第3章 行列式

§3.1 行列式的定义

一、从低阶行列式引入

二阶行列式

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

• 几何意义：由行向量张成的平行四边形有向面积
• 对角线法则：主对角线积 $-$ 副对角线积

三阶行列式

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

⚠️ 对角线法则仅适用于二阶和三阶，四阶及以上不适用！

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二、排列与逆序数（关键预备知识）

n 级排列

$1,2,\cdots ,n$ 的一个有序排列称为 n 级排列，记作 $(j_1{j}_2\cdots j_n)$。共有 $n!$ 种。自然排列为 $(1,2,\cdots ,n)$。

逆序与逆序数

较大数排在较小数之前 → 构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数 $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$。

计算方法：从左到右，逐个数后面比它小的数的个数并求和。

例：$(3,2,5,1,4)$

元素	后面比它小的	个数
3	2, 1	2
2	1	1
5	1, 4	2
1	—	0
4	—	0

$\tau (3,2,5,1,4)=5$（奇数）→ 奇排列

排列的奇偶性与对换定理

类型	条件
奇排列	逆序数为奇数
偶排列	逆序数为偶数

对换：交换排列中任意两个数的位置。

• 定理 1：一次对换改变排列的奇偶性
• 定理 2：任何排列可经对换变为自然排列，对换次数的奇偶性 = 排列的奇偶性

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三、n 阶行列式的定义

$n$ 阶方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的行列式：

$\det A={\sum }_{(j_1{j}_2\cdots j_n)}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$

• 求和取遍 $1,2,\cdots ,n$ 的所有 $n!$ 个排列
• 每项取自不同行、不同列的 $n$ 个元素
• $(-1{)}^{\tau }$ 为符号：偶排列取正，奇排列取负

$n=2$ 时 $2!=2$ 项，$n=3$ 时 $6$ 项，$n=4$ 时已经 $24$ 项——计算量随 $n$ 急剧增长。

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§3.2 行列式的主要性质与计算

一、行列式的七条基本性质

#	性质	说明
1	转置不变	$\det A^T=\det A$（行列地位平等）
2	拆分性	某行（列）为两数之和 → 拆为两个行列式
3	对换变号	交换两行（列）→ $\det \to -\det$；两行相同则 $\det =0$
4	数乘提取	某行公因子提到外面；$\det (kA)=k^n\det A$
5	比例为零	两行（列）成比例 → $\det =0$
6	倍加不变 ★	$r_i+k{r}_j$ 不改变行列式（计算最核心）
7	三角求值	上（下）三角行列式 = 主对角线元素之积

★ 性质 6（倍加不变）是化三角形法的理论根基，与高斯消元同源。

二、初等行变换对行列式的影响

初等变换	初等矩阵	行列式变化
$r_i\leftrightarrow r_j$	$P(i,j)$	变号（$\det \to -\det$）
$k\times r_i$	$P(i(k))$	乘 $k$ 倍
$r_i+k{r}_j$	$P(i,j(k))$	不变

故 $\det (P(i,j))=-1$，$\det (P(i(k)))=k$，$\det (P(i,j(k)))=1$。

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三、余子式与代数余子式

余子式 $M_{ij}$：划去第 $i$ 行第 $j$ 列后的 $n-1$ 阶行列式。

代数余子式：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

符号棋盘（$(-1{)}^{i+j}$）：

$\left(\begin{array}{cccc}+& -& +& \cdots \\ -& +& -& \cdots \\ +& -& +& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

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四、展开定理

按第 $i$ 行展开：$\det A=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$

按第 $j$ 列展开：$\det A=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$

正交性（核心推论）

$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=\{\begin{array}{ll}\det A,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

