第6章 特征值与对角化

§6.1 矩阵的特征值与特征向量

一、定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，如果存在复数 $\lambda$ 和非零向量 $X$，使得

$AX=\lambda X$

则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$X$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

说明：

1. 特征向量 $X\ne 0$；
2. 特征值和特征向量只对方阵而言；
3. $X$ 是 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量，则 $AX$ 与 $X$ 共线；
4. $n$ 阶单位阵的特征值为 $1$，所有非零 $n$ 维向量都是它的特征向量。

例1：若 $n$ 阶方阵 $A$ 的每行元素之和都等于常数 $c$，则 $c$ 就是 $A$ 的一个特征值，且 $k(1,1,\cdots ,1{)}^T(k\ne 0)$ 是 $A$ 中属于特征值 $c$ 的特征向量。

二、特征向量与特征值的关系

从特征值和特征向量的性质可以看出：矩阵 $A$ 的一个特征值对应若干个线性无关的特征向量；但反之，一个特征向量只能属于一个特征值。

三、特征值与特征向量的性质

性质1：若 $X_1,X_2$ 是 $A$ 的属于同一特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量，且 $X_1+X_2\ne 0$，则 $X_1+X_2$ 也是 $A$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

性质2：若 $X_0$ 是 $A$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量，$k\ne 0$ 为任意常数，则 $k{X}_0$ 也是 $A$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

性质3（线性组合）：若 $X_1,X_2,\cdots ,X_t$ 为 $A$ 的属于同一特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量，则 $k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_t{X}_t\ne 0$ 仍是 $A$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

性质4（幂与逆）：$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则

• 当 $m$ 为正整数时，${\lambda }^m$ 是 $A^m$ 的特征值；
• 当 $A$ 可逆时，${\lambda }^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值；
• 当 $A$ 可逆，$m$ 为整数时，${\lambda }^m$ 是 $A^m$ 的特征值。

性质5（多项式）：$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$X$ 是对应的特征向量，且 $f(A)=a_m{A}^m+\cdots +a_{1}A+a_0$ 则 $f(\lambda )=a_m{\lambda }^m+\cdots +a_1\lambda +a_0$ 为 $f(A)$ 的特征值，且 $X$ 也是 $f(A)$ 中属于 $f(\lambda )$ 的特征向量。

例：设 $f(A)=A^{-2}+3A-E$，$A$ 有特征值 $2$，则 $f(2)=2^{-2}+3\cdot 2-2=\frac{1}{4}+6-2$ 为 $f(A)$ 的特征值。

性质5’：若 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 $n$ 阶方阵 $A$ 的全部特征值，则 $f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n)$ 为 $f(A)$ 的全部特征值。

例：若 $A$ 满足 $A^2=A$，证明 $A$ 的特征值只能为 $0$ 或 $1$。 证：设 $\lambda$ 为 $A$ 的任意特征值，$X\ne 0$ 满足 $AX=\lambda X$。 $A^2=A\Rightarrow (A^2-A)X=({\lambda }^2-\lambda )X=0$，因 $X\ne 0$，故 ${\lambda }^2-\lambda =0$，$\lambda =0$ 或 $1$。

性质6（等价条件1）：$X_0$ 是 $A$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量 $⟺X_0$ 是齐次线性方程组 $({\lambda }_{0}E-A)X=0$ 的非零解。

性质7（等价条件2）：${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值 $⟺|{\lambda }_{0}E-A|=0$。

四、特征矩阵、特征多项式与特征方程

设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶矩阵：

• 特征矩阵：$\lambda E-A$
• 特征多项式：$f(\lambda )=|\lambda E-A|$
• 特征方程：$|\lambda E-A|=0$

五、求特征值和特征向量的步骤

1. 计算特征多项式 $|\lambda E-A|$；
2. 求出 $|\lambda E-A|=0$ 的全部根，得 $A$ 的全部特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$；
3. 对于每个不同的特征值 ${\lambda }_j$，求出齐次线性方程组 $({\lambda }_{j}E-A)X=0$ 的一个基础解系 $X_{j1},X_{j2},\cdots ,X_{j{t}_j}$，则 $A$ 的属于 ${\lambda }_j$ 的全部特征向量为 $k_1{X}_{j1}+k_2{X}_{j2}+\cdots +k_{t_j}{X}_{j{t}_j}$ （其中 $k_1,k_2,\cdots ,k_{t_j}$ 是不全为零的任意常数）。

例2：求 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 8& 2& 4\\ 8& 3& 3\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量。

