第4章 向量空间

§4.1 & 4.2 向量的线性相关与线性无关

一、线性组合

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 为 $m$ 个 $n$ 维向量，$\mathbf{\beta }$ 为另一 $n$ 维向量。

若存在数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 使 $\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$

则称 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示（或称 $\mathbf{\beta }$ 是它们的线性组合）。

几何直观：

$n$	线性组合的含义
2	平面上两个不共线向量可线性表示平面内任意向量
3	三个不共面向量可线性表示空间内任意向量

二、线性相关与线性无关

定义

对于向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，

• 若存在不全为零的数 $k_1,\cdots ,k_m$ 使 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$，则称该向量组线性相关
• 若仅有 $k_1=\cdots =k_m=0$ 使等式成立，则称该向量组线性无关

直观理解：线性相关 = 组中至少有一个向量可被其余向量线性表示。

判定方法

方法	内容
定义法	设 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$，解出 $k_i$
行列式法（方阵）	$
秩法	$R({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)<m⟺$ 线性相关
个数法	向量个数 $m$ > 维数 $n$ $\Rightarrow$ 必线性相关

重要性质

性质	内容
(1)	含零向量的向量组必线性相关
(2)	线性无关组的任何部分组仍线性无关
(3)	线性相关组添加任意向量后仍线性相关
(4)	$n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关
(5)	若 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关，而 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{\beta }$ 线性相关，则 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 唯一线性表示

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§4.3 向量组的极大无关组和秩

一、向量组的线性表出与等价

向量组的线性表出：向量组 (I) $\{{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s\}$ 中每个向量都可由向量组 (II) $\{{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_t\}$ 线性表示，称 (I) 可由 (II) 线性表出。

等价向量组：(I) 与 (II) 可相互线性表出，记作 (I) $\cong$ (II)。

等价关系的三条基本性质：

性质	含义
反身性	任何向量组与自身等价
对称性	(I) ≅ (II) $\Rightarrow$ (II) ≅ (I)
传递性	(I) ≅ (II) 且 (II) ≅ (III) $\Rightarrow$ (I) ≅ (III)

二、极大无关组的定义

从向量组 $\{{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s\}$ 中选出一个部分组 $\{{\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}\}$，满足：

1. 线性无关：${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 线性无关
2. 极大性：原向量组中任意向量添加到该部分组后，一定线性相关

则称该部分组为原向量组的极大线性无关组（简称极大无关组）。

等价定义：$\{{\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}\}$ 与整个向量组等价，且线性无关。

本质理解：极大无关组是能从原向量组中取出的、包含信息最多的”精简版本”——所有原向量都能被它线性表示，且它自己没有任何冗余。

三、重要定理

定理（表示定理）：若 $\{{\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}\}$ 是极大无关组，则原向量组中任一向量都可由该极大无关组唯一线性表示。

定理（极大无关组不唯一）：某一向量组的极大无关组可能不唯一，但所有极大无关组含有的向量个数相同。

四、向量组的秩

向量组 $\{{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s\}$ 的任意极大无关组所含向量个数称为该向量组的秩，记作 $R({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$。

核心公式：$R({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)=R(A)$，其中 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$ 为以向量为列构成的矩阵。

五、如何求极大无关组和秩

方法（行列变换法）：

1. 将向量作为列排成矩阵 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$
2. 对 $A$ 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 $U$
3. $R(A)=U$ 中非零行的行数（即主元个数）
4. 主元列对应的原向量即构成一个极大无关组

关键原理：初等行变换不改变列向量之间的线性关系，只改变向量的”外观”，保持线性无关性和线性表示系数。

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§4.4 矩阵的秩

一、定义

子式：在 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列（$k\le m,k\le n$），交叉处的 $k^2$ 个元素按原位置构成的 $k$ 阶行列式称为 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。

