第7章 二次型

§7.1 二次型的基本概念

一、二次型及其标准形的概念

含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的二次齐次函数

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n$$

称为二次型。

注：只含有平方项的二次型 $f=k_1{x}_1^2+k_2{x}_2^2+\cdots +k_n{x}_n^2$ 称为二次型的标准形（或法式）。

二、二次型的矩阵表示方法

取 $a_{ji}=a_{ij}$（对称化），则 $2a_{ij}{x}_i{x}_j=a_{ij}{x}_i{x}_j+a_{ji}{x}_j{x}_i$，可得：

$$f=\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\cdots ,x_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=X^{T}AX,A=A^T$$

核心公式： $\boxed{f=X^{T}AX}$，其中 $A$ 为实对称矩阵。

重要结论： 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。

• 对称矩阵 $A$ 叫做二次型 $f$ 的矩阵；
• $f$ 叫做对称矩阵 $A$ 的二次型；
• 对称矩阵 $A$ 的秩叫做二次型 $f$ 的秩。

例1. 三元二次型 $f=x_1^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3+x_3^2$ 的秩。

解： 由 $f=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

$a_{11}=1,a_{22}=0,a_{33}=1$， $a_{12}=a_{21}=\frac{2+0}{2}=1$，$a_{13}=a_{31}=\frac{-2+0}{2}=-1$，$a_{23}=a_{32}=0$

对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\therefore R(A)=3$，即 $f$ 的秩为 3。

三、化二次型为标准形

设可逆线性变换 $X=CY$（$C$ 可逆），代入 $f=X^{T}AX$：

$$f=X^{T}AX=(CY{)}^{T}A(CY)=Y^T(C^{T}AC)Y=Y^{T}BY$$

定理1：对二次型 $f=X^{T}AX$（$A^T=A$），作可逆线性变换 $X=CY$，则化成新变量下的二次型 $g=Y^{T}BY$，其中 $B=C^{T}AC$，且 $B$ 是对称矩阵。

注：

1. 二次型经可逆变换后秩不变，但矩阵由 $A$ 变为 $B=C^{T}AC$
2. 要变成标准形，就是要使 $C^{T}AC$ 成为对角矩阵

合同的定义：设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆阵 $C$，使得 $B=C^{T}AC$ 则称 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A\simeq B$。

注：要使二次型 $f=X^{T}AX$ 经可逆变换 $X=CY$ 变成标准形，就是要使 $A\simeq \mathrm{diag}(d_1,d_2,\cdots ,d_n)$

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§7.2 化为标准形

一、正交变换法

定理6.2.1：任给二次型 $f=X^{T}AX$（$A=A^T$），总有正交变换 $X=QY$，使 $f$ 化为标准形 $f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$ 其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值。

具体步骤：

1. 将二次型表成矩阵形式 $f=X^{T}AX$，求出 $A$；
2. 求出 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$；
3. 求出对应于特征值的特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$；
4. 将特征向量正交化、单位化，得 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$，记 $Q=({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n)$；
5. 作正交变换 $X=QY$，则得标准形 ${\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$。

例1. 用正交变换化 $f=17x_1^2+14x_2^2+14x_3^2-4x_1{x}_2-4x_1{x}_3-8x_2{x}_3$ 为标准形。

解：

1. 写出矩阵并求特征值： $A=\left(\begin{array}{ccc}17& -2& -2\\ -2& 14& -4\\ -2& -4& 14\end{array}\right)$ $|\lambda E-A|=(\lambda -18{)}^2(\lambda -9)$ 特征值：${\lambda }_1=9$，${\lambda }_2={\lambda }_3=18$

2. 求特征向量：

• 对 ${\lambda }_1=9$：解 $(A-9E)X=0$，得 ${\xi }_1=(\frac{1}{2},1,1{)}^T$
• 对 ${\lambda }_2={\lambda }_3=18$：得 ${\xi }_2=(-2,1,0{)}^T$，${\xi }_3=(-2,0,1{)}^T$

