\cdots +k_t{x}_t)$

其中 $k_i$ 不全为零。

性质二：特征值的幂运算

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则：

条件	结论
$m$ 为正整数	${\lambda }^m$ 是 $A^m$ 的特征值
$A$ 可逆	${\lambda }^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值
$A$ 可逆且 $m$ 为整数	${\lambda }^m$ 是 $A^m$ 的特征值

推论：可逆矩阵的特征值一定不为零。

证明：反证法。若 $\lambda =0$，则 $Ax=0\cdot x=0$，齐次方程有非零解 ⇒ $|A|=0$ ⇒ $A$ 不可逆，矛盾。

性质三（重要）：多项式特征值

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则对任意多项式 $f$，$f(\lambda )$ 是 $f(A)$ 的特征值。

$f(A)x=f(\lambda )x$

且 $x$ 仍是 $f(A)$ 的属于 $f(\lambda )$ 的特征向量。

例1：$f(A)=3A^2+A-\frac{1}{2}E$，若 $\lambda =2$ 是 $A$ 的特征值，则：

$f(2)=3\times 4+2-\frac{1}{2}=\frac{27}{2}$

是 $f(A)$ 的特征值。

例2：若 $A^2=A$（幂等矩阵），$A$ 的特征值只能为 $0$ 或 $1$。

解：取 $f(A)=A^2-A=0$（零矩阵），其所有特征值为 $0$。由性质四，$f(\lambda )={\lambda }^2-\lambda =0$，故 $\lambda =0$ 或 $\lambda =1$。

性质四（加强版，$★$ 考试重点）

若 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的全部特征值，则：

$f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\dots ,f({\lambda }_n)$

是 $f(A)$ 的全部特征值。

反之：若 $t$ 是 $f(A)$ 的特征值，则存在 $A$ 的某个特征值 ${\lambda }_k$，使得 $f({\lambda }_k)=t$。

性质五：特征向量与齐次方程组

$x_0$ 是 $A$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量 $⟺$ $x_0$ 是齐次线性方程组 $({\lambda }_{0}E-A)x=0$ 的非零解。

性质六：特征方程

${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值 $⟺$ $|{\lambda }_{0}E-A|=0$

性质七：单一归属

一个特征向量只能属于一个特征值。属于不同特征值的特征向量之和（若非零），不是任何特征值的特征向量。

性质八：转置

$A$ 与 $A^T$ 具有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

证明：$|\lambda E-A|=|(\lambda E-A{)}^T|=|\lambda E-A^T|$

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四、求特征值与特征向量的步骤 $★$

核心概念

名称	定义
特征矩阵	$\lambda E-A$
特征多项式	$f(\lambda) =
特征方程	$

计算步骤

第一步：计算特征多项式 $|\lambda E-A|$，解特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 得全部特征值。

$n$ 阶方阵恰好有 $n$ 个特征值（$k$ 重特征值算 $k$ 个）。

第二步：对每个互异特征值 ${\lambda }_j$，求解齐次线性方程组 $({\lambda }_{j}E-A)x=0$ 的基础解系，全部非零解即为 ${\lambda }_j$ 的全部特征向量。

$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_t{\xi }_t(k_1,k_2,\dots ,k_t\text{ 不全为零})$

典型例题

求 $A$ 的全部特征值和特征向量（3阶方阵）。

设特征方程为 $|\lambda E-A|=0$，展开得：$(\lambda +1{)}^2(\lambda -6)=0$

特征值：${\lambda }_1={\lambda }_2=-1$（二重），${\lambda }_3=6$

对 $\lambda =-1$：解 $(-E-A)x=0$

行变换得基础解系（两个线性无关解向量），全部特征向量：

$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2(k_1,k_2\text{ 不全为零})$

对 $\lambda =6$：解 $(6E-A)x=0$

行变换得一个基础解向量，全部特征向量：

$x=k\xi (k\ne 0)$

特殊题型

若 $n$ 阶方阵 $A$ 每行元素之和等于常数 $c$，则 $c$ 是 $A$ 的一个特征值。

对应特征向量：$(k,k,\dots ,k{)}^T(k\ne 0)$

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五、与后续章节的关联

特征值与特征向量是线性代数后半程的核心：

后续内容	依赖本讲
方阵对角化（5.2）	需要全部特征值和特征向量
实对称矩阵（5.3）	正交对角化
二次型标准化（第六章）	对称矩阵特征值分解

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六、工程应用

• 主成分分析（PCA）：数据降维，协方差矩阵特征分解
• 矩阵对角化：简化高次幂计算
• 微分方程组：线性系统的模态分析
• 图像压缩：奇异值分解（SVD）

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核心金句

特征值与特征向量是理解线性变换本质的钥匙。

求特征值和特征向量是本章最重要的操作——不会这个方法，对角化和二次型标准化无从下手。

把 $k$ 重根算成 $k$ 个根，$n$ 阶方阵恰好有 $n$ 个特征值。