矩阵的秩：$A$ 中不等于 0 的子式的最高阶数，记作 $R(A)$。规定 $R(O)=0$。

满秩与降秩（$n$ 阶方阵）：

条件	称呼
$R(A)=n$	满秩矩阵（非奇异、可逆）
$R(A)<n$	降秩矩阵（奇异、不可逆）

满秩 $⟺|A|\ne 0⟺A$ 可逆 $⟺$ 行(列)向量线性无关 — 四个概念等价。

二、核心定理：行秩 = 列秩 = 秩

矩阵的行向量组的秩 = 列向量组的秩 = 矩阵的秩（按子式定义）。

这保证了”秩”的概念作为单一数值的一致性。

推论：初等变换不改变矩阵的秩。

三、求矩阵秩的方法

方法	步骤
初等行变换法	化为阶梯形 → 非零行数 = 秩
行列式法（方阵）	计算 $

四、矩阵秩的重要性质

序号	性质
(1)	$0\le R(A)\le \min (m,n)$（$A$ 为 $m\times n$）
(2)	$R(A^T)=R(A)$
(3)	$A\sim B$（等价） $⟺R(A)=R(B)$
(4)	$R(AB)\le \min (R(A),R(B))$
(5)	$R(A+B)\le R(A)+R(B)$
(6)	Sylvester 秩不等式：$R(A)+R(B)-n\le R(AB)$
(7)	若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PAQ)=R(A)$
(8)	$\max (R(A),R(B))\le R(A\mid B)\le R(A)+R(B)$

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§4.5 子空间

一、子空间的定义

${\mathbb{R}}^n$ 的非空子集 $W$ 若满足：

1. $0\in W$（含零向量）
2. $\mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$（加法封闭）
3. $\mathbf{u}\in W,\lambda \in \mathbb{R}\Rightarrow \lambda \mathbf{u}\in W$（数乘封闭）

则称 $W$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

直观理解：子空间是对加法和数乘封闭的子集——在子空间内部做线性运算，结果还在内部。

二、生成子空间（张集 Span）

$\mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_s\}=\{{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_s{\mathbf{v}}_s\mid {\lambda }_i\in \mathbb{R}\}$

所有可能的线性组合构成的集合就是这些向量生成（张成）的子空间。

三、矩阵的三大基本子空间

子空间	记号	定义	维数
列空间	$\mathrm{Col}(A)$	$A$ 的列向量张成的子空间	$R(A)$
行空间	$\mathrm{Row}(A)$	$A$ 的行向量张成的子空间	$R(A)$
零空间（解空间）	$\mathrm{Nul}(A)$	$\{\mathbf{x}\mid A\mathbf{x}=0\}$	$n-R(A)$

子空间关系：

• $\mathrm{Col}(A)\subseteq {\mathbb{R}}^m$（$A$ 为 $m\times n$）
• $\mathrm{Row}(A)\subseteq {\mathbb{R}}^n$
• $\mathrm{Nul}(A)\subseteq {\mathbb{R}}^n$

Ax = b 有解 $⟺b\in \mathrm{Col}(A)$。

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§4.6 基与维数

一、向量空间的基

设 $V$ 为向量空间（如 ${\mathbb{R}}^n$ 或其子空间），若存在向量组 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$ 满足：

1. ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r$ 线性无关
2. $V$ 中任意向量都可由它们线性表示（即 $\mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}=V$）

则称 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$ 为 $V$ 的基。

二、维数

基中所含向量的个数称为空间 $V$ 的维数，记作 $\dim V$。

空间	维数	标准基
${\mathbb{R}}^n$	$n$	$\{{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\}$（标准基）
$\mathrm{Col}(A)$	$R(A)$	主元列对应的列向量
$\mathrm{Nul}(A)$	$n-R(A)$	基础解系

三、坐标

若 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$ 为 $V$ 的基，则任取 $\mathbf{x}\in V$，存在唯一的 $(c_1,\cdots ,c_r)$ 使

$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_r{\mathbf{v}}_r$

称 $(c_1,\cdots ,c_r{)}^T$ 为 $\mathbf{x}$ 在基 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$ 下的坐标。

四、维数定理

定理（子空间的维数）：若 $W$ 是 $V$ 的子空间，则 $\dim W\le \dim V$。

定理（维数公式）：设 $V_1,V_2$ 为 $V$ 的子空间，则

$\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1\cap V_2)$

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§4.7 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$

基础解系

齐次方程组的全体解构成一个子空间（解空间 / 零空间 $\mathrm{Nul}(A)$），其维数 = $n-R(A)$。

解空间的任意一组基称为基础解系。基础解系中的向量：

• 线性无关
• 个数 = $n-R(A)$（自由变量个数）
• 任何解都是基础解系的线性组合

通解形式： $\mathbf{X}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 其中 $\{{\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}\}$ 为基础解系，$k_i\in \mathbb{R}$。

求基础解系步骤

1. 对 $A$ 做初等行变换化最简形
2. 确定主元变量和自由变量（共 $n-R(A)$ 个自由变量）
3. 逐次令某个自由变量为 1、其余为 0，求出对应的基础解向量

