§8.1 多元函数（一）：概念与极限

Why 这一章：从一元到二元是”质变”——一元极限只有左右两个方向，二元极限要求动点以任意方式趋近时都趋于同一值，难度陡增。 本章策略：以二元函数为主，二元以上可直接类推（量变）。

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§8.1.1 二元函数的基本概念

为什么要学平面点集？

一元函数的定义域很简单——开区间/闭区间。但二元函数 $z=f(x,y)$ 的定义域是平面上的区域。

例：$y=x^2$ 在 $(0,1)$ 上没有最值，在 $[0,1]$ 上有最值。定义域的”开闭”直接影响函数性质。

为了描述二元函数定义域的”开闭”、“边界”、“连通性”，需要引入：邻域、内点、外点、边界点、聚点。

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1. 邻域

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $xOy$ 面上的点，$\delta >0$：

邻域 $O(P_0,\delta )$：与 $P_0$ 的距离小于 $\delta$ 的所有点。

$$\boxed{O(P_0,\delta )=\{(x,y)\mid \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta \}}$$

🧠 几何：以 $P_0$ 为圆心、$\delta$ 为半径的开圆盘（不含圆周）。

去心邻域 $O^{\circ }(P_0,\delta )$：邻域去掉中心点 $P_0$ 本身。

$$O^{\circ }(P_0,\delta )=\{P\mid 0<|P{P}_0|<\delta \}$$

去心邻域在极限定义中至关重要——我们关心”趋近”时的行为，而不关心该点本身的值。

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2. 内点、外点、边界点、聚点

设点集 $E$ 和点 $P$：

类型	定义	归属
内点	$\exists O(P)\subset E$（某邻域全在 $E$ 内）	$\in E$
外点	$\exists O(P)\cap E=\varnothing$（某邻域全不在 $E$ 内）	$\notin E$
边界点	$\forall O(P)$ 既含 $E$ 的点也含非 $E$ 的点	可能 $\in E$ 也可能 $\notin E$
聚点	$\forall O^{\circ }(P)$ 含 $E$ 的点（去心邻域总有 $E$ 的点）	可能 $\in E$ 也可能 $\notin E$

⚠️ 四种点是两两互斥的吗？不！内点/外点/边界点两两互斥（三者覆盖全平面），但聚点是另一个维度——内点一定是聚点，边界点也可能是聚点。

🧠 直觉：想象一片湖区——内点是湖心（四面是水），外点是深山（四面是旱地），边界点是湖岸线（一脚水一脚旱），聚点是”不管多小的圆都碰到湖水”。

📌 重要例子：$f(x,y)=\frac{\sin (x+y)}{x+y}$ 在 $(0,0)$ 无定义，但 $(0,0)$ 是定义域的聚点——所以可以讨论 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$。

魏尔斯特拉斯聚点定理（了解）：有界无穷点集必有至少一个聚点。

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3. 开集、闭集、区域

概念	定义	例子
开集	所有点都是内点（无边界点）	$\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$
闭集	包含其所有边界点	$\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$
（开）区域	开集 + 任意两点可用 $\subset E$ 的折线连接	圆盘内部
闭区域	开区域 + 其边界	含边界的圆盘

🧠 连通性：开区域要求是”一整块”，不能是两片分离的开集之和。

单连通 vs 多连通：

• 单连通区域：区域内任一闭曲线所围部分全属于区域（“没洞”）
• 多连通区域：存在闭曲线所围部分不属于区域（“有洞”）

例：$\{(x,y)\mid 1<x^2+y^2<4\}$ 是圆环 → 多连通（中间的洞 $x^2+y^2\le 1$ 不属于区域）。

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4. 有界集与无界集

$E$ 为有界集 ⇔ 存在 $r>0$，使 $E\subseteq O(O,r)$（存在一个大圆盘能盖住整个 $E$）。否则为无界集。

例：$\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$ 有界；$\{(x,y)\mid y>0\}$（上半平面）无界。

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5. 二元函数的定义

设 $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$。对于 $D$ 中每个 $(x,y)$，按规则 $f$ 唯一确定一个 $z$，则称 $z=f(x,y)$ 为二元函数。

• $x,y$ — 自变量
• $z$ — 因变量
• $D$ — 定义域
• $f(D)=\{z\mid z=f(x,y),(x,y)\in D\}$ — 值域

图形：二元函数 $z=f(x,y)$ 的图形是空间中的一张曲面。

🧠 空间想象：定义域 $D$ 是 $xOy$ 面上的区域——对 $D$ 中每个点，竖起一个高度 $z=f(x,y)$，所有点连成一张”悬在空中的曲面”。$z=x^2+y^2$ 是最简单的例子——抛物面碗。

