§8.6 隐函数的求导法则

三大情形：$F(x,y)=0$ → $F(x,y,z)=0$ → 方程组（雅可比行列式）

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Why 隐函数定理？

上学期我们直接用 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$ 求隐函数导数——但什么时候这种操作合法？不是所有 $F(x,y)=0$ 都能解出 $y=y(x)$。

🧠 隐函数存在定理回答两个问题：(1) 方程能不能确定一个隐函数？(2) 确定了，它可导吗？导数怎么求？

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一、$F(x,y)=0$ → 一元隐函数

存在定理

若 $F(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内满足：

1. 具有连续偏导数
2. $F(x_0,y_0)=0$
3. $\boxed{F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0}$（关键条件！）

则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x_0$ 的某邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数 $y=y(x)$，满足 $y_0=y(x_0)$，且：

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}}$$

推导法（方程两边直接对 $x$ 求导）

把 $y$ 视为 $x$ 的函数：$\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x^{\prime }+F_y^{\prime }\frac{dy}{dx}=0$

⇒ $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

📌 公式法：直接套 $-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$；推导法：两边对 $x$ 求导解方程。两种方法等价。

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例 1：验证 $x^2+y^2-\sin xy+e^x-1=0$ 在 $(0,0)$ 附近确定 $y=y(x)$，求 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$。

令 $F(x,y)=x^2+y^2-\sin xy+e^x-1$

• $F(0,0)=0+0-0+1-1=0$ ✓
• $F_y^{\prime }=2y-x\cos xy$，$F_y^{\prime }(0,0)=0$ ❌ — 条件不满足！

此题 $F_y^{\prime }(0,0)=0$，隐函数存在定理不适用。可能是切线垂直的情况。

例 2：$y=x^2+\sin e^y\cdots$（实际题目见 PPT），直接公式法即可。

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二、$F(x,y,z)=0$ → 二元隐函数

一个三元方程确定一个二元隐函数 $z=z(x,y)$。

存在定理

若 $F(x,y,z)$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域内满足：

1. 具有连续偏导数
2. $F(x_0,y_0,z_0)=0$
3. $\boxed{F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0}$

则方程 $F(x,y,z)=0$ 唯一确定 $z=f(x,y)$，且：

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}}\boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}}$$

推导法

方程两边对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数，$z$ 是 $x,y$ 的函数）：

$F_x^{\prime }+F_z^{\prime }\frac{\partial z}{\partial x}=0$ ⇒ $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$

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例 5（典型）：$f(x-y,y-z,z-x)=0$ 确定 $z=z(x,y)$，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$。

法一（推导法）：方程两边对 $x$ 求偏导。

设 $u=x-y,v=y-z,w=z-x$。$f(u,v,w)=0$。

$\frac{\partial f}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot 1+f_2^{\prime }\cdot (-\frac{\partial z}{\partial x})+f_3^{\prime }\cdot (\frac{\partial z}{\partial x}-1)=0$

⇒ $f_1^{\prime }-f_3^{\prime }+(f_3^{\prime }-f_2^{\prime })\frac{\partial z}{\partial x}=0$

⇒ $\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{f_3^{\prime }-f_1^{\prime }}{f_3^{\prime }-f_2^{\prime }}}$

同理对 $y$ 求偏导可得 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f_1^{\prime }-f_2^{\prime }}{f_3^{\prime }-f_2^{\prime }}$。

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三、方程组 → 雅可比行列式 ⭐

情形：两个方程三个变量 → 两个一元隐函数

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=y(x)\\ z=z(x)\end{array}$$

存在定理（重要）

若 $F,G$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 满足：

1. 有一阶连续偏导
2. $F(P_0)=0,G(P_0)=0$
3. 雅可比行列式非零：$\boxed{J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_y^{\prime }& F_z^{\prime }\\ G_y^{\prime }& G_z^{\prime }\end{array}\right|\ne 0}$

则方程组唯一确定 $y=y(x),z=z(x)$，且：

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{J}\left|\begin{array}{cc}{F}_x^{\prime }& F_z^{\prime }\\ G_x^{\prime }& G_z^{\prime }\end{array}\right|}\boxed{\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{J}\left|\begin{array}{cc}{F}_y^{\prime }& F_x^{\prime }\\ G_y^{\prime }& G_x^{\prime }\end{array}\right|}$$

🧠 记忆法：分母永远是原雅可比 $J=\left|\begin{array}{cc}{F}_y^{\prime }& F_z^{\prime }\\ G_y^{\prime }& G_z^{\prime }\end{array}\right|$。分子是把分母中要求导的那个变量对应的列替换为 $[F_x^{\prime }{G}_x^{\prime }{]}^T$（求 $\frac{dy}{dx}$ 替换第一列 $y$，求 $\frac{dz}{dx}$ 替换第二列 $z$）。负号不变。

推导法（推荐）：方程组两边同时对 $x$ 求导，得到关于 $y^{\prime },z^{\prime }$ 的二元一次方程组：

$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }+F_y^{\prime }{y}^{\prime }+F_z^{\prime }{z}^{\prime }=0\\ G_x^{\prime }+G_y^{\prime }{y}^{\prime }+G_z^{\prime }{z}^{\prime }=0\end{array}$$

解这个方程组即得 $y^{\prime },z^{\prime }$（Cramer 法则自动给出上述行列式形式）。

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例（典型）：

$$\{\begin{array}{l}{e}^{x+y+z}=0\\ x+y-{\int }_0^{x+y}\sin t^{2}dt=0\end{array}$$

确定 $y=y(x),z=z(x)$，求 $\frac{dz}{dx}{|}_{x=0}$。

推导法：两方程两边对 $x$ 求导。

(1) $e^{x+y+z}(1+y^{\prime }+z^{\prime })=0$ ⇒ $1+y^{\prime }+z^{\prime }=0$（因 $e^{x+y+z}\ne 0$）

(2) $1+y^{\prime }-\sin (x+y{)}^2\cdot (1+y^{\prime })=0$ ⇒ $(1+y^{\prime })[1-\sin (x+y{)}^2]=0$

由 (2)：$1+y^{\prime }=0$（因为 $1-\sin (x+y{)}^2\ne 0$ 一般成立）⇒ $y^{\prime }=-1$

代入 (1)：$1+(-1)+z^{\prime }=0$ ⇒ $\boxed{z^{\prime }=0}$

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四、考研题型

题（考研）：$z=xf(x+y),F(x,y,z)=0$ 确定 $y=y(x),z=z(x)$，求 $\frac{dz}{dx}$。

方程组两边对 $x$ 求导：

(1) $z^{\prime }=f(x+y)+x{f}^{\prime }(x+y)(1+y^{\prime })$

(2) $F_x^{\prime }+F_y^{\prime }{y}^{\prime }+F_z^{\prime }{z}^{\prime }=0$

解二元一次方程组（代入法或 Cramer 法则）。

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