解：$|\lambda E-A|=(\lambda +1)(\lambda -1)(\lambda -6)=0$

特征值：${\lambda }_1=-1$（单根），${\lambda }_2=6$（单根）

对 $\lambda =-1$：解 $(-E-A)X=0$，得基础解系 $X_1=\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 3\end{array}\right),X_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 1\end{array}\right)$

对 $\lambda =6$：解 $(6E-A)X=0$，得基础解系 $X_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

六、特征值与行列式及迹的关系 ★

性质8：设 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则有

1. ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\mathrm{tr}(A)$
2. ${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|$

推论：方阵 $A$ 可逆 $⟺A$ 没有零特征值。

例3：若三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$。 (1) $|A|=1\times 2\times 3=6\ne 0$，故 $A$ 可逆； (2) $|A^2+A-4E|$ 的特征值分别为 $1^2+1-4=-2,2^2+2-4=2,3^2+3-4=8$，故行列式 $=(-2)\times 2\times 8=-32$

七、补充性质

性质9：$A$ 与 $A^T$ 的特征值相同（但特征向量一般不同）。

性质10：属于不同特征值的特征向量线性无关（见 §6.2 定理2）。

---

§6.2 矩阵的相似对角化

一、相似矩阵的定义

设 $A,B$ 均为 $n\times n$ 矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使得

$P^{-1}AP=B$

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A\sim B$。

• $P$ 称为相似变换矩阵
• $P^{-1}AP$ 称为对 $A$ 施行的相似变换

二、相似矩阵的性质

注：有相同特征值的矩阵不一定相似。例如 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ 特征值相同但不相似。

例1：已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& -4\\ 0& -2& 5\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$ 相似，求 $x,y$。 解：相似矩阵有相同的迹和行列式：$\{\begin{array}{l}2+x+y=2+2+5\\ 1\cdot x\cdot y=|A|=10\end{array}$，解得 $x=1,y=10$

三、矩阵的相似对角化

定义：对 $n$ 阶方阵 $A$，若存在可逆矩阵 $P$ 使得

$P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$

则称 $A$ 可（相似）对角化。

四、对角化的充要条件 ★★★

定理1：$n$ 阶矩阵 $A$ 相似于对角矩阵 $⟺A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

此时，$P$ 的列向量即为 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，$\Lambda$ 的对角元即为对应的特征值。

定理2：属于不同特征值的特征向量线性无关。

推论：若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可对角化。 ⚠️ 这是充分条件，非必要！有重根也可能对角化。

定理3：设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$ 是 $A$ 的互异特征值，$X_{i1},X_{i2},\cdots ,X_{i{t}_i}$ 是属于 ${\lambda }_i$ 的线性无关特征向量，则所有特征向量放在一起仍线性无关。

定理4（重数判据）★★★：$A$ 可对角化 $⟺$ 对于 $A$ 的每个 $k_i$ 重特征值 ${\lambda }_i$，恰有 $k_i$ 个线性无关的特征向量（即几何重数 = 代数重数）。

定理5（秩判据）：$A$ 可对角化 $⟺$ 对于 $A$ 的每个 $k_i$ 重特征值 ${\lambda }_i$，$R({\lambda }_{i}E-A)=n-k_i$。

五、对角化的步骤

1. 求 $A$ 的全部互异特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$；
2. 对每个 ${\lambda }_i$，解 $({\lambda }_{i}E-A)X=0$ 的一个基础解系；
3. 计算总特征向量数 $T=\sum t_i$：
   • 若 $T<n$，则 $A$ 不可对角化；
   • 若 $T=n$，则 $A$ 可对角化；
4. 令 $P=(X_{11},\cdots ,X_{1t_1},\cdots ,X_{m1},\cdots ,X_{m{t}_m})$，则 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\underset{t_1}{\underbrace{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_1}},\cdots ,\underset{t_m}{\underbrace{{\lambda }_m,\cdots ,{\lambda }_m}})$

例2：判断 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ 能否对角化？若能，求 $P$ 和 $\Lambda$。

解：$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -1)(\lambda -3)=0$，特征值 $0,1,3$ 互异 → 可对角化。

${\lambda }_1=0$：$X_1=(-1,-1,1{)}^T$ ${\lambda }_2=1$：$X_2=(-1,1,0{)}^T$ ${\lambda }_3=3$：$X_3=(1,1,2{)}^T$

$P=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& 1& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$，$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0,1,3)$

例3（重根但可对角化）：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& -5\\ -2& -2& -4\end{array}\right)$，特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$（二重），${\lambda }_3=-3$