二、非齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

有解判定（存在性）

条件	结论
$R(A)=R(A\mid \mathbf{b})$	有解
$R(A)<R(A\mid \mathbf{b})$	无解

有解时：

• $R(A)=n$ $\Rightarrow$ 唯一解
• $R(A)<n$ $\Rightarrow$ 无穷多解

解的结构

若 ${\mathbf{X}}^{\ast }$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一个特解，则通解为：

$\mathbf{X}=\underset{\text{特解}}{\underbrace{{\mathbf{X}}^{\ast }}}+\underset{\text{齐次通解}}{\underbrace{k_1{\mathbf{\xi }}_1+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}}}$

几何意义：非齐次方程组的解集 = 特解 + 齐次解空间 = 将解空间平移到特解所在位置。

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第四章概念关系图

向量组 {α₁, ..., αₛ}
     │
     ├── 线性无关子集 ──→ 极大无关组 ──→ 向量组的秩 r
     │                                     │
     │                         构造矩阵 A = [α₁...αₛ]
     │                                     │
     ├── 矩阵的秩 R(A) = r ←──────────────┘
     │         │
     │         ├── 行空间 dim = r
     │         ├── 列空间 dim = r ←── Ax=b 有解 ⇔ b∈Col(A)
     │         └── 零空间 dim = n-r ←── 齐次解空间
     │
     ├── 子空间 W ⊆ Rⁿ (对加法和数乘封闭)
     │         │
     │         └── 基 (线性无关+生成) → dim W
     │
     └── 解的结构
               ├── 齐次通解 = 基础解系 (n-r个) 的线性组合
               └── 非齐次通解 = 特解 + 齐次通解

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自测题

一、判断题

1. 一个向量也可以构成线性相关组。 （  ）
2. 矩阵的秩等于其非零行的行数。 （  ）
3. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解中，自由变量的个数 = $n-R(A)$。 （  ）
4. 若向量组线性无关，则其任何部分组也线性无关。 （  ）
5. $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关。 （  ）
6. 极大无关组是唯一的。 （  ）
7. $R(A+B)=R(A)+R(B)$。 （  ）
8. 初等行变换不改变列向量之间的线性关系。 （  ）

二、选择题

9. 向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,2,3{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(2,4,6{)}^T$ 的秩为： A. 0  B. 1  C. 2  D. 3

10. $A$ 为 $4\times 3$ 矩阵，$R(A)=2$，则 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系含几个向量？ A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

11. 若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，且 $R(A)=n$（$A$ 为 $n\times n$ 方阵），则解的情况为： A. 无解  B. 唯一解  C. 无穷多解  D. 无法判断

12. 以下哪个不是 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间？ A. 过原点的直线  B. $\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$  C. 过原点的平面  D. $\{(x,y,z)\mid x+y+z=1\}$

13. $\dim \mathrm{Nul}(A)=$ A. $R(A)$  B. $n$  C. $n-R(A)$  D. $m-R(A)$

14. 向量组 $\{{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3\}$ 的极大无关组含 2 个向量，则： A. 必有一向量为零  B. 三个向量线性无关  C. 秩为 2  D. 秩为 3

15. Sylvester 秩不等式的正确形式是： A. $R(AB)\ge R(A)+R(B)$  B. $R(AB)\ge R(A)+R(B)-n$  C. $R(AB)\le R(A)+R(B)-n$  D. $R(AB)=R(A)R(B)$

三、计算题

16. 判断下列向量组是否线性相关：${\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,1{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(0,2,5{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(1,3,6{)}^T$。

17. 求下列向量组的一个极大无关组和秩： ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,-1,2,4{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(0,3,1,2{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(3,0,7,14{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_4=(1,-1,2,0{)}^T$

18. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$，求 $R(A)$ 和 $|A|$。

19. $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right)$，求解 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系。

20. 求解非齐次方程组并分析解的结构：

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=2\end{array}$

四、思考题

21. 为什么 $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关？用矩阵秩解释。

22. 非齐次方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解为什么要”特解 + 齐次通解”？

23. 为什么初等行变换不改变列向量之间的线性关系？说明其数学原理。

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参考答案

判断题

题号	答案	解析
1	✓	零向量自身构成线性相关组（$1\cdot 0=0$，系数非零）
2	✗	是阶梯形中非零行的行数，原矩阵不一定已是阶梯形
3	✓	自由变量个数 = $n-R(A)$
4	✓	线性无关组的任何子集仍线性无关
5	✓	矩阵列数 > 行数 → 必线性相关
6	✗	极大无关组一般不唯一，但所有极大无关组所含向量个数相同
7	✗	仅 $R(A+B)\le R(A)+R(B)$，等号不一定成立
8	✓	初等行变换保持列向量的线性关系（定理 4）