3. 正交化（Schmidt）：

• ${\alpha }_1={\xi }_1$，${\alpha }_2={\xi }_2$
• ${\alpha }_3={\xi }_3-\frac{({\alpha }_2,{\xi }_3)}{({\alpha }_2,{\alpha }_2)}{\alpha }_2$，得正交向量组

4. 单位化得正交矩阵 $Q$， 作 $X=QY$

标准形：$\boxed{9y_1^2+18y_2^2+18y_3^2}$

特点：正交变换法保持几何形状不变，结果唯一（系数=特征值）。

二、Lagrange 配方法

定理6.2.2：对于任一二次型，通过配平方处理都可以找到一个可逆线性替换 $X=CY$ 使其化为标准形。

步骤：

情况1：含有平方项 $x_i^2$

先把含有 $x_i$ 的乘积项集中，配方，再对剩余变量同样处理。 利用公式：$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$

情况2：不含平方项，但 $a_{ij}\ne 0(i\ne j)$

先作可逆线性变换： $\{\begin{array}{l}{x}_i=y_i-y_j\\ x_j=y_i+y_j\\ x_k=y_k(k\ne i,j)\end{array}$ 引入平方项，再配方。利用：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

例2. 用配方法化 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3$ 为标准形。

解： 含有 $x_1^2$，集中含 $x_1$ 的项配方： $\begin{array}{rl}f& =(x_1^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3)+2x_2^2+5x_3^2+6x_2{x}_3\\ & =(x_1+x_2+x_3{)}^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2{x}_3\\ & =(x_1+x_2+x_3{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2\end{array}$

令 $\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+2x_3\\ y_3=x_3\end{array}$，得变换矩阵 $C=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$|C|=1\ne 0$

标准形：$\boxed{y_1^2+y_2^2}$

例3. 用配方法化 $f=2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3$ 为标准形。

解： 无平方项，先作变换 $\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3\end{array}$： $f=2y_1^2-2y_2^2-4y_1{y}_3+8y_2{y}_3$

再配方：$f=2(y_1-y_3{)}^2-2(y_2-2y_3{)}^2+6y_3^2$

标准形：$\boxed{2z_1^2-2z_2^2+6z_3^2}$

三、两种方法比较

注：不同方法得到的标准形可能不同，但项数（=秩）必定相同。

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§7.3 正定二次型

一、实二次型的分类

定义6.3.1：设 $n$ 元二次型 $f=X^{T}AX$，对任何 $X\ne 0$：

例：$f=x^2+4y^2+16z^2$ 正定；$f=-x_1^2-3x_2^2$ 负定。

二、惯性定理

惯性定理：设实二次型 $f=X^{T}AX$ 的秩为 $r$，有两个可逆变换使其化为： $f=k_1{y}_1^2+\cdots +k_r{y}_r^2(k_i\ne 0)$ $f={\lambda }_1{z}_1^2+\cdots +{\lambda }_r{z}_r^2({\lambda }_i\ne 0)$ 则 $k_1,\cdots ,k_r$ 中正数的个数 = ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$ 中正数的个数。

• 正惯性指数 $p$：正平方项的项数
• 负惯性指数 $q$：负平方项的项数
• 符号差：$p-q$
• 秩：$r=p+q$

注：$p$ 和 $q$ 在合同变换下不变，是合同不变量。

规范形：通过进一步变换可得： $z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_r^2$ 规范形是唯一的。

例1. 设 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的 $p=2,q=1$，判断类型。 解：存在线性替换使 $f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2-d_3{y}_3^2$（$d_i>0$） 取 $X=C(1,0,0{)}^T$ 时 $f=d_1>0$；取 $X=C(0,0,1{)}^T$ 时 $f=-d_3<0$ $\therefore f$ 是不定二次型。

