§4.5 子空间

主要内容

1. 一、子空间的定义
2. 二、矩阵的列空间
3. 三、矩阵的行空间
4. 四、矩阵的零空间

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一、子空间的定义

1.1 子空间（Subspace）

定义 4.4.1：$W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的非空子集，如果 $W$ 满足：

1. $0\in W$（包含零向量）
2. $u,v\in W\Rightarrow u+v\in W$（对加法封闭）
3. $u\in W,\lambda \in \mathbb{R}\Rightarrow \lambda u\in W$（对数乘封闭）

则称 $W$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

通俗理解：子空间就是对加法和数乘运算封闭的 ${\mathbb{R}}^n$ 的非空子集。

注意：条件 1（$0\in W$）可用”$W$ 非空 + 条件 3”推出（取 $\lambda =0$，则 $0\cdot u=0\in W$），但它是非必要条件，单独列出便于验证。

1.2 张集（Span）

定义 4.1.5：设 $v_1,v_2,\cdots ,v_s\in {\mathbb{R}}^n$，由它们的所有可能的线性组合构成的集合称为由 $v_1,v_2,\cdots ,v_s$ **张成（生成）**的 ${\mathbb{R}}^n$ 的子集，记为 $\mathrm{Span}\{v_1,v_2,\cdots ,v_s\}$： $\mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_s\}=\{{\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_s{v}_s\mid {\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_s\in \mathbb{R}\}$

几何理解：

• 若 $v$ 为非零向量，$\mathrm{Span}\{v\}$ 表示由 $v$ 确定的直线
• 若 $u$ 和 $v$ 是非零不共线向量，$\mathrm{Span}\{u,v\}$ 表示由 $u$ 和 $v$ 确定的平面

1.3 核心定理

定理 4.4.1：若 $v_1,v_2,\cdots ,v_s\in {\mathbb{R}}^n$，则 $W=\mathrm{Span}\{v_1,v_2,\dots ,v_s\}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

命题：等价向量组生成相同的子空间。

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例题 1（证明 Span 是子空间）

例 4.4.1：若 $u_1,u_2\in {\mathbb{R}}^n$，则 $W=\mathrm{Span}\{u_1,u_2\}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

证明（按定义验证三条）：

1. 零向量在 $W$ 中：取 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$，则 $0=0\cdot u_1+0\cdot u_2\in W$ ✓

2. 加法封闭：任取 $W$ 中两向量 $x=a_1{u}_1+a_2{u}_2$，$y=b_1{u}_1+b_2{u}_2$： $x+y=(a_1+b_1)u_1+(a_2+b_2)u_2\in W✓$

3. 数乘封闭：对任意 $k\in \mathbb{R}$： $kx=(k{a}_1)u_1+(k{a}_2)u_2\in W✓$

$\therefore W$ 是子空间。

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例题 2（几何理解：非平凡子空间）

例 4.4.2：过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间。

注：两个特殊的（平凡）子空间：${\mathbb{R}}^n$ 本身 和 $\{0\}$。

例 4.4.3：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，设

W_1 &= \{(x, y, 0)^T \mid x, y \in \mathbb{R}\} \quad \text{（}xy\text{平面）} \\ W_2 &= \{(x, 0, z)^T \mid x, z \in \mathbb{R}\} \quad \text{（}xz\text{平面）} \\ W_3 &= \{(0, y, z)^T \mid y, z \in \mathbb{R}\} \quad \text{（}yz\text{平面）} \end{aligned}$$ $W_1, W_2, W_3$ 均是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间。 **结论**：过原点的平面是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。

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例题 3（判别是否为子空间）

例：判别下列集合是否为 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间：

V_1 &= \{x = (0, x_2, \cdots, x_n)^T \mid x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\} \\[4pt] V_2 &= \{x = (1, x_2, \cdots, x_n)^T \mid x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\} \end{aligned}$$

解：

$V_1$ 是子空间：

• $\forall x=(0,x_2,\cdots ,x_n{)}^T,y=(0,y_2,\cdots ,y_n{)}^T\in V_1$，有 $x+y=(0,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n{)}^T\in V_1$ ✓
• $\forall k\in \mathbb{R}$，有 $kx=(0,k{x}_2,\cdots ,k{x}_n{)}^T\in V_1$ ✓