直观理解：某行元素与另一行代数余子式乘积和 = 0（相当于两行相同的行列式展开）。

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五、行列式的计算方法

方法一：化三角形法 ★（最常用）

利用倍加不变将行列式化为上三角形，主对角线元之积即答案。

1. 将第一列主元下方全化为 0
2. 盖住第一行，对子矩阵重复
3. 直到上三角 → 对角线相乘

方法二：降阶法（按行/列展开）

选零元素多的行（列）展开，逐步降阶。技巧：先用倍加产生更多零再展开。

方法三：递推法

建立 $D_n$ 与 $D_{n-1},D_{n-2}$ 的递推关系（适合三对角等类型）。

方法四：拆项法

某行（列）可分解为两组数之和时使用。

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六、常见行列式类型

1. Vandermonde 行列式

$V_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$

$V_n\ne 0\iff x_1,\cdots ,x_n$ 两两不同。

2. 箭形（爪形）行列式

$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_0& b_1& b_2& \cdots & b_n\\ c_1& a_1& 0& \cdots & 0\\ c_2& 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_n& 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|$

解法：用第一行（列）的倍加消去”箭杆”。

3. 三对角行列式

$D_n={\left|\begin{array}{ccccc}\alpha & \beta & & & \\ \gamma & \alpha & \beta & & \\ & \gamma & \alpha & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & \beta \\ & & & \gamma & \alpha \end{array}\right|}_n$

递推：$D_n=\alpha D_{n-1}-\beta \gamma D_{n-2}$，$D_1=\alpha$，$D_2={\alpha }^2-\beta \gamma$。

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§3.3 行列式的应用

一、伴随矩阵

定义

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$

注意：$A^{\ast }$ 的第 $i$ 行 = $A$ 的第 $i$ 列的代数余子式（转置排列）。

核心公式

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=(\det A)E$

伴随矩阵的性质

性质	公式
求逆	$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$（$\det A\ne 0$）
乘积的伴随	$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$（顺序颠倒！）
转置的伴随	$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$
双重伴随	$(A^{\ast }{)}^{\ast }=(\det A{)}^{n-2}A$（$n\ge 3$）
行列式	$\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}$

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二、Cramer 法则

若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 为 $n$ 元方程组且 $D=\det A\ne 0$，则有唯一解：

$x_j=\frac{D_j}{D},j=1,2,\cdots ,n$

其中 $D_j$ 是将 $A$ 第 $j$ 列换为 $\mathbf{b}$ 后的行列式。

使用条件：① $A$ 为方阵；② $\det A\ne 0$。

⚠️ 计算量巨大（$n+1$ 个 $n$ 阶行列式），实际价值在理论分析，大规模用消元法。

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三、行列式与可逆性判定

条件	结论
$\det A\ne 0$	$A$ 可逆，$A\mathbf{x}=0$ 只有零解
$\det A=0$	$A$ 不可逆，$A\mathbf{x}=0$ 有非零解

矩阵运算中的行列式：

$\det (AB)=\det A\cdot \det B,\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A},\det (A^k)=(\det A{)}^k$

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四、行列式判断方程组解的情况

齐次 $A\mathbf{x}=0$

条件	结论
$\det A\ne 0$	只有零解
$\det A=0$	有非零解（无穷多解）

非齐次 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

条件	结论
$\det A\ne 0$	唯一解（Cramer 可求）
$\det A=0$	无解或无穷多解（需进一步判断）

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五、求逆三法对比

方法	公式	效率	适用
定义法	找 $B$ 使 $AB=E$	低	理论推导
伴随矩阵法	$A^{-1}=A^{\ast }/\det A$	差	$n\le 3$ 小矩阵
初等变换法 ★	$(A\mid E)\to (E\mid A^{-1})$	$O(n^3)$	实际首选