三、正定矩阵的判别

定理6.3.2：二次型经过可逆线性替换，其类型不变。

定理6.3.3：设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，以下命题等价（★重要）：

四、Sylvester-Hurwitz 准则（最实用）★★

定理6.3.5（霍尔维茨定理）： $f\text{ 正定 }⟺A\text{ 的各阶顺序主子式均 }>0$

例4. 判别 $f=2x_1^2+4x_2^2+5x_3^2-4x_1{x}_3$ 是否正定。

解： $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -2\\ 0& 4& 0\\ -2& 0& 5\end{array}\right)$ ${\Delta }_1=2>0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right|=8>0,{\Delta }_3=|A|=24>0$ $\therefore$ 正定。

五、负定的判别

推论6.3.5.1：$f$ 负定 $⟺$ 偶数阶顺序主子式 $>0$，奇数阶顺序主子式 $<0$。 即 $(-1{)}^k{\Delta }_k>0,(k=1,2,\cdots ,n)$

例5. 判别 $f=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xz$ 的正定性。

解： $A=\left(\begin{array}{ccc}-5& 2& 2\\ 2& -6& 0\\ 2& 0& -4\end{array}\right)$ ${\Delta }_1=-5<0,{\Delta }_2=26>0,{\Delta }_3=-80<0$ 奇负偶正 $⟹$ 负定。

六、含参数的正定性判断

例6. 若 $f=x_1^2+4x_2^2+2x_3^2+2t{x}_1{x}_2+2x_1{x}_3$ 正定，求 $t$ 的范围。

解： $A=\left(\begin{array}{ccc}1& t& 1\\ t& 4& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$ ${\Delta }_1=1>0$ ${\Delta }_2=4-t^2>0⟹-2<t<2$ ${\Delta }_3=4-2t^2>0⟹-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ 取交集：$\boxed{-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}}$

七、正定矩阵的基本性质

1. 正定矩阵的行列式 $>0$
2. 若 $A$ 正定，则 $A^T,A^{-1},A^{\ast }$ 均为正定矩阵
3. 若 $A,B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，则 $A+B$ 也是正定矩阵
4. 若 $A$ 正定，$M$ 可逆，则 $M^{T}AM$ 也是正定矩阵

例：已知 $A$ 正定，证明 $A^{-1}$ 也正定。 证：$A$ 正定 $⟹A=A^T$ 且特征值全 $>0$ $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}=A^{-1}$，特征值为 $A$ 特征值的倒数，全 $>0$ $\therefore A^{-1}$ 正定。

八、必要条件（⚠️ 仅必要，不充分）

• $|A|>0$
• $a_{ii}>0$（对角元全正）

反例：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 满足 $a_{ii}>0$，但 $|A|=-3<0$，不是正定！

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自测题

一、判断

1. 二次型的矩阵一定是唯一的。 （　）
2. 合同变换改变二次型的惯性指数。 （　）
3. 若 $A$ 的所有特征值 $>0$，则 $A$ 正定。 （　）
4. 二次型经可逆线性变换后秩不变。 （　）
5. 正定矩阵的行列式大于零，反之也成立。 （　）

二、选择

6. $f=x_1^2+4x_1{x}_2+x_2^2$ 的矩阵是： A. $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ B. $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ C. $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 1\end{array}\right)$ D. $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 2\end{array}\right)$

7. $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ 对应的二次型是： A. 正定　　B. 负定　　C. 半正定　　D. 不定

8. 正交变换法化二次型为标准形，系数为： A. 任意实数　　B. 特征值　　C. 顺序主子式　　D. 特征向量

三、计算

9. 用配方法化 $f=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2+4x_1{x}_3+4x_2{x}_3+4x_3^2$ 为标准形，写出惯性指数。

10. 用正交变换法化 $f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_1{x}_2-4x_2{x}_3$ 为标准形。

11. 判断 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$ 是否正定。

12. 若 $f=x_1^2+4x_2^2+2x_3^2+2t{x}_1{x}_2+2x_1{x}_3$ 正定，求 $t$ 的取值范围。

四、思考

13. 正交变换法和配方法各有什么优缺点？什么场景选哪个？
14. 为什么 Sylvester 准则只需检查顺序主子式，而不是全部 $2^n-1$ 个主子式？
15. 正定矩阵的对角元 $a_{ii}>0$ 是正定的必要条件还是充分条件？举反例说明。

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参考答案