§7.5 二次曲面的标准型

§7.5.1 坐标变换（平移/旋转）· 截痕法 · 伸缩法 六种标准二次曲面：椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面

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§7.5.1 坐标变换

1. 坐标平移

把坐标轴平移，使新原点在 $O^{\prime }(x_0,y_0,z_0)$：

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+x_0\\ y=y^{\prime }+y_0\\ z=z^{\prime }+z_0\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-x_0\\ y^{\prime }=y-y_0\\ z^{\prime }=z-z_0\end{array}$$

用途：化曲面方程为标准型（消去一次项）。

例：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=1$ 平移后 $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=1$（单位球面）。

2. 坐标旋转（了解）

坐标系绕原点旋转角度 $\theta$，新旧坐标关系：

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta \end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \theta +y\sin \theta \\ y^{\prime }=-x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$$

用途：消去交叉项（如 $xy$ 项）。

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二次曲面的定义

三元二次方程 $F(x,y,z)=0$ 所表示的曲面称为二次曲面（平面称为一次曲面）。

核心任务：了解二次曲面的标准方程所表示的曲面形状。

两种方法：截痕法 · 伸缩法

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方法一：截痕法

思路

用平面 $z=t$（或 $x=t$, $y=t$）截曲面 $F(x,y,z)=0$，所得的交线称为截痕。通过观察截痕随 $t$ 的变化来了解曲面形状。

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六种标准二次曲面

(1) 椭圆锥面

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2}$$

截痕法分析：

以 $z=t$ 截曲面：

• $t=0$：一点 $(0,0,0)$（顶点）
• $t\ne 0$：椭圆 $\frac{x^2}{(a|t|{)}^2}+\frac{y^2}{(b|t|{)}^2}=1$，半轴与 $|t|$ 成正比

截面椭圆随 $|z|$ 增大而线性扩大，形如两个尖顶对合的锥。

特殊情形：$a=b$ 时为圆锥面 $x^2+y^2=a^2{z}^2$。

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(2) 椭圆抛物面

$$\boxed{z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$$

截痕法分析：

• 以 $z=t$（$t>0$）截：椭圆 $\frac{x^2}{a^{2}t}+\frac{y^2}{b^{2}t}=1$，半轴 $\propto \sqrt{t}$
• 以 $z=0$ 截：一点（原点）
• 以 $z=t$（$t<0$）：无交点（开口朝上）

$a=b$ 时是旋转抛物面。

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(3) 双曲抛物面（马鞍面）

$$\boxed{z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}$$

或写为 $z=xy$（旋转 45° 后）。

截痕法分析：

• 以 $z=t>0$ 截：双曲线 $\frac{x^2}{a^{2}t}-\frac{y^2}{b^{2}t}=1$（实轴为 $x$ 轴）
• 以 $z=t<0$ 截：双曲线 $\frac{x^2}{a^2|t|}-\frac{y^2}{b^2|t|}=-1$（实轴为 $y$ 轴）
• 以 $z=0$ 截：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$，即 $y=\pm \frac{b}{a}x$（两条相交直线）

形状像马鞍，沿 $x$ 方向向上弯、沿 $y$ 方向向下弯（或反之）。

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方法二：伸缩法

思路

有些二次曲面可通过标准曲面沿坐标轴方向伸缩得到。

例：圆 $x^2+y^2=1$ 沿 $x$ 轴伸长 2 倍 ⇒ 椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

一般规律：将 $x$ 替换为 $x/\lambda$，即沿 $x$ 轴伸缩 $\lambda$ 倍（$\lambda >1$ 伸长，$0<\lambda <1$ 压缩）。

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(4) 椭球面

构造路径：

1. $zOx$ 面上椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转 ⇒ 旋转椭球面 $\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
2. 沿 $y$ 轴伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍（$y\to \frac{a}{b}y$）⇒

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1}$$

截痕特征：三个坐标平面截得三组椭圆（或 $a=b$ 时为圆）。

$a=b=c$ 时为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。

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(5) 单叶双曲面

构造路径：

1. $zOx$ 面上双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转 ⇒ 单叶旋转双曲面 $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
2. 沿 $y$ 轴伸缩 $\frac{b}{a}$ 倍 ⇒