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§8.1.2 二元函数的极限

从一元到二元的推广

	一元函数 $f(x)$	二元函数 $f(x,y)$
直观	$x$ 与 $x_0$ 的距离任意小 ⇒ $f(x)$ 与 $A$ 的距离任意小	$(x,y)$ 与 $(x_0,y_0)$ 的距离任意小 ⇒ $f(x,y)$ 与 $A$ 的距离任意小
ε-δ 定义	∀ε>0, ∃δ>0, 当 $0<\Vert x-x_0\Vert <\delta$ 时, $\Vert f(x)-A\Vert <\epsilon$	∀ε>0, ∃δ>0, 当 $0<\Vert P{P}_0\Vert <\delta$ 时, $\Vert f(P)-A\Vert <\epsilon$
趋近方式	只需沿 $x$ 轴 → 两个方向（左右极限）	可以在平面上 → 无穷多个方向！

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二重极限的精确定义（ε-δ）

设 $z=f(x,y)$ 定义域为 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点。若存在常数 $A$，使得：

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{当 }0<|P{P}_0|<\delta \text{时},|f(P)-A|<\epsilon$$

则称 $A$ 为 $f$ 在 $P_0$ 的二重极限（二重极限）：

$$\boxed{\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A}\text{或}\boxed{\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A}$$

📌 注：$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }$ 不等于 $\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }$（累次极限）！两者含义不同，本章只讨论二重极限。 用 ε-δ 证明极限不做要求，重点在求极限和判定极限不存在。

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🔴 最大不同点：趋近方式的无穷性

一元函数：$x\to x_0$ 只有两个方向（左、右），左右极限相等即极限存在。

二元函数：$P\to P_0$ 有无穷多个方向（$y=kx$ 是直线方向，$y=x^2$ 是抛物线方向……）。

🚨 核心判定方法：如果 $P$ 沿两条不同路径趋近 $P_0$ 时，函数的极限值不同，则二重极限不存在。

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与一元极限的异同

	相同点 ✅	不同点 ❌
性质	唯一性、有界性、保序性	无左/右极限概念
运算法则	和差积商（分母≠0）类似	—
准则	夹逼准则可用	—
趋近	—	一元只有 ± 两方向；二元是平面上的所有路径

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📌 经典反例：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 的极限

⭐ 考试重点：这个函数是所有判定”极限不存在”的标杆。

分析：沿不同直线 $y=kx$ 趋近 $(0,0)$：

$$f(x,kx)=\frac{x\cdot kx}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$$

结论：

• 沿 $y=0$（$k=0$）：极限 $=0$
• 沿 $y=x$（$k=1$）：极限 $=\frac{1}{2}$
• 沿 $y=2x$（$k=2$）：极限 $=\frac{2}{5}$

沿不同路径极限不同 ⇒ 二重极限不存在 ❌。

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同类型反例：$f(x,y)=\frac{xy}{x^4-y^2}$ 在 $(0,0)$ 也不存在（沿 $y=kx$ 和 $y=x^2$ 得到不同值）。

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判定极限不存在的通用方法

若 $P$ 沿不同路径（$y=kx$、$y=x^2$、$x=ky$ 等）趋于 $P_0$ 时函数趋于不同值，或某条路径极限不存在，则二重极限不存在。

⚠️ 注意：沿所有直线方向极限都等于同一值，仍不能断定极限存在！还需要考察曲线路径（如抛物线 $y=x^2$）。

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求极限的基本方法

1. 直接代入（连续点）— 如果 $(x_0,y_0)$ 在定义域内且函数在该点连续
2. 夹逼准则 — 放缩后引用已知极限
3. 极坐标换元 — 令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，$(x,y)\to (0,0)⟺r\to 0$
4. 转化为一元极限 — 利用绝对值不等式或变量替换

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本章思维导图

多元函数微分学（第8章）
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├─ §8.1 概念与极限 ← 本节
│   ├─ 平面点集：邻域→内点/外点/边界点/聚点
│   ├─ 区域类型：开/闭 单连通/多连通 有界/无界
│   ├─ 二元函数：定义域 ⊂ ℝ²，图形是空间曲面
│   ├─ 二重极限：ε-δ 定义
│   ├─ 与一元极限异同：重点在"任意路径"
│   ├─ 判定不存在：沿不同路径得不同值
│   └─ 求极限方法：代入/夹逼/极坐标/变量替换
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├─ §8.2 偏导数（待续）
└─ §8.3 全微分（待续）

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核心公式与概念速查

概念	关键表述
邻域 $O(P_0,\delta )$	$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$，几何 = 开圆盘
去心邻域 $O^{\circ }(P_0,\delta )$	$0<\Vert P{P}_0\Vert <\delta$
内点	存在全在 $E$ 内的邻域
边界点	任意邻域既含 $E$ 的点也含非 $E$ 的点
聚点	任意去心邻域都有 $E$ 的点
开区域 = 连通开集	无边界 + 一整块
闭区域 = 开区域 + 边界	加上了”外皮”
单连通	没洞（任意闭曲线内全在区域中）
有界集	能被大圆盘盖住
二重极限	$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$（ε-δ 定义）
极限不存在判据	不同路径得不同值