§8.8 方向导数与梯度

方向导数（沿任意方向的变化率）→ 梯度（变化最快的方向 + 最大变化率）

📌 §8.9 二元函数的泰勒展式不做要求。§8.8 就是第八章的最后一节。

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§8.8.1 方向导数

Why 方向导数？

偏导数 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$ 只刻画了沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的变化率。实际问题中（如温度场、电场），我们需要知道函数在任意方向上的变化率。

定义

设 $z=f(x,y)$ 在 $P(x,y)$ 的某邻域内有定义，$l$ 是从 $P$ 引出的射线（方向单位向量 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$）。$Q(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 是 $l$ 上一点，$\rho =|PQ|=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。

若极限存在：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}{|}_P=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }}$$

则称其为 $f$ 在 $P$ 沿方向 $l$ 的方向导数。

📌 注意：方向导数是单侧极限（只沿 $l$ 的正方向），偏导数是双侧极限。

可微 ⇒ 方向导数存在（充分条件）

若 $f$ 在 $P(x,y)$ 处可微，则沿任意方向 $l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 的方向导数都存在，且：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta }$$

三元推广：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta +f_z^{\prime }\cos \gamma }$$

⚠️ 逆命题不成立：方向导数都存在，也可以不可微。不可微时只能用定义直接求极限。

方向余弦的求法

方向 $l$ 的方向余弦 = 该方向向量的单位化后各分量。

设方向向量 $\vec{v}=(a,b)$，则：$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos \beta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

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例 1（典型）：$u=\ln (x+y^2+z^2)$，求在 $A(0,1,1)$ 处沿 $\overrightarrow{AB}$ 方向的方向导数，其中 $B(2,-1,2)$。

$\overrightarrow{AB}=(2,-2,1)$，单位化：$\vec{l}=\frac{(2,-2,1)}{3}=(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3})$

$u_x^{\prime }=\frac{1}{x+y^2+z^2}$，$u_y^{\prime }=\frac{2y}{x+y^2+z^2}$，$u_z^{\prime }=\frac{2z}{x+y^2+z^2}$

在 $A(0,1,1)$：$u_x^{\prime }=\frac{1}{2},u_y^{\prime }=1,u_z^{\prime }=1$

$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+1\cdot (-\frac{2}{3})+1\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\boxed{0}$

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§8.8.2 梯度（Gradient）

Why 梯度？

从一点出发有无穷多个方向 —— 沿哪个方向函数变化最快？变化率最大是多少？

定义

函数 $z=f(x,y)$ 在 $P(x,y)$ 处的梯度：

$$\boxed{\mathrm{grad}f(x,y)=\nabla f(x,y)=(f_x^{\prime }(x,y),f_y^{\prime }(x,y))=f_x^{\prime }\vec{i}+f_y^{\prime }\vec{j}}$$

梯度与方向导数的关系

方向导数可写为梯度与方向单位向量的内积：

$$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta =\nabla f\cdot \vec{l}$$ $$=|\nabla f|\cdot 1\cdot \cos \theta =\boxed{|\nabla f|\cos \theta }$$

其中 $\theta$ 是 $\nabla f$ 与 $\vec{l}$ 的夹角。

梯度的性质 ⭐

方向	方向导数	含义
$l\parallel \nabla f$（沿梯度方向）	$+	\nabla f
$l\perp \nabla f$（垂直梯度）	$0$	变化率为零（等值线方向）
$l\parallel -\nabla f$（反梯度方向）	$-	\nabla f

🧠 核心结论：

• 方向：梯度 = $f$ 变化率最大的方向
• 模：$|\nabla f|$ = 该方向的最大变化率

三元同理：$\nabla f(P_0)=(f_x^{\prime }(P_0),f_y^{\prime }(P_0),f_z^{\prime }(P_0))$

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例 2：$f(x,y,z)=x+y^2$，求 $f$ 在 $P(1,1,1)$ 处沿增加最快方向的方向导数。

增加最快方向 = 梯度方向：$\nabla f=(1,2y,0)$，在 $P$ 处 $=(1,2,0)$

方向导数最大值 = $|\nabla f|=\sqrt{1^2+2^2+0}=\boxed{\sqrt{5}}$

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三、考研题型

例 3（考研）：$f(x,y)=x^2-4xy+3y^2$，闭合曲线 $C:2x^2+3y^2=6$，求 $f$ 在 $P(1,-1)$ 处沿 $C$ 内法线方向的方向导数。

Step 1：$C$ 的法向量。令 $F(x,y)=2x^2+3y^2-6$，$\nabla F=(4x,6y)$。

在 $P(1,-1)$：$\nabla F=(4,-6)$ 或 $(-4,6)$，需判断哪个是内法向。

Step 2：判断内外。椭圆中心在原点 $O(0,0)$。$\overrightarrow{OP}=(1,-1)$，内法向应指向中心方向。

$(-4,6)\cdot (1,-1)=-4-6=-10<0$（方向相反 ❌）

$(4,-6)\cdot (1,-1)=4+6=10>0$ ✓ → 内法向量 $\vec{n}=(4,-6)$

单位化：${\vec{n}}_0=\frac{(4,-6)}{\sqrt{16+36}}=\frac{(4,-6)}{\sqrt{52}}=(\frac{4}{2\sqrt{13}},-\frac{6}{2\sqrt{13}})$

Step 3：$\nabla f=(2x-4y,-4x+6y)$，在 $P(1,-1)$：$\nabla f=(2+4,-4-6)=(6,-10)$

方向导数：$\frac{\partial f}{\partial n}=(6,-10)\cdot \frac{(4,-6)}{2\sqrt{13}}=\frac{24+60}{2\sqrt{13}}=\boxed{\frac{42}{\sqrt{13}}}$

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核心公式速查

概念	公式
方向导数（可微）	$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta$
三元方向导数	$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta +f_z^{\prime }\cos \gamma$
梯度 $\nabla f$	$(f_x^{\prime },f_y^{\prime })$
方向导 = 梯度·方向	$\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\vec{l}=
最大方向导数	$
梯度⊥等值线	$\nabla f$ 垂直于 $f=C$ 的等值线
法向量	$\vec{n}=\pm \nabla F$（曲线/曲面）