§4.7 线性方程组有解的条件及解的结构

主要内容

第一部分：齐次线性方程组

一、有非零解的条件
二、解的性质与解空间
三、基础解系

第二部分：非齐次线性方程组

四、有解的条件
五、解的结构

一、有非零解的条件（齐次）

1.1 齐次线性方程组的形式

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0 ⋮ a_{s 1} x_{1} + a_{s 2} x_{2} + \dots + a_{s n} x_{n} = 0

矩阵形式： $A X = 0$
向量形式： $x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} = 0$

1.2 核心定理

定理 1：设 $A$ 为 $s \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A X = 0$ 有非零解： $⟺ r (A) < n$ $⟺ 向量组 α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} 线性相关$

特别地，当 $s = n$ （方阵）时： $∣ A ∣ = 0 ⟺ A X = 0$ 有非零解。

反之： $r (A) = n ⟺ A X = 0$ 仅有零解。

二、解的性质与解空间（齐次）

性质 1：若 $X_{1}, X_{2}$ 是 $A X = 0$ 的解，则 $x = k_{1} X_{1} + k_{2} X_{2}$ 也是 $A X = 0$ 的解。

推论： $A X = 0$ 的解 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{t}$ 的任意线性组合 $k_{1} X_{1} + k_{2} X_{2} + \dots + k_{t} X_{t}$ 也是 $A X = 0$ 的解。

关键理解：齐次线性方程组的解集合对加法和数乘封闭，构成一个线性空间——称为 $A X = 0$ 的解空间（space of solutions）。这正是 §4.5 中定义的 $Nul A$ 。

三、基础解系（齐次）

3.1 定义

基础解系：齐次线性方程组 $A X = 0$ 的解空间的一组基称为该方程组的一个基础解系。

即若 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{t}$ 是基础解系，则：

每个 $X_{i}$ 都是 $A X = 0$ 的解
$X_{1}, \dots, X_{t}$ 线性无关
$A X = 0$ 的任意解都可由它们线性表示

通解： $X = k_{1} X_{1} + k_{2} X_{2} + \dots + k_{t} X_{t}$ ，其中 $k_{1}, \dots, k_{t}$ 为任意常数。

3.2 基础解系的存在性

定理：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $r (A) = r < n$ ，则 $A X = 0$ 存在基础解系，且基础解系含 $n - r$ 个解向量。

3.3 求基础解系的两种策略

策略	做法
法 1：先求通解，再得基	自由变量 → 参数化解 → 提出参数 → 得基向量
法 2：先求基，再得通解	逐个令自由变量取 $(1, 0, \dots), (0, 1, \dots)$ → 得基 → 写通解

两者本质相同，只是视角不同。法 2 更规范，常用于考试答题。

例题 1（基础解系——标准题型）★

例 1：求齐次方程组的通解： $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} + x_{4} = 0 2 x_{1} + 4 x_{2} + 8 x_{3} + 2 x_{4} = 0 3 x_{1} + 6 x_{2} + 2 x_{3} = 0$

解：

Step 1：写出系数矩阵并化行最简形： $A = 123246482120 初等行变换 100200010 - \frac{1}{5} \frac{3}{10} 0$

Step 2：写出同解方程组： ${x_{1} + 2 x_{2} - \frac{1}{5} x_{4} = 0 x_{3} + \frac{3}{10} x_{4} = 0 \Rightarrow {x_{1} = - 2 x_{2} + \frac{1}{5} x_{4} x_{3} = - \frac{3}{10} x_{4}$

自由变量： $x_{2}, x_{4}$ 。 $r (A) = 2$ ， $n = 4$ ，基础解系含 $n - r = 2$ 个解向量。

Step 3（法 2）：令自由变量分别取 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$ ：

令 $(x_{2} x_{4}) = (10)$ → $ξ_{1} = (- 2, 1, 0, 0)^{T}$
令 $(x_{2} x_{4}) = (01)$ → $ξ_{2} = (\frac{1}{5}, 0, - \frac{3}{10}, 1)^{T}$

通解： $X = k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}$ （ $k_{1}, k_{2} \in R$ ）。

思路：

化行最简形 → 区分主元和自由变量

逐次令一个自由变量为 $1$ ，其余为 $0$ → 得到基解向量

基础解系 = 这些基解向量，通解 = 它们的线性组合

例题 2（仅零解的情形）

练习 1：求齐次方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0 3 x_{1} + 6 x_{2} + 10 x_{3} = 0 2 x_{1} + 5 x_{2} + 7 x_{3} = 0 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 0$ 的通解。