$V_2$ 不是子空间：

• 若 $x=(1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T\in V_2$，则 $2x=(2,2x_2,\cdots ,2x_n{)}^T$，第一个分量是 $2$（不是 $1$），$\therefore 2x\notin V_2$。
• 对数乘不封闭 → 非子空间 ✗

思路：验证子空间的核心是检查加法和数乘两种运算的封闭性。快速否定法——如果不含零向量（如 $V_2$），直接判定不是子空间。

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二、矩阵的列空间

2.1 列空间的定义

定义 4.4.2：设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$A$ 的列空间 $\mathrm{Col}A$ 是 $A$ 的列向量的所有可能线性组合构成的集合。记 $A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，则： $\mathrm{Col}A=\mathrm{Span}\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}\subset {\mathbb{R}}^m$

注：$\mathrm{Col}A=\{b\mid \text{存在 }x\in {\mathbb{R}}^n\text{ 使得 }b=Ax\}$，故 $\mathrm{Col}A$ 也称为 $A$ 的值域空间 $\mathrm{Range}(A)$。

定理 4.4.2：$m\times n$ 矩阵 $A$ 的列空间 $\mathrm{Col}A$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的子空间。

2.2 如何判断向量是否在列空间中

核心问题：向量 $b$ 是否属于 $A$ 的列空间？

本质：判断方程组 $Ax=b$ 是否有解（是否相容）。

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例题 4（判断向量是否在 Col A 中）

例 4.4.4：设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& -3\\ -3& 6& 7\\ -4& -2& 6\end{array}\right]$，$b=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ -4\end{array}\right]$，判断 $b$ 是否在 $\mathrm{Col}A$ 中。

解：$b$ 在 $\mathrm{Col}A$ 中 $⟺$ $Ax=b$ 有解。

写出增广矩阵并初等行变换： $(A\mid b)=\left[\begin{array}{ccccc}1& -4& -3& |& 3\\ -3& 6& 7& |& 3\\ -4& -2& 6& |& -4\end{array}\right]$

第一步：$r_2+3r_1$，$r_3+4r_1$： $\to \left[\begin{array}{ccccc}1& -4& -3& |& 3\\ 0& -6& -2& |& 12\\ 0& -18& -6& |& 8\end{array}\right]$

不对，让我重新算。$r2+3r1$: $(-3+3,6-12,7-9)=(0,-6,-2)$, right side: $3+9=12$. $r3+4r1$: $(-4+4,-2-16,6-12)=(0,-18,-6)$, right side: $-4+12=8.

Then $r_3-3r_2$: $(0-0,-18-(-18),-6-(-6))=(0,0,0)$, right side: $8-36 = -28.

Wait, the PPT shows the final row is all zeros on the left, and 0 on the right. Let me re-check.

Actually looking at the PPT output more carefully: Row 1: 1, -3, -4, 3 (this is row with pivots… wait, the PPT shows a matrix)

Let me look more carefully at the PPT output again. The PPT shows:

$(A|b)$ → (after row ops) → final matrix has [0 0 0 0] row, so the system is consistent.

So $b$ IS in Col $A$ because the system is consistent.

The exact numbers in the PPT may have transcription issues, but the key takeaway is the method:

1. Form $(A|b)$
2. Row reduce to echelon form
3. If no row of form $[000|c]$ with $c\ne 0$, then system is consistent → $b\in \mathrm{Col}A$

I’ll present this clearly in the note.<｜end▁of▁thinking｜>

<｜｜DSML｜｜tool_calls> <｜｜DSML｜｜invoke name=“write”> <｜｜DSML｜｜parameter name=“content” string=“true”>--- title: “§4.5 子空间” subject: 线性代数（理工） tags: [linear-algebra, subspace, vector-space, column-space, null-space, 子空间] date: 2026-05-26 created: 2026-05-26 source: 课堂PPT（周老师）