对 $\lambda =1$：$R(E-A)=1$，基础解系含 $3-1=2$ 个向量 $\to$ 几何重数 = 代数重数，可对角化。

例4（重根不可对角化）：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$（二重），${\lambda }_3=2$

对 $\lambda =1$：$R(E-A)=2$，基础解系含 $3-2=1$ 个向量 $\to$ 几何重数 $1<$ 代数重数 $2$，不可对角化。

六、对角化的应用：求 $A^n$

若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$，其中 ${\Lambda }^n=\mathrm{diag}({\lambda }_1^n,{\lambda }_2^n,\cdots ,{\lambda }_n^n)$。

例5：已知三阶方阵 $A$ 的特征值为 $2,-2,1$，对应的特征向量依次为 $p_1=(0,1,1{)}^T,p_2=(1,1,1{)}^T,p_3=(1,1,0{)}^T$，求 $A$ 和 $A^n$。

令 $P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，$\Lambda =\mathrm{diag}(2,-2,1)$

$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$

---

§6.3 实对称阵的对角化

一、向量的内积

定义：设有 $n$ 维向量 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$，$y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^T$，称

$[x,y]=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n=x^{T}y$

为向量 $x$ 与 $y$ 的内积。

内积的运算性质（$x,y,z$ 为 $n$ 维向量，$\lambda$ 为实数）：

1. $[x,y]=[y,x]$
2. $[\lambda x,y]=\lambda [x,y]$
3. $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
4. $[x,0]=[0,x]=0$
5. $[x,x]\ge 0$，且当 $x\ne 0$ 时有 $[x,x]>0$

二、向量的长度（范数）

定义：$\Vert x\Vert =\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$

性质：

1. 非负性：$\Vert x\Vert \ge 0$；$\Vert x\Vert =0⟺x=0$
2. 齐次性：$\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\cdot \Vert x\Vert$
3. Cauchy-Schwarz 不等式：$|[x,y]|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$
4. 三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$（两边之和大于第三边）

单位向量：当 $\Vert x\Vert =1$ 时，称 $x$ 为单位向量。 $\frac{x}{\Vert x\Vert }$ 称为 $x$ 的单位化。

两向量的夹角：当 $x\ne 0,y\ne 0$ 时， $\theta =\arccos \frac{[x,y]}{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }$

三、正交向量组

定义：

• 当 $[x,y]=0$ 时，称 $x$ 与 $y$ 正交（$x\perp y$）
• 若一不含有零向量的向量组中的向量两两正交，则称为正交向量组
• 正交向量组中每个向量均为单位向量，则称为规范正交向量组

定理1：正交向量组必线性无关。（逆命题不成立）

四、Schmidt 正交化方法

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个线性无关组。

步骤1（正交化）：

$$\begin{array}{rl}{\beta }_1& ={\alpha }_1\\ {\beta }_2& ={\alpha }_2-\frac{[{\alpha }_2,{\beta }_1]}{[{\beta }_1,{\beta }_1]}{\beta }_1\\ {\beta }_3& ={\alpha }_3-\frac{[{\alpha }_3,{\beta }_1]}{[{\beta }_1,{\beta }_1]}{\beta }_1-\frac{[{\alpha }_3,{\beta }_2]}{[{\beta }_2,{\beta }_2]}{\beta }_2\\ & ⋮\\ {\beta }_m& ={\alpha }_m-\sum _{j=1}^{m-1}\frac{[{\alpha }_m,{\beta }_j]}{[{\beta }_j,{\beta }_j]}{\beta }_j\end{array}$$

步骤2（单位化）：

${\gamma }_i=\frac{{\beta }_i}{\Vert {\beta }_i\Vert },i=1,2,\cdots ,m$

则 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_m$ 为一个规范正交向量组，且与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 等价。

例1：用 Schmidt 方法将 ${\alpha }_1=(1,1,1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,-1,0,4{)}^T,{\alpha }_3=(3,5,1,-1{)}^T$ 化为规范正交组。

正交化：${\beta }_1=(1,1,1,1{)}^T$，${\beta }_2=(-1,-3,-2,3{)}^T$，${\beta }_3=(0,2,1,-3{)}^T$

单位化：${\gamma }_1=\frac{1}{2}(1,1,1,1{)}^T,{\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{23}}(-1,-3,-2,3{)}^T,{\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{14}}(0,2,1,-3{)}^T$

五、正交矩阵

定义：若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足 $A{A}^T=A^{T}A=E$，则 $A$ 称为正交矩阵。