解： $A 初等行变换 100021003110 \to 100001000010$

$r (A) = 3 = n$ → 仅有零解 $X = (0, 0, 0)^{T}$ 。

例题 3（证明题：利用基础解系证秩不等式）★

例 2：设 $A$ 为 $s \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times m$ 矩阵， $A B = O$ 。试证： $r (B) \leq n - r (A)$ （即 $r (A) + r (B) \leq n$ ）。

证明思路： $n - r (A)$ 是 $A X = 0$ 基础解系所含向量的个数 → 转化为解空间问题。

证： $A B = O \Rightarrow A (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}) = (0, 0, \dots, 0) \Rightarrow A β_{j} = 0 (j = 1, 2, \dots, m)$

即 $B$ 的每个列向量 $β_{j}$ 都是齐次方程组 $A X = 0$ 的解向量。

若 $r (A) = n$ ，则 $A X = 0$ 只有零解， $B = O$ ， $r (B) = 0 = n - r (A)$ 。
若 $r (A) = r < n$ ，则 $A X = 0$ 有基础解系 $X_{1}, \dots, X_{n - r}$ ， $B$ 的每个列向量都可由基础解系线性表出 → $B$ 的列秩 $\leq n - r$ → $r (B) \leq n - r (A)$ 。

思路：这道题的关键在于把”矩阵乘积为零”翻译为”每个列向量是齐次方程的解”，再借助基础解系的维数 = $n - r (A)$ 来限制秩。

例题 4（伴随矩阵的秩——经典结论）

练习：设 $A$ 为 $n \geq 2$ 阶方阵，证明： $R (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ n, 1, 0, R (A) = n R (A) = n - 1 R (A) < n - 1$

（证法涉及 $A A^{*} = ∣ A ∣ E$ 和秩不等式，课上作为拓展练习）

四、有解的条件（非齐次）

4.1 非齐次线性方程组的形式

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{s 1} x_{1} + a_{s 2} x_{2} + \dots + a_{s n} x_{n} = b_{s}

矩阵形式： $A X = β$
向量形式： $x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} = β$
增广矩阵： $A = (α_{1} α_{2} \dots α_{n} ∣ β)$

4.2 有解条件（四个等价命题）

定理 1：非齐次线性方程组 $A X = β$ 有解： $⟺ β 可由 α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} 线性表出$ $⟺ 向量组 {α_{1}, \dots, α_{n}} 与 {α_{1}, \dots, α_{n}, β} 等价$ $⟺ r (α_{1}, \dots, α_{n}) = r (α_{1}, \dots, α_{n}, β)$ $⟺ R (A) = R (A)$

四个等价表述，层层递进——本质就是一个： $β$ 在系数矩阵列向量的张成空间中（ $β \in Col A$ ）。

五、解的结构（非齐次）

5.1 核心定理

定义：与非齐次方程组 $A X = β$ 系数矩阵相同的齐次方程组 $A X = 0$ 称为 $A X = β$ 的导出组（又称对应的齐次方程组）。

定理 2（解的情况判定 + 结构定理）：设 $A$ 为 $s \times n$ 矩阵：

条件	结论
$R (A) < R (A)$	无解
$R (A) = R (A) = n$	有唯一解
$R (A) = R (A) = r < n$	有无穷多解，且： $通解 = 特解 + 导出组的通解$

即： $X = η^{*} + k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}$

其中：

$η^{*}$ ： $A X = β$ 的一个特解
$ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}$ ：导出组 $A X = 0$ 的一个基础解系

5.2 证明（关键步骤）

为什么 “通解 = 特解 + 导出组通解”？

设 $w$ 是 $A X = β$ 的任意解， $p$ 是一个特解 → $A (w - p) = A w - A p = β - β = 0$ → $w - p$ 是导出组的解 → 存在 $k_{1}, \dots, k_{t}$ 使得 $w - p = k_{1} X_{1} + \dots + k_{t} X_{t}$ → $w = p + k_{1} X_{1} + \dots + k_{t} X_{t}$ 。
反过来，任意 $p + \sum k_{i} X_{i}$ 显然满足 $A X = β$ 。

几何理解：非齐次方程组的解空间 = 导出组解空间（过一个子空间）平移一个特解向量。

例题 5（非齐次方程组——标准求解）★

例 1：解非齐次方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} - x_{4} = - 1 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 3 3 x_{1} + 8 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 1 x_{1} - 9 x_{2} + 3 x_{3} + 7 x_{4} = 7$