二阶口诀：${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

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第三章思维导图

行列式
│
├── 定义 (§3.1)
│   ├── 排列与逆序数：τ(j₁j₂...jₙ)
│   ├── 奇偶排列、对换改变奇偶性
│   ├── n阶正式定义：n! 项，不同行不同列
│   └── 符号 = (-1)^τ
│
├── 性质与计算 (§3.2) ★核心
│   ├── 7条性质：转置/拆分/对换/数乘/比例/倍加不变/三角
│   ├── 倍加不变 = 化三角形法的理论根基
│   ├── 初等矩阵行列式：-1, k, 1
│   ├── 余子式Mᵢⱼ、代数余子式Aᵢⱼ=(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ
│   ├── 展开定理 + 正交性（异行展开和=0）
│   ├── 计算四法：化三角→降阶→递推→拆项
│   └── 三类型：Vandermonde、箭形、三对角
│
└── 应用 (§3.3)
    ├── 伴随矩阵：AA* = (det A)E，A⁻¹ = A*/det A
    ├── Cramer法则：xⱼ = Dⱼ/D（D≠0，方阵）
    ├── 可逆判定：det A ≠ 0 ⇔ A可逆
    └── 求逆三法对比：初等变换法 ≫ 伴随 ≫ 定义法

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自测题

一、判断题

1. 若行列式中某行全为零，则行列式为 0。 （  ）
2. 交换两行不改变行列式的值。 （  ）
3. Cramer 法则对任意线性方程组都适用。 （  ）
4. 四阶行列式可用对角线法则计算。 （  ）
5. $\det (kA)=k\cdot \det A$（$A$ 为 $n$ 阶方阵）。 （  ）
6. 若两行元素成比例，行列式一定为零。 （  ）
7. Vandermonde 行列式为零当且仅当某两个 $x_i$ 相等。 （  ）
8. $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$。 （  ）
9. $\det (A^{\ast })=\det A$。 （  ）

二、选择题

10. 排列 $(2,4,1,3)$ 的逆序数为： A. 2  B. 3  C. 4  D. 5

11. $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=$ A. 0  B. 1  C. 6  D. -6

12. $A$ 可逆且 $\det A=2$，则 $\det (A^{-1})=$ A. $2$  B. $-2$  C. $\frac{1}{2}$  D. $-\frac{1}{2}$

13. 下列哪种初等变换会改变行列式的符号？ A. $r_i+k{r}_j$  B. $k\times r_i$  C. $r_i\leftrightarrow r_j$  D. 以上都不变

14. $n$ 阶行列式共包含多少项？ A. $n$  B. $n^2$  C. $n!$  D. $2^n$

15. $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|=$ A. $(b-a)(c-b)$  B. $(b-a)(c-a)(c-b)$  C. $a+b+c$  D. $abc$

16. $A^{\ast }$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是： A. $A_{ij}$  B. $A_{ji}$  C. $M_{ij}$  D. $M_{ji}$

17. $\det (AB)=$ A. $\det A+\det B$  B. $\det A\cdot \det B$  C. $(\det A)(\det B{)}^T$  D. 不一定

三、计算题

18. 化三角形法计算：

$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 1\\ 1& -1& 2& 4\\ 0& 2& 1& 3\\ 1& 0& 2& 1\end{array}\right|$

19. Vandermonde 行列式（$x_1=2,x_2=3,x_3=5,x_4=7$）：

$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 5& 7\\ 4& 9& 25& 49\\ 8& 27& 125& 343\end{array}\right|$

20. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{array}\right)$，用伴随矩阵法求 $A^{-1}$。

21. 用 Cramer 法则解：

$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+x_3=3\\ -2x_1+x_2-x_3=-3\\ x_1-4x_2+2x_3=-2\end{array}$

22. 递推法计算三对角行列式 $D_4$：

$D_4=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right|$

23. 已知 $\det A=3$（$A$ 为 $4$ 阶方阵），求 $\det (2A)$ 和 $\det (A^{\ast })$。

四、思考题

24. 为什么 $A{A}^{\ast }=(\det A)E$？用展开定理和”异行乘代数余子式 = 0”解释。

25. 证明 $\det (A^{-1})=1/\det A$（$A$ 可逆）。

26. 二阶行列式为什么代表平行四边形面积？从几何变换角度解释。

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参考答案

判断题

题号	答案	解析
1	✓	每项都含该行元素为因子
2	✗	交换两行变号（性质 3）
3	✗	需要 $A$ 为方阵且 $\det A\ne 0$
4	✗	对角线法则仅适用于二、三阶
5	✗	$\det (kA)=k^n\det A$，每行提一个 $k$
6	✓	性质 5 直接推论
7	✓	$V_n={\prod }_{i<j}(x_j-x_i)$，有重复则含零因子
8	✗	伴随不满足加法分配律
9	✗	$\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}$（$n\ge 2$）