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1}$$

截痕特征：

• $z=0$：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（“腰”最小截面）
• $z=t$：椭圆 $\frac{x^2}{a^2(1+t^2/c^2)}+\frac{y^2}{b^2(1+t^2/c^2)}=1$，随 $|z|$ 增大

形如”连通管”或”沙漏”，只有一个连通分支。

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(6) 双叶双曲面

构造路径：

1. $zOx$ 面上双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕实轴 $x$ 旋转 ⇒ 双叶旋转双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$
2. 沿 $y$ 轴和 $z$ 轴伸缩 ⇒

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1}$$

截痕特征：

• $x=t$（$|t|<a$）：无交点
• $x=\pm a$：一点（顶点）
• $x=t$（$|t|>a$）：椭圆

两片分离的曲面，沿 $x$ 轴两侧各一片。

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六种标准二次曲面总览

#	名称	标准方程	对称性	类型
1	椭球面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	三轴对称	闭曲面
2	单叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	三轴对称	连通
3	双叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	三轴对称	两片
4	椭圆锥面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$	$z$ 轴对称	锥
5	椭圆抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	$z$ 轴对称	无界
6	双曲抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	马鞍形	无界

记忆口诀：全正椭球、一负单叶、两负双叶、齐次为锥、一次为 $z$ 抛物面。

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例题精讲

例题 1：旋转体体积（考研）

已知 $A(1,0,0)$，$B(0,1,1)$，线段 $AB$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$。求由 $S$ 及两平面 $z=0$，$z=1$ 所围成的立体体积。

解：

第一步：$AB$ 的参数方程。

方向向量 $\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$，$A(1,0,0)$：

$$\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=t\\ z=t\end{array}(0\le t\le 1)$$

或表示为 $x=1-z,y=z$（因为 $z=t$）。

第二步：绕 $z$ 轴旋转所得曲面方程。

旋转曲面方程：$x^2+y^2=[1-z{]}^2+[z{]}^2=(1-z{)}^2+z^2=1-2z+2z^2$

即 $S:x^2+y^2=2z^2-2z+1$

第三步：体积 = 旋转体截面面积积分。

截面是圆，半径平方 $R^2(z)=2z^2-2z+1$。

$$V=\pi {\int }_0^1{R}^2(z)dz=\pi {\int }_0^1(2z^2-2z+1)dz$$ $$=\pi {\left[\frac{2}{3}{z}^3-z^2+z\right]}_0^1=\pi \left(\frac{2}{3}-1+1\right)=\boxed{\frac{2\pi }{3}}$$

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例题 2（例 10）：投影曲线与投影区域

已知两曲面 $z=2x^2+y^2$ 与 $z=4-x^2-3y^2$。求：(1) 交线在 $xOy$ 面的投影曲线；(2) 立体在 $xOy$ 面的投影区域。

解：

第一步：联立消 $z$。

$$2x^2+y^2=4-x^2-3y^2⟹3x^2+4y^2=4$$

第二步：投影曲线为 $\boxed{\{\begin{array}{l}3x^2+4y^2=4\\ z=0\end{array}}$

第三步：投影区域为 $\boxed{3x^2+4y^2\le 4}$，即椭圆 $\frac{x^2}{4/3}+\frac{y^2}{1}\le 1$。

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思考题

求曲面 $x^2+y^2+z^2=z$ 围成的立体体积。

提示：配方化为 $(x^2+y^2+(z-\frac{1}{2}{)}^2)=\frac{1}{4}$，即球心 $(0,0,\frac{1}{2})$、半径 $\frac{1}{2}$ 的球面。体积 $V=\frac{4}{3}\pi (\frac{1}{2}{)}^3=\frac{\pi }{6}$。

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公式速查

方法	操作	适用
截痕法	用 $z=t$ 等平面截曲面，观察截痕	所有二次曲面
伸缩法	从旋转曲面沿坐标轴伸缩	椭球面、单/双叶双曲面
坐标平移	$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+x_0\\ y=y^{\prime }+y_0\\ z=z^{\prime }+z_0\end{array}$	化去一次项
坐标旋转	旋转 $\theta$ 角	化去交叉项（了解）

二次曲面	标准方程	特征
椭球面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	全正，闭曲面
单叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	一负，连通
双叶双曲面	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	两负，两片
椭圆锥面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$	齐次，$z^2$ 端
椭圆抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	$z$ 一次，同号
双曲抛物面	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	$z$ 一次，异号