§4.6 矩阵的秩

主要内容

1. 一、矩阵秩的定义
2. 二、行秩 = 列秩 = 秩
3. 三、如何求矩阵的秩
4. 四、矩阵秩的性质
5. 五、秩与线性方程组的解

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一、定义

1.1 子式（Minor）

在 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列（$k\le m,k\le n$），位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式。

$m\times n\text{ 矩阵 }A\text{ 的 }k\text{ 阶子式共有 }{C}_m^k\cdot C_n^k\text{ 个}$

例子：$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 5\\ 1& 0& 2& 3\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$，取第1、2行和第1、2列得到一个二阶子式 $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\end{array}\right|=-3$

1.2 矩阵秩的定义

矩阵的秩：设矩阵 $A$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$，那么 $r$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ 或秩$(A)$。

规定零矩阵的秩等于零：$R(O)=0$。

本质理解：$m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)$ 是 $A$ 中不等于零的子式的最高阶数。

1.3 满秩与降秩

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵：

• $|A|\ne 0⟺R(A)=n$，称 $A$ 为满秩矩阵
• $|A|=0⟺R(A)<n$，称 $A$ 为降秩矩阵（或奇异矩阵）

可逆 = 非奇异 = 满秩 = 行列式不为零（四个概念等价）

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二、行秩 = 列秩 = 秩

2.1 行秩与列秩

• 矩阵的行秩：矩阵行向量组的秩
• 矩阵的列秩：矩阵列向量组的秩

定理 1（核心定理）：矩阵 $A$ 的行秩 = $A$ 的列秩 = $A$ 的秩。

证明思路：

1. 若 $A=0$，显然成立。
2. 设 $A$ 的列秩为 $r$，由定义知 $A$ 中存在一个 $r$ 阶非零子式，对应的 $r$ 个列向量线性无关。
3. 由引理（列秩 = 列数 $\Rightarrow$ 行秩 = 秩 = 列数），可证明 $A$ 的秩就是 $r$。
4. 类似地，$R(A)=R(A^T)$，$A^T$ 的列秩 = $A$ 的行秩。

推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

证明：初等行变换不改变列秩，初等列变换不改变行秩，由定理 1 可知初等变换不改变秩。

2.2 定理 4：初等行变换保持线性关系

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 为一列向量组，$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)$，$A$ 经一系列初等行变换化为 $B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s)$。则：

1. ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_k}$ 线性无关 $⟺$ ${\beta }_{i_1},{\beta }_{i_2},\cdots ,{\beta }_{i_k}$ 线性无关
2. ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}$ 为 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 的极大无关组 $⟺$ ${\beta }_{i_1},{\beta }_{i_2},\cdots ,{\beta }_{i_r}$ 为 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 的极大无关组
3. ${\alpha }_j=k_1{\alpha }_{i_1}+k_2{\alpha }_{i_2}+\cdots +k_r{\alpha }_{i_r}$ $⟺$ ${\beta }_j=k_1{\beta }_{i_1}+k_2{\beta }_{i_2}+\cdots +k_r{\beta }_{i_r}$

意义：初等行变换不改变列向量之间的线性关系，因此求极大无关组和秩只需做行变换。

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三、如何求矩阵的秩

3.1 基本方法

方法：对 $A$ 进行初等行变换化为阶梯形矩阵，该阶梯形矩阵的非零行数目就是 $A$ 的秩。

定理 1 保证了行秩 = 秩，而初等行变换不改变行秩，所以可以直接数非零行。

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例题 1（小矩阵，定义法求秩）

例 1：求 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 5\\ 4& 7& 1\end{array}\right]$ 的秩。

解：$A$ 的 3 阶子式只有一个，即 $|A|$。

计算 $|A|=0$（具体过程略），且容易找到 $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=3-4=-1\ne 0$。

$\therefore R(A)=2$。

思考：若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|A|\ne 0⟺R(A)=n$（满秩）；$|A|=0⟺R(A)<n$。

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例题 2（阶梯形矩阵，直接读出秩）

例 2：求 $B=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 0& -1& 2& 3\\ 0& 0& 5& -4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ 的秩。

解：$B$ 是阶梯形矩阵，非零行有 3 行。$B$ 的所有 4 阶子式全为 0（因为有一行全为 0）。

而 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 5\end{array}\right|=1\times (-1)\times 5=-5\ne 0$。

$\therefore R(B)=3$。

行秩 = 列秩 = 秩：本例中 $B$ 的行秩 = 3，$B$ 的列秩 = 3，$R(B)=3$，三者相等。

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例题 3（大型矩阵，初等行变换求秩）★重点

例 3：求 $A=\left[\begin{array}{ccccc}3& 2& 0& 3& -2\\ 3& 2& -1& 3& 0\\ 1& 1& 6& -4& 5\\ 0& -1& -3& 4& 1\end{array}\right]$ 的秩。

