§8.1(续) 二元函数的极限求法与连续性

§8.1(续) 二元函数极限求法与连续性

四种求极限方法 · 两种常见错误 · 连续的定义与判定 · 有界闭区域的性质

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一、二元函数求极限的方法

方法 1：转化为一元函数极限（变量替换）

当二元函数的表达式可以通过变量替换化为单个变量时，直接转化为一元极限。

例 1：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sin (x+y)}{x+y}$

令 $t=x+y$，则 $(x,y)\to (0,0)$ 时 $t\to 0$：

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sin (x+y)}{x+y}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=\boxed{1}$$

例 2：$\underset{(x,y)\to (0,2)}{\lim }(1+\sin xy{)}^{\frac{1}{xy}}$

令 $t=xy$，则 $(x,y)\to (0,2)$ 时 $t\to 0$：

$$\underset{(x,y)\to (0,2)}{\lim }(1+\sin xy{)}^{\frac{1}{xy}}=\underset{t\to 0}{\lim }(1+\sin t{)}^{\frac{1}{t}}$$

取对数或用标准极限 ${\lim }_{t\to 0}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$，得 $\boxed{e}$。

🧠 使用条件：$x,y$ 同时出现在同一个表达式中，且可以用一个中间变量完全替代。

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方法 2：夹逼准则 ⭐（考点）

核心原理：

$$\boxed{\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A⟺\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }|f(x,y)-A|=0}$$

即：要证明极限等于 $A$，只需证明 $|f-A|$ 可以放缩为一个趋于 0 的量。

操作步骤：

1. 猜出极限值 $A$（通常为 0，或用累次极限先试探）
2. 放缩 $|f(x,y)-A|\le g(x,y)$，其中 $\lim g(x,y)=0$
3. 夹逼得出 $\lim |f-A|=0$ ⇒ $\lim f=A$

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例 3：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

放缩：$|xy|\le \frac{x^2+y^2}{2}$（均值不等式）

$$0\le \left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\le \frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\to 0$$

由夹逼准则，$\boxed{\lim =0}$。

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方法 3：极坐标换元（注意陷阱！）

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。$(x,y)\to (0,0)$ 等价于 $r\to 0$（$\theta$ 任意）。

⚠️ 极坐标的陷阱：换元后若表达式依赖 $\theta$，不能直接把 $r\to 0$ 作为结论——必须先处理 $\theta$！

正确的极坐标用法：换元后把含 $\theta$ 的因子放缩为有界量，再用 $r\to 0$ 夹逼。

例 4：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}$

极坐标：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

$$\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}=\frac{r^3{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2}=r{\cos }^2\theta \sin \theta$$

$|{\cos }^2\theta \sin \theta |\le 1$（有界），$r\to 0$

⇒ $\boxed{\lim =0}$

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方法 4：等价无穷小代换

与一元函数完全相同。常用等价无穷小（在 $(0,0)$ 附近）：

等价	条件
$\sin u\sim u$	$u\to 0$
$\ln (1+u)\sim u$	$u\to 0$
$e^u-1\sim u$	$u\to 0$
$1-\cos u\sim \frac{1}{2}{u}^2$	$u\to 0$

其中 $u$ 可以是 $x+y$、$xy$、$x^2+y^2$ 等在 $(0,0)$ 处趋于 0 的表达式。

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二、两种常见致命错误 🚨

错误 1：极坐标后直接令 $r\to 0$ 而忽略 $\theta$

错误做法：

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x+y}$，令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$：

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{r^2\cos \theta \sin \theta }{r(\cos \theta +\sin \theta )}=\frac{r\cos \theta \sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }$$

❌ 错误结论：”$r\to 0$ 所以极限 $=0$。”

问题在哪？ 当 $\cos \theta +\sin \theta =0$（即 $\theta =-\pi /4$ 或 $3\pi /4$）时分母为 0，极坐标换元无效——而这时恰好对应路径 $y=-x$。沿 $y=-x$（除原点）函数无定义，沿 $y=-x+k{x}^2$ 趋近时极限可能不同。