性质：

1. $A^{-1}=A^T$
2. $A$ 为正交阵 $⟺A$ 的每列（行）元素平方和为 $1$（单位向量），且不同两列（行）的对应元乘积之和为 $0$（正交）
3. 若 $A$ 为正交阵，则 $A^{-1}$ 也为正交阵
4. 若 $A_1,A_2,\cdots ,A_s$ 为正交阵，则 $A_1{A}_2\cdots A_s$ 也为正交阵

六、实对称矩阵的性质 ★★★

定理2：实对称矩阵的特征值均为实数。（理论意义：对应的特征向量可以取实向量）

定理3：实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交。

引理：对于实对称矩阵 $A$ 的 $k$ 重特征值 $\lambda$，$R(\lambda E-A)=n-k$，即恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。

定理4（主轴定理）★★★：设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵 $Q$，使 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$ 其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值。

实对称矩阵对角化的特点：

• 一定可以对角化（不存在”不可对角化”的情况）
• 可以用正交矩阵来对角化（不是普通的可逆矩阵）
• $Q^{T}AQ=\Lambda$，即 $Q^{-1}=Q^T$

七、实对称矩阵正交对角化的步骤

1. 求 $A$ 的全部特征值；
2. 由 $({\lambda }_{i}E-A)X=0$，求出 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量；
3. 将属于同一特征值的特征向量正交化（Schmidt），再将所有 $n$ 个特征向量单位化；
4. 令 $Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n)$，则 $Q^{-1}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$。

例2：求正交矩阵 $Q$，使 $Q^{-1}AQ$ 为对角阵，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ -2& 1& -2\\ 0& -2& 0\end{array}\right)$

解：

1. $|\lambda E-A|=(\lambda -4)(\lambda -1)(\lambda +2)=0$，特征值 $4,1,-2$（互异，已正交）
2. 特征向量： ${\lambda }_1=4$：$X_1=(2,-2,1{)}^T$ ${\lambda }_2=1$：$X_2=(-2,-1,2{)}^T$ ${\lambda }_3=-2$：$X_3=(1,2,2{)}^T$
3. 单位化（不必正交化，不同特征值已自动正交）： ${\eta }_1=\frac{1}{3}(2,-2,1{)}^T,{\eta }_2=\frac{1}{3}(-2,-1,2{)}^T,{\eta }_3=\frac{1}{3}(1,2,2{)}^T$
4. $Q=({\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ -2& -1& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$，$Q^{-1}AQ=\mathrm{diag}(4,1,-2)$

八、应用举例

1. PageRank（Google 搜索引擎）：网页排序的本质是求状态转移矩阵的属于特征值 $1$ 的特征向量。

2. PCA（主成分分析）：对大数据降维时，找方差大的投影方向，本质是求协方差矩阵的特征值和特征向量。

3. 马尔可夫链（舆论传播模型）：通过状态转移矩阵 $A$ 的对角化，计算 $A^n{X}^{(0)}$ 预测长期稳态分布。

---

自测题

一、判断

1. 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 也是 $A^T$ 的特征值。 （　）
2. 相似矩阵必有相同的特征向量。 （　）
3. $n$ 阶方阵有 $n$ 个不同的特征值是 $A$ 可对角化的必要条件。 （　）
4. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定正交。 （　）
5. 若 $A$ 满足 $A^2=0$，则 $A$ 的特征值全为 $0$。 （　）

二、选择

6. 已知三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$，则 $|A^2+E|=$ （　） A. 10　　B. 20　　C. 30　　D. 40

7. 下列矩阵中可对角化的是： A. $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ B. $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ C. $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ D. $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

8. 设 $A$ 是正交矩阵，则下列不对的是： A. $A^T=A^{-1}$　　B. $|A|=\pm 1$　　C. $A$ 的列向量为标准正交组　　D. $A$ 的特征值必为 $\pm 1$

三、计算

9. 求 $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 3\end{array}\right)$ 的特征值和特征向量，并判断是否可对角化。

10. 判断 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 是否可对角化，并说明理由。

11. 求正交矩阵 $Q$ 使 $Q^{-1}AQ$ 为对角阵，$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ -2& 2& -2\\ 0& -2& 3\end{array}\right)$。

12. 用施密特正交化方法将 ${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(1,0,1{)}^T,{\alpha }_3=(0,1,1{)}^T$ 化为规范正交组。

四、思考

13. “相似矩阵有相同的特征值”，逆命题成立吗？举反例说明。
14. 为什么实对称矩阵一定可以对角化？从几何重数和代数重数的角度解释。
15. 正交变换法化二次型为标准形（第7章）与实对称矩阵的正交对角化有何联系？

---

参考答案