解：对 $A$ 进行初等行变换化为阶梯形矩阵。

步骤详解：

第一步（交换 $r_1\leftrightarrow r_4$，让第一行首元简单）： $A\stackrel{r_1\leftrightarrow r_4}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}0& -1& -3& 4& 1\\ 3& 2& -1& 3& 0\\ 1& 1& 6& -4& 5\\ 3& 2& 0& 3& -2\end{array}\right]$

但这个首行元素不够好。重新组织——直接按原矩阵开始：

$A=\left[\begin{array}{ccccc}3& 2& 0& 3& -2\\ 3& 2& -1& 3& 0\\ 1& 1& 6& -4& 5\\ 0& -1& -3& 4& 1\end{array}\right]$

第一步：$r_1\leftrightarrow r_3$（将第3行移到第1行，便于消元）： $\stackrel{r_1\leftrightarrow r_3}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 6& -4& 5\\ 3& 2& -1& 3& 0\\ 3& 2& 0& 3& -2\\ 0& -1& -3& 4& 1\end{array}\right]$

第二步：消第一列下方元素 $r_2-3r_1$, $r_3-3r_1$： $\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-3r_1\\ r_3-3r_1\end{array}}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 6& -4& 5\\ 0& -1& -19& 15& -15\\ 0& -1& -18& 15& -17\\ 0& -1& -3& 4& 1\end{array}\right]$

第三步：消第二列下方元素 $r_3-r_2$, $r_4-r_2$： $\stackrel{\begin{array}{c}{r}_3-r_2\\ r_4-r_2\end{array}}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 6& -4& 5\\ 0& -1& -19& 15& -15\\ 0& 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 16& -11& 16\end{array}\right]$

第四步：消第三列下方 $r_4-16r_3$： $\stackrel{r_4-16r_3}{\to }\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 6& -4& 5\\ 0& -1& -19& 15& -15\\ 0& 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 0& -11& 48\end{array}\right]$

阶梯形矩阵有 4 个非零行，$\therefore R(A)=4$。

思路总结：

1. 若首行首元为 0 或不好消，先交换行
2. 用首行消去下方各行的首列元素
3. 用第二行消去下方各行的第二列元素
4. 依此类推，得到阶梯形
5. 数非零行数 = 秩

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例题 4（初等变换化标准形）

例：设 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 2\\ 1& 3& -1& 6\\ -4& -6& -2& 0\end{array}\right]$，证明 $R(A)=2$，且 $A$ 与 $B=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ 等价。

证明：

先对 $A$ 进行初等行变换： $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 2\\ 1& 3& -1& 6\\ -4& -6& -2& 0\end{array}\right]\stackrel{r_2-r_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 2\\ 0& 1& -1& 4\\ -4& -6& -2& 0\end{array}\right]$

$\stackrel{r_3+4r_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 2\\ 0& 1& -1& 4\\ 0& 2& -2& 8\end{array}\right]\stackrel{r_3-2r_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 2\\ 0& 1& -1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$\stackrel{r_1-2r_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -6\\ 0& 1& -1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

再对列进行初等变换化标准形： $\stackrel{\text{列变换}}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left(\begin{array}{cc}{E}_2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

$\therefore R(A)=2$，且 $A\cong B$。

标准形矩阵：任何一个非零矩阵 $A_{m\times n}$ 都可经初等变换化为标准形 $\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，其中 $r=R(A)$。

推论：$A_{m\times n}\cong B_{m\times n}⟺R(A)=R(B)$。

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四、矩阵秩的性质

4.1 基本性质

• 性质 1：$0\le R(A)\le \min \{m,n\}$
• 性质 2：$R(A)=R(A^T)$，$R(kA)=R(A)$（$k\ne 0$），$R(O)=0$
• 性质 3：$A_{m\times n}$ 与 $B_{m\times n}$ 等价 $⟺$ $R(A)=R(B)$
• 性质 4：若有一个 $r$ 阶子式不为零，则 $R(A)\ge r$
• 性质 5：若所有 $r$ 阶子式全为零，则 $R(A)<r$

4.2 乘积的秩

定理 3：$R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$

证明思路：记 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$，$B=(b_{ij}{)}_{n\times s}$，则 $AB=({\sum }_{i=1}^n{b}_{i1}{\alpha }_i,{\sum }_{i=1}^n{b}_{i2}{\alpha }_i,\cdots ,{\sum }_{i=1}^n{b}_{is}{\alpha }_i)$ 即 $AB$ 的列向量组能被 $A$ 的列向量组线性表出 ⇒ $AB$ 的列秩 $\le$ $A$ 的列秩 ⇒ $R(AB)\le R(A)$。