选择题

题号	答案	解析
10	B	2后(1)→1, 4后(1,3)→2, 1后→0, 3后→0；总计 3
11	A	第 2 行 = 2× 第 1 行，成比例 → 0
12	C	$\det (A^{-1})=1/\det A=1/2$
13	C	对换变号；倍加不变；数乘扩大 $k$ 倍
14	C	$n!$：每行取一个不同列的元素
15	B	Vandermonde：$(b-a)(c-a)(c-b)$
16	B	$(A^{\ast }{)}_{ij}=A_{ji}$（代数余子式的转置）
17	B	乘积行列式 = 行列式乘积

计算题

18. 化三角形：

$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 1\\ 1& -1& 2& 4\\ 0& 2& 1& 3\\ 1& 0& 2& 1\end{array}\right|\stackrel{r_1\leftrightarrow r_2}{\to }-\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 4\\ 2& 1& 3& 1\\ 0& 2& 1& 3\\ 1& 0& 2& 1\end{array}\right|\stackrel{\text{消元}}{\to }-\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 4\\ 0& 3& -1& -7\\ 0& 2& 1& 3\\ 0& 1& 0& -3\end{array}\right|$

$\stackrel{r_2\leftrightarrow r_4}{\to }\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 4\\ 0& 1& 0& -3\\ 0& 2& 1& 3\\ 0& 3& -1& -7\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 4\\ 0& 1& 0& -3\\ 0& 0& 1& 9\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 4\\ 0& 1& 0& -3\\ 0& 0& 1& 9\\ 0& 0& 0& 11\end{array}\right|=11$

答： $11$。

19. Vandermonde，$x_1=2,x_2=3,x_3=5,x_4=7$：

$V_4=(3-2)(5-2)(7-2)\cdot (5-3)(7-3)\cdot (7-5)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 2\cdot 4\cdot 2=240$

答： $240$。

20. $\det A=1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 1\cdot 3+3\cdot 2\cdot 4-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 2\cdot 3-1\cdot 1\cdot 4=2$

各代数余子式 → $A^{\ast }={\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 2\\ 6& -6& 2\\ -4& 5& -2\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}2& 6& -4\\ -3& -6& 5\\ 2& 2& -2\end{array}\right)$

$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{2}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -\frac{3}{2}& -3& \frac{5}{2}\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$

21. $D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& 1& -1\\ 1& -4& 2\end{array}\right|=11$（验证 $\ne 0$，可用 Cramer）

$D_1=48$，$D_2=8$，$D_3=-7$

$x_1=\frac{48}{11}$，$x_2=\frac{8}{11}$，$x_3=-\frac{7}{11}$

22. 递推：$D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$，$D_1=2$，$D_2=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3$

$D_3=2\cdot 3-2=4$，$D_4=2\cdot 4-3=5$

答： $5$。

23. $\det (2A)=2^4\cdot 3=48$；$\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}=3^3=27$

思考题

24. $(A{A}^{\ast }{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}(A^{\ast }{)}_{kj}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}$。当 $i=j$ 时为第 $i$ 行的展开式 $=\det A$；当 $i\ne j$ 时为某行元素与另一行代数余子式的乘积和 $=0$（正交性）。故 $A{A}^{\ast }=(\det A)E$。

25. $A^{-1}A=E$，取行列式：$\det (A^{-1})\cdot \det A=\det E=1$，故 $\det (A^{-1})=1/\det A$。

26. 二阶行列式 $ad-bc$ 是矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 将单位正方形 $[0,1{]}^2$ 映射为以 $(a,c)$ 和 $(b,d)$ 为边的平行四边形的面积缩放因子。行列式的符号表示方向（逆时针为正）。