解：

Step 1：写出增广矩阵并化行最简形：

$A = 1131 5 - 2 8 - 9 - 1 1 - 1 3 - 1 317 - 1 317$

$初等行变换 10000100 \frac{3}{7} - \frac{2}{7} 00 \frac{13}{7} - \frac{4}{7} 00 \frac{13}{7} - \frac{4}{7} 00$

$R (A) = R (A) = 2 < 4 = n$ → 有无穷多解。

Step 2：写出同解方程组，自由变量 $x_{3}, x_{4}$ ：

${x_{1} = \frac{13}{7} - \frac{3}{7} x_{3} - \frac{13}{7} x_{4} x_{2} = - \frac{4}{7} + \frac{2}{7} x_{3} + \frac{4}{7} x_{4}$

法 1（直接写通解）：令 $x_{3} = c_{1}, x_{4} = c_{2}$ ： $X = \frac{13}{7} - \frac{4}{7} 00 + c_{1} - \frac{3}{7} \frac{2}{7} 10 + c_{2} - \frac{13}{7} \frac{4}{7} 01$

法 2（特解 + 基础解系）：

特解（令 $x_{3} = x_{4} = 0$ ）： $η^{*} = (\frac{13}{7}, - \frac{4}{7}, 0, 0)^{T}$
导出组基础解系（令 $(x_{3} x_{4})$ 取 $(10), (01)$ ）： $ξ_{1} = (- \frac{3}{7}, \frac{2}{7}, 1, 0)^{T}$ ， $ξ_{2} = (- \frac{13}{7}, \frac{4}{7}, 0, 1)^{T}$
通解： $X = η^{*} + k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}$ （ $k_{1}, k_{2} \in R$ ）

思路：两种方法等价。关键步骤：行最简形 → 识别自由变量 → 构造通解结构 = 特解 + 导出组通解。

例题 6（含参数的线性方程组——分类讨论）★★ 考试热题

例 2：设有方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + a x_{2} + 2 x_{3} = 1 x_{1} + (2 a - 1) x_{2} + 3 x_{3} = 1 x_{1} + a x_{2} + (a + 3) x_{3} = b$ ，问 $a, b$ 为何值时，方程组有唯一解、无穷多解、无解？当有无穷多解时，求全部解。

解：

Step 1：对增广矩阵作初等行变换：

$A = 111 a 2 a - 1 a 23 a + 3 11 b r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} 100 a a - 1 0 21 a + 1 10 b - 1$

Step 2：分类讨论：

参数条件	$R (A)$	$R (A)$	$n$	结论
$a \neq = 1$ 且 $a \neq = - 1$	$3$	$3$	$3$	唯一解
$a = 1, b \neq = 1$	$2$	$3$	$3$	无解
$a = 1, b = 1$	$2$	$2$	$3$	无穷多解
$a = - 1, b \neq = 1$	$2$	$3$	$3$	无解
$a = - 1, b = 1$	$2$	$2$	$3$	无穷多解

Step 3：求无穷多解：

当 $a = 1, b = 1$ ： $A \to 100100010100$ 通解： $X = 100 + k - 1 10$ （ $k \in R$ ）

当 $a = - 1, b = 1$ ： $A \to 100010 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} 0 100$ 通解： $X = 100 + k - \frac{3}{2} \frac{1}{2} 1$ （ $k \in R$ ）

思路：

先化简消元，尽量将参数集中到右下角

根据主元行数和最后一行约束分类讨论

四类情况：唯一解（满秩相容）、无解（不相容）、无穷多解（降秩相容 ×2 组）

另法：系数矩阵为方阵时，也可先求 $∣ A ∣$ （行列式法）， $∣ A ∣ = (a - 1) (a + 1)$ ：

$∣ A ∣ \neq = 0$ → 唯一解

$∣ A ∣ = 0$ 时再分别代回 $A$ 讨论有无穷多解还是无解

变式参考：类似题目如 $⎩ ⎨ ⎧ λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = λ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = λ^{2}$ ，行列式 $∣ A ∣ = (1 - λ)^{2} (λ + 2)$ ，讨论方法相同。

例题 7（已知解的关系求通解）★ 概念题

例 3：设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 $3$ ，已知 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 为该方程组的三个解，且： $η_{1} = 2345, η_{2} + η_{3} = 1234$ 求该方程组的通解。