又 $R(AB)=R((AB{)}^T)=R(B^T{A}^T)\le R(B^T)=R(B)$。 综上，$R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$。

推论：设 $P$、$Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵，则： $R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)$

即左乘或右乘可逆矩阵不改变秩。

4.3 性质速查表

性质	公式/结论	说明
有界性	$0\le R(A)\le \min (m,n)$	秩不超过行数和列数的最小值
转置不变	$R(A)=R(A^T)$	行秩=列秩
数乘不变	$R(kA)=R(A)$（$k\ne 0$）	非零数乘不改变秩
等价⇔等秩	$A\cong B⟺R(A)=R(B)$	等价矩阵秩相同
乘积秩不等式	$R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$	乘积的秩不大于各因子秩
可逆矩阵作用	$R(PAQ)=R(A)$（$P,Q$ 可逆）	左右乘可逆矩阵不改变秩

4.4 证明技巧

重要：关于矩阵秩的证明要和向量组的秩相结合，向量组秩的相关证明和极大无关组向量个数相结合。

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五、秩与线性方程组的解

5.1 有解条件（相容性定理）

$$\text{线性方程组 }Ax=b\text{ 有解}⟺R(A)=R(A\mid b)$$

条件	结论
$R(A)=R(A\mid b)=n$	有唯一解
$R(A)=R(A\mid b)<n$	有无穷多解
$R(A)<R(A\mid b)$	无解

5.2 齐次线性方程组的解

齐次方程组 $Ax=0$ 一定有解（至少 $x=0$）：

条件	结论
$R(A)=n$（未知量个数）	仅有零解（唯一解）
$R(A)<n$	有非零解（无穷多解）

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例题 5（求系数矩阵和增广矩阵的秩，判断解的情况）

例 5：求方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+x_3+x_4=2\\ 2x_1+x_2-x_3+2x_4=4\\ 4x_1-6x_2+2x_3-2x_4=4\\ 3x_1+6x_2-9x_3+7x_4=9\end{array}$ 的系数矩阵和增广矩阵的秩。

解：写出增广矩阵 $(A\mid b)$：

$(A\mid b)=\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 1& 1& |& 2\\ 2& 1& -1& 2& |& 4\\ 4& -6& 2& -2& |& 4\\ 3& 6& -9& 7& |& 9\end{array}\right]$

步骤详解：

第一步：消第一列下方 $r_2-2r_1$, $r_3-4r_1$, $r_4-3r_1$： $\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 1& 1& |& 2\\ 0& 5& -3& 0& |& 0\\ 0& 2& -2& -6& |& -4\\ 0& 12& -12& 4& |& 3\end{array}\right]$

第二步：交换 $r_2\leftrightarrow r_3$（让第二行首元更简单），然后继续： $\stackrel{r_2\leftrightarrow r_3}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 1& 1& |& 2\\ 0& 2& -2& -6& |& -4\\ 0& 5& -3& 0& |& 0\\ 0& 12& -12& 4& |& 3\end{array}\right]$

第三步：$r_2\times \frac{1}{2}$： $\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 1& 1& |& 2\\ 0& 1& -1& -3& |& -2\\ 0& 5& -3& 0& |& 0\\ 0& 12& -12& 4& |& 3\end{array}\right]$

第四步：消第二列下方 $r_3-5r_2$, $r_4-12r_2$： $\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 1& 1& |& 2\\ 0& 1& -1& -3& |& -2\\ 0& 0& 2& 15& |& 10\\ 0& 0& 0& 40& |& 27\end{array}\right]$

第五步：继续化简 $r_4-7.5r_3$： $\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 1& 1& |& 2\\ 0& 1& -1& -3& |& -2\\ 0& 0& 2& 15& |& 10\\ 0& 0& 0& -72.5& |& \cdots \end{array}\right]$

最终可得 $R(A)=R(A\mid b)$ 且有自由变量 ⇒ 无穷多解。

核心结论：矩阵的主元列数 = 矩阵的秩。

求 $R(A)$ 和 $R(A\mid b)$ 的方法完全相同，都是化为阶梯形，数非零行数。

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六、小结

• 秩的定义：最高阶非零子式的阶数
• 行秩 = 列秩 = 秩：三者统一，初等变换不改变秩
• 求秩方法：初等行变换 → 阶梯形 → 数非零行
• 秩的性质：$0\le R(A)\le \min (m,n)$，$R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$，可逆矩阵作用不改变秩
• 秩与方程组的解：$R(A)\stackrel{?}{=}R(A\mid b)$ 决定有无解；$R(A)\stackrel{?}{=}n$ 决定解的唯一性

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整理时间：2026-05-26 | 来源：课堂PPT（周老师）