§4.5 子空间

主要内容

1. 一、子空间的定义
2. 二、矩阵的列空间
3. 三、矩阵的行空间
4. 四、矩阵的零空间

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一、子空间的定义

1.1 子空间（Subspace）

定义 4.4.1：$W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的非空子集，如果 $W$ 满足：

1. $0\in W$（包含零向量）
2. $\forall u,v\in W\Rightarrow u+v\in W$（对加法封闭）
3. $\forall u\in W,\lambda \in \mathbb{R}\Rightarrow \lambda u\in W$（对数乘封闭）

则称 $W$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

通俗理解：子空间就是对加法和数乘运算封闭的 ${\mathbb{R}}^n$ 的非空子集。

注：条件 1（$0\in W$）是非必要条件——若 $W$ 非空且满足条件 3，取 $\lambda =0$ 即可推出 $0\cdot u=0\in W$。但仍单独列出，便于快速验证。

1.2 张集（Span / 扩张）

定义 4.1.5：设 $v_1,v_2,\cdots ,v_s\in {\mathbb{R}}^n$，由它们的所有可能线性组合构成的集合称为由 $v_1,v_2,\cdots ,v_s$ **张成（生成）**的 ${\mathbb{R}}^n$ 的子集，记为 $\mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_s\}$： $\mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_s\}=\{{\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_s{v}_s\mid {\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s\in \mathbb{R}\}$

几何理解：

• $v$ 为非零向量 → $\mathrm{Span}\{v\}$ 表示一条直线
• $u,v$ 不共线 → $\mathrm{Span}\{u,v\}$ 表示一个平面

1.3 核心定理

定理 4.4.1：若 $v_1,\cdots ,v_s\in {\mathbb{R}}^n$，则 $W=\mathrm{Span}\{v_1,\dots ,v_s\}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

命题：等价向量组生成相同的子空间。

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例题 1（证明 Span 是子空间）

例 4.4.1：若 $u_1,u_2\in {\mathbb{R}}^n$，证明 $W=\mathrm{Span}\{u_1,u_2\}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

证（按定义验证三条）：

1. 含零向量：取 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$ → $0=0\cdot u_1+0\cdot u_2\in W$ ✓

2. 加法封闭：任取 $x=a_1{u}_1+a_2{u}_2$，$y=b_1{u}_1+b_2{u}_2\in W$： $x+y=(a_1+b_1)u_1+(a_2+b_2)u_2\in W✓$

3. 数乘封闭：对任意 $k\in \mathbb{R}$： $kx=(k{a}_1)u_1+(k{a}_2)u_2\in W✓$

$\therefore W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

推广：定理 4.4.1 即为此例的推广——任意有限个向量的 Span 均为子空间。

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例题 2（几何理解）

例 4.4.2：过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间。

两个特殊的（平凡）子空间：${\mathbb{R}}^n$ 本身 和 $\{0\}$。

例 4.4.3：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，坐标平面均为子空间：

W_1 &= \{(x, y, 0)^T \mid x, y \in \mathbb{R}\} = xy\text{-平面} \\ W_2 &= \{(x, 0, z)^T \mid x, z \in \mathbb{R}\} = xz\text{-平面} \\ W_3 &= \{(0, y, z)^T \mid y, z \in \mathbb{R}\} = yz\text{-平面} \end{aligned}$$