选择题

题号	答案	解析
9	B	${\mathbf{\alpha }}_2=2{\mathbf{\alpha }}_1$，线性相关，极大无关组含 1 个向量
10	A	$n-R(A)=3-2=1$
11	B	有解（$R=n$）→ 唯一解；若 $R<n$ 则无穷多解
12	D	不含 $0$（代入得 1≠0），不满足子空间条件；A/B/C 均过原点
13	C	$\dim \mathrm{Nul}(A)=n-R(A)$
14	C	极大无关组含 r 个向量 → 秩 = r = 2
15	B	$R(AB)\ge R(A)+R(B)-n$

计算题

16. ${\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$，所以线性相关。

或用行列式法：$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 5& 6\end{array}\right|=1(12-15)-0+1(5-2)=-3+3=0$，秩 $<3$ → 线性相关。

17. 构造矩阵并化阶梯形：

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 1\\ -1& 3& 0& -1\\ 2& 1& 7& 2\\ 4& 2& 14& 0\end{array}\right)\stackrel{r}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 1\\ 0& 3& 3& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 2& 2& -4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 0& 3& 1\\ 0& \boxed{1}& 1& 0\\ 0& 0& 0& \boxed{1}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

非零行数 = 3，主元在第 1、2、4 列。秩 $R=3$，极大无关组为 $\{{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4\}$。

${\mathbf{\alpha }}_3=3{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$（由第 3 列的前两个分量读出）。

18. 化阶梯形：

$A\stackrel{r_2-2r_1,r_3-3r_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& -5\\ 0& -5& -7\end{array}\right)\stackrel{r_3-5r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& -5\\ 0& 0& 18\end{array}\right)$

$R(A)=3$（满秩）。

$|A|=1\cdot (-1)\cdot 18=-18$（或直接用公式）。

19. 化最简形：

$A\stackrel{r_2-r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 0& -2\end{array}\right)\stackrel{r_2/(-2)}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{r_1-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$

$R(A)=2$，$n-R=2$。主元变量：$x_1,x_2$；自由变量：$x_3,x_4$。

方程：$x_1+x_3=0$，$x_2+x_4=0$ → $x_1=-x_3$，$x_2=-x_4$。

令 $(x_3,x_4)=(1,0)$：${\mathbf{\xi }}_1=(-1,0,1,0{)}^T$

令 $(x_3,x_4)=(0,1)$：${\mathbf{\xi }}_2=(0,-1,0,1{)}^T$

基础解系：$\{{\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2\}$

20. 增广矩阵：

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 1& -1& 1& -1& 2\end{array}\right)\stackrel{r_2-r_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& -2& 0& -2& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& -1\end{array}\right)$

$R(A)=R(A\mid \mathbf{b})=2$，有解。$x_1+x_3=1$，$x_2+x_4=-1$。

取 $x_3=x_4=0$ → 特解 ${\mathbf{X}}^{\ast }=(1,-1,0,0{)}^T$。

齐次基础解系同题 19。通解：

$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right),k_1,k_2\in \mathbb{R}$

思考题

21. 将 $n+1$ 个 $n$ 维向量排成 $n\times (n+1)$ 矩阵 $A$，则 $R(A)\le \min (n,n+1)=n$。列数 = $n+1>R(A)$，根据秩-线性相关判据（列数 > 秩 ⇒ 列向量线性相关）。直观：$n$ 维空间最多容纳 $n$ 个线性无关的向量。

22. 设 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2$ 均为 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解，则 $A({\mathbf{X}}_1-{\mathbf{X}}_2)=\mathbf{b}-\mathbf{b}=0$，即任意两特解之差属于齐次解空间。故所有解 = 任一特解 + 齐次通解。几何上：非齐次解集不是子空间（不含零向量），而是将齐次解空间平移后的仿射空间。

23. 初等行变换本质上是左乘可逆矩阵 $P$：$A\to PA$。列向量变换为 $P{\mathbf{\alpha }}_i\to P{\mathbf{\beta }}_i$。若 $\sum k_i{\mathbf{\alpha }}_i=0$，则 $\sum k_{i}P{\mathbf{\alpha }}_i=P(\sum k_i{\mathbf{\alpha }}_i)=0$，即线性相关性被保持（$P$ 可逆保证了非零系数的组合不能变为零）。同理原向量的线性表示关系也被保持。