📌 教训：极坐标换元后，必须先验证 $\theta$ 能否被有界量控制住，不能只看 $r$。

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另一个反例：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$

沿 $y=k{x}^2$：$\frac{x^2\cdot k{x}^2}{x^4+k^2{x}^4}=\frac{k}{1+k^2}$，不同 $k$ 不同值 → 极限不存在。

但极坐标后会得到 $r\cdot \frac{{\cos }^2\theta \sin \theta }{{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }$——$\theta$ 因子当 $\theta \to \pi /2$ 时发散，无法放缩。

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错误 2：用累次极限替代二重极限

	记号	含义
二重极限	$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }$	$(x,y)$ 以任意方式同时趋近
累次极限	$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }$	先固定 $x$ 让 $y$ 趋于 $y_0$，再让 $x$ 趋于 $x_0$

🚨 二重极限 ≠ 累次极限！ 两者是独立概念。

关键关系：如果二重极限和两个累次极限都存在，则三者相等。但如果二重极限不存在，累次极限可能仍然存在，不能用来算二重极限。

反例：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$。

• ${\lim }_{x\to 0}{\lim }_{y\to 0}\frac{xy}{x^2+y^2}={\lim }_{x\to 0}0=0$
• ${\lim }_{y\to 0}{\lim }_{x\to 0}\frac{xy}{x^2+y^2}={\lim }_{y\to 0}0=0$
• 但 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在！

📌 实用价值：夹逼时可以用累次极限先”猜出”极限值，再用夹逼证明。

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三、二元函数的连续性

定义

$f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若：

$$\boxed{\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)}$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 连续。

等价形式（全增量趋于 0）：

$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\Delta z=0,\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

在区域上连续：若 $f$ 在区域 $D$ 内每一点都连续（闭区域还要求在边界点连续）。

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例 5：证明 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x{y}^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$ 在原点连续。

需要证明 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x{y}^2}{x^2+y^2}=0=f(0,0)$。

放缩：$|x|y^2\le |x|(x^2+y^2)$（因为 $y^2\le x^2+y^2$）

$$0\le \left|\frac{x{y}^2}{x^2+y^2}\right|\le \frac{|x|(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=|x|\to 0$$

由夹逼准则，极限 $=0=f(0,0)$ ⇒ 在原点连续 ✓。

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多元初等函数的连续性（与一元类似）

性质	内容
四则运算	连续函数的和/差/积/商（分母≠0）仍连续
复合函数	连续函数的复合仍连续
多元初等函数	在定义区域内处处连续
极限即函数值	$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=f(P_0)$（$P_0$ 在定义区域内）

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有界闭区域上连续函数的性质（与一元类似）

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则：

定理	内容
有界性定理	$f$ 在 $D$ 上有界
最值定理	$f$ 在 $D$ 上必能取到最大值和最小值
介值定理	$f$ 取到介于最大值和最小值之间的任何值

📌 这些与闭区间上一元连续函数的性质完全对应——有界闭区域就是三维空间中”紧致集”的特例，性质自然保留。

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例 6（综合）：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^2+y^2}\sin t^{2}dt}{(x^2+y^2{)}^2}$

令 $u=x^2+y^2$，则 $(x,y)\to (0,0)⟺u\to 0^{+}$。

$$\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^u\sin t^{2}dt}{u^2}\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin u^2}{2u}=\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{u^2}{2u}=\boxed{0}$$

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核心速查

方法	适用场景	关键步骤
变量替换 → 一元	$x,y$ 在同一个式子中	令 $t=\cdots$ 化为一元标准极限
夹逼	难以直接计算，猜想极限为 0	$0\le \Vert f\Vert \le g\to 0$ ⇒ $\lim f=0$
极坐标 + 夹逼	$(x,y)\to (0,0)$ 型	$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，放缩 $\theta$ 因子
等价无穷小	含有标准等价形式	与一元规则相同

⚠️ 易错	说明
极坐标忽略 $\theta$	换元后需验证 $\theta$ 因子有界
累次极限 = 二重极限	❌ 错误！反例 $xy/(x^2+y^2)$
沿所有直线相等 = 存在	❌ 不够！还需检查曲线路径