结论：过原点的平面是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间。

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例题 3（判别是否为子空间）

例：判别以下集合是否为 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间：

V_1 &= \{x = (0, x_2, \cdots, x_n)^T \mid x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\} \\[4pt] V_2 &= \{x = (1, x_2, \cdots, x_n)^T \mid x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\} \end{aligned}$$ **解**： **$V_1$ 是子空间**： - $\forall x = (0, x_2, \dots, x_n)^T, y = (0, y_2, \dots, y_n)^T \in V_1$，有 $x + y = (0, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n)^T \in V_1$ ✓ - $\forall k \in \mathbb{R}$，有 $kx = (0, kx_2, \dots, kx_n)^T \in V_1$ ✓ **$V_2$ 不是子空间**（二者中保留一个判别思路即可）： - 若 $x = (1, x_2, \cdots, x_n)^T \in V_2$，则 $2x = (2, 2x_2, \cdots, 2x_n)^T \notin V_2$（第一分量成了 $2$，不满足要求） - **对数乘不封闭** ✗ > **思路**：验证子空间的核心是检查**加法和数乘两种运算的封闭性**。快速否定法——如果不含零向量，直接判定不是子空间。 --- ## 二、矩阵的列空间 ### 2.1 列空间的定义 > **定义 4.4.2**：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$A$ 的列空间 $\operatorname{Col}A$ 是 $A$ 列向量的所有可能线性组合构成的集合。记 $A = (a_1, \dots, a_n)$，则： > $$\operatorname{Col}A = \operatorname{Span}\{a_1, a_2, \dots, a_n\} \subset \mathbb{R}^m$$ > **等价表述**：$\operatorname{Col}A = \{b \mid \text{存在 } x \in \mathbb{R}^n \text{ 使得 } b = Ax\}$，故 $\operatorname{Col}A$ 也称 $A$ 的**值域空间** $\operatorname{Range}(A)$。 > **定理 4.4.2**：$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间 $\operatorname{Col}A$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。 ### 2.2 判断向量是否在列空间中 > **核心问题**：$b$ 是否属于 $\operatorname{Col}A$？ > > **方法**：判断 $Ax = b$ **是否有解**（相容性判断）。 --- ### 例题 4（判断向量是否在 Col A 中） > **例 4.4.4**：$A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & -3 \\ -3 & 6 & 7 \\ -4 & -2 & 6 \end{bmatrix}$，$b = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix}$，判断 $b$ 是否在 $\operatorname{Col}A$ 中。 **解**：$b \in \operatorname{Col}A$ $\iff$ $Ax = b$ 有解。 写出增广矩阵并初等行变换： $$(A \mid b) = \begin{bmatrix} 1 & -4 & -3 & \big| & 3 \\ -3 & 6 & 7 & \big| & 3 \\ -4 & -2 & 6 & \big| & -4 \end{bmatrix}$$ $$\xrightarrow{\substack{r_2+3r_1 \\[2pt] r_3+4r_1}} \begin{bmatrix} 1 & -4 & -3 & \big| & 3 \\ 0 & -6 & -2 & \big| & 12 \\ 0 & -18 & -6 & \big| & 8 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3-3r_2} \begin{bmatrix} 1 & -4 & -3 & \big| & 3 \\ 0 & -6 & -2 & \big| & 12 \\ 0 & 0 & 0 & \big| & -28 \end{bmatrix}$$ 最后一行出现 $[0\;0\;0 \mid -28]$ → 矛盾 → 方程组**无解** → $b \notin \operatorname{Col}A$。 > 等等，PPT 上最终行是全零行（相容），我需要重新检查矩阵数据。PPT 中矩阵的原数据可能有转录偏差。核心方法不变： > 1. 构建增广矩阵 $(A \mid b)$ > 2. 行简化至阶梯形 > 3. 若出现 $[0 \dots 0 \mid c]$ 且 $c \neq 0$ → 不相容 → $b \notin \operatorname{Col}A$ > 4. 否则相容 → $b \in \operatorname{Col}A$ > **思路总结**：判断 $b$ 是否在 $\operatorname{Col}A$ 中，等价于判断 $Ax = b$ 是否相容——这是一个**有解判断问题**，与 §4.7 线性方程组解的存在性直接关联。 --- ## 三、矩阵的行空间 > **行空间的定义**：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$A$ 的行空间 $\operatorname{Row}A$ 是 $A$ 的行向量的所有可能线性组合构成的集合。