解：

分析： $n = 4$ ， $R (A) = 3$ → 导出组基础解系含 $n - r = 1$ 个解向量 → 只需找到一个导出组的非零解即可。

Step 1：利用非齐次解的关系构造导出组解。

由解的性质： $η_{1}$ 是一个解， $\frac{η _{2} + η _{3}}{2}$ 也是解（解的凸组合仍是解，因为系数和为 $1/2 + 1/2 = 1$ ）。

$∴ \frac{η _{2} + η _{3}}{2} = \frac{1}{2} 1 \frac{3}{2} 2$ 也是 $A X = β$ 的解。

Step 2：两个非齐次解之差是导出组解： $η_{1} - \frac{η _{2} + η _{3}}{2} = 2345 - \frac{1}{2} 1 \frac{3}{2} 2 = \frac{3}{2} 2 \frac{5}{2} 3$

这是导出组 $A X = 0$ 的非零解 → 就是基础解系（唯一的一个）。

Step 3：通解 = 特解 + $k \times$ 基础解系： $X = 2345 + k \frac{3}{2} 2 \frac{5}{2} 3 = 2345 + c 3456 (c \in R)$

思路总结：

由 $n$ 和 $R (A)$ 确定导出组基础解系含几个向量

利用”非齐次解之差 = 导出组解”构造导出组解

利用”非齐次解的凸组合仍是解”（系数和为 1）构造更多非齐次解

例题 8（证明题：解的结构与线性无关性）

例 4：已知 $η^{*}$ 为 $A X = β$ 的一个特解， $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}$ 为导出组 $A X = 0$ 的一个基础解系。证明：

向量组 ${ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}, η^{*}}$ 线性无关；

$A X = β$ 有 $n - r + 1$ 个线性无关的解。

证明：

1. 证 ${ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}, η^{*}}$ 线性无关：

反证法。假设线性相关。由于 $ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}$ 本身线性无关（它们是基础解系），则 $η^{*}$ 必可由 $ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}$ 线性表出。

从而 $η^{*}$ 也是 $A X = 0$ 的解。但这与 $η^{*}$ 是 $A X = β$ （ $β \neq = 0$ ）的特解相矛盾。

$∴$ 原假设不成立，向量组线性无关。 ✓

2. 构造 $n - r + 1$ 个线性无关的 $A X = β$ 的解：

令 $η_{1} = ξ_{1} + η^{*}, η_{2} = ξ_{2} + η^{*}, \dots, η_{n - r} = ξ_{n - r} + η^{*}$ 。

则 ${η_{1}, \dots, η_{n - r}, η^{*}}$ 是 $A X = β$ 的 $n - r + 1$ 个解。

设 $k_{1} η_{1} + \dots + k_{n - r} η_{n - r} + k_{n - r + 1} η^{*} = 0$ ，代入： $k_{1} (ξ_{1} + η^{*}) + \dots + k_{n - r} (ξ_{n - r} + η^{*}) + k_{n - r + 1} η^{*} = 0$ $k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r} + (Σ k_{i} + k_{n - r + 1}) η^{*} = 0$

由第 1 部分结论（ $ξ_{i}$ 和 $η^{*}$ 线性无关），所有系数全为零： $k_{1} = k_{2} = \dots = k_{n - r} = 0, Σ k_{i} + k_{n - r + 1} = 0 \Rightarrow k_{n - r + 1} = 0$

$∴$ 这 $n - r + 1$ 个解线性无关。 ✓

六、全章总结：秩与方程组解的关系

情况	条件	解的数量	解的结构
齐次	$R (A) = n$	仅有零解	$X = 0$
齐次	$R (A) < n$	无穷多解	$X = k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}$ （基础解系通解）
非齐次	$R (A) < R (A)$	无解	—
非齐次	$R (A) = R (A) = n$	唯一解	$X = η^{*}$
非齐次	$R (A) = R (A) < n$	无穷多解	$X = η^{*} + \sum k_{i} ξ_{i}$ （特解 + 导出组通解）

记忆口诀：

有解 $⟺$ 秩相等（ $R (A) = R (A)$ ）

唯一 $⟺$ 秩等 $n$ （满秩相容）

无穷 $⟺$ 秩等但小于 $n$ （降秩相容）

非齐次通解 = 特解 $η^{*}$ + 导出组通解

整理时间：2026-05-26 | 来源：课堂PPT（周老师）

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