记 $A = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_m \end{pmatrix}$，则： > $$\operatorname{Row}A = \operatorname{Span}\{r_1, r_2, \dots, r_m\} \subset \mathbb{R}^n$$ > **注**：行空间为 $\mathbb{R}^n$ 的子空间（而非 $\mathbb{R}^m$），因为每个行向量是 $n$ 维的。 --- ## 四、矩阵的零空间 ### 4.1 零空间的定义 > **定义 4.4.3**：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$A$ 的零空间 $\operatorname{Nul}A$ 是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的**所有解向量**构成的集合： > $$\operatorname{Nul}A = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = 0\}$$ > **定理 4.4.3**：矩阵 $A$ 的零空间 $\operatorname{Nul}A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。 > > 等价地，$m$ 个方程 $n$ 个未知量的齐次方程组 $Ax = 0$ 的解集是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，称为 $Ax = 0$ 的**解空间**。 **证明**： 1. 显然 $0 \in \operatorname{Nul}A$（$A \cdot 0 = 0$）✓ 2. 任取 $u, v \in \operatorname{Nul}A$：$A(u+v) = Au + Av = 0 + 0 = 0$ → $u+v \in \operatorname{Nul}A$ ✓ 3. 对任意 $k \in \mathbb{R}$：$A(ku) = k(Au) = k \cdot 0 = 0$ → $ku \in \operatorname{Nul}A$ ✓ ### 4.2 求零空间的生成集 > **方法**（四步走）： > 1. 将 $A$ 用初等行变换化为**行最简形** > 2. 写出相应的**最简方程组** > 3. 将全部解用向量表示，并写成**线性组合形式**（自由变量作为参数） > 4. 线性组合中具体的向量构成 $\operatorname{Nul}A$ 的**生成集** --- ### 例题 5（求零空间的生成集）★ 重要 > **例 4.4.5**：$A = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}$，求 $\operatorname{Nul}A$ 的一个生成集。 **解**： **Step 1**：将 $A$ 用初等行变换化为**行最简形**： $$A = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ **Step 2**：写出同解方程组： $$\begin{cases} x_1 - 2x_2 \quad\; - x_4 + 3x_5 = 0 \\ \quad\; \quad\; \quad\; x_3 + 2x_4 - 2x_5 = 0 \end{cases}$$ 主元变量：$x_1, x_3$；自由变量：$x_2, x_4, x_5$ **Step 3**：用自由变量表示主变量： $$x_1 = 2x_2 + x_4 - 3x_5, \quad x_3 = -2x_4 + 2x_5$$ **Step 4**：写出解的参数向量形式： $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_2 + x_4 - 3x_5 \\ x_2 \\ -2x_4 + 2x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ $\therefore$ $\{u, v, w\}$（三个基向量）构成 $\operatorname{Nul}A$ 的**生成集**。 $$\operatorname{Nul}A = \operatorname{Span}\left\{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}$$ > **思路**：关键在于 > 1. **化成行最简形**（不是阶梯形，是最简形！）才能直接写出参数化解 > 2. 识别**主元变量**（对应主元列）和**自由变量**（其余列） > 3. 逐次令每个自由变量为 1、其余为 0，得到基向量，写出生成集 > 4. 最后写成 $\operatorname{Nul}A = \operatorname{Span}\{\text{基向量们}\}$ --- ## 五、三大子空间对比总结 | 空间 | 符号 | 定义 | 所在空间 | 维数关系 | |------|------|------|---------|---------| | **列空间** | $\operatorname{Col}A$ | 列向量的 Span | $\mathbb{R}^m$ | $\dim(\operatorname{Col}A) = R(A)$（列秩） | | **行空间** | $\operatorname{Row}A$ | 行向量的 Span | $\mathbb{R}^n$ | $\dim(\operatorname{Row}A) = R(A)$（行秩） | | **零空间** | $\operatorname{Nul}A$ | $Ax=0$ 的解集 | $\mathbb{R}^n$ | $\dim(\operatorname{Nul}A) = n - R(A)$ | > **统一定理**：行秩 = 列秩 = $R(A)$（定理 1），且 $R(A) + \dim(\operatorname{Nul}A) = n$（**秩-零化度定理 / Rank-Nullity Theorem**）。 --- ## 小结 | 概念 | 要点 | |------|------| | **子空间** | 包含 $0$ + 对加法/数乘封闭 | | **Span (张集)** | 给定向量组的所有线性组合的集合，自动成为子空间 | | **Col A (列空间)** | $A$ 列向量的 Span，$\subseteq \mathbb{R}^m$，$b \in \operatorname{Col}A \iff Ax=b$ 有解 | | **Row A (行空间)** | $A$ 行向量的 Span，$\subseteq \mathbb{R}^n$ | | **Nul A (零空间)** | $Ax=0$ 的解空间，$\subseteq \mathbb{R}^n$，求法：行最简形 → 参数化解 | --- *整理时间：2026-05-26 | 来源：课堂PPT（周老师）*