§7.4 曲面与曲线

§7.4.1 曲面方程 · §7.4.2 旋转曲面 ⭐ · §7.4.3 柱面与锥面 §7.4.4 曲线方程 · §7.4.5 投影柱面与投影曲线

---

§7.4.1 曲面方程

在空间中，称方程 $F(x,y,z)=0$ 表示的图形为曲面。

若曲面 $\Sigma$ 与方程 $F(x,y,z)=0$ 满足：

1. $\Sigma$ 上任一点的坐标都满足方程
2. 不在 $\Sigma$ 上的点的坐标都不满足方程

则方程叫做 $\Sigma$ 的方程，$\Sigma$ 叫做方程的图形。

考试重点：旋转曲面和柱面是两类最常见的曲面。

---

§7.4.2 旋转曲面 ⭐

定义

一条曲线绕某直线旋转而成的曲面称为旋转曲面。该曲线为母线，该直线为旋转轴。

三维特征（求方程的依据）

1. 旋转曲面上任一点都与母线上一点对应
2. 旋转曲面上任一点的轨迹是一个圆（垂直于轴的截面截痕为圆）—— 两点到旋转轴的距离相等
3. 对应点的连线与旋转轴垂直

核心公式：坐标面上的曲线绕坐标轴旋转

$yOz$ 面上曲线 $L:F(y,z)=0$ 绕 $z$ 轴旋转一周：

$$\boxed{F(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0}$$

推导：设 $M(x,y,z)$ 是曲面上任一点，对应母线点 $M_1(0,y_1,z_1)$：

1. 到 $z$ 轴距离相等：$\sqrt{x^2+y^2}=|y_1|$ ⇒ $y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}$
2. 高度相同：$z_1=z$
3. $M_1$ 在母线上：$F(y_1,z_1)=0$

代入即得。$\square$

替换速查表：

母线所在面	绕轴	替换规则
$yOz$: $F(y,z)=0$	绕 $z$	$y\to \pm \sqrt{x^2+y^2}$
$yOz$: $F(y,z)=0$	绕 $y$	$z\to \pm \sqrt{x^2+z^2}$
$xOy$: $F(x,y)=0$	绕 $x$	$y\to \pm \sqrt{y^2+z^2}$
$xOy$: $F(x,y)=0$	绕 $y$	$x\to \pm \sqrt{x^2+z^2}$
$zOx$: $F(z,x)=0$	绕 $z$	$x\to \pm \sqrt{x^2+y^2}$
$zOx$: $F(z,x)=0$	绕 $x$	$z\to \pm \sqrt{y^2+z^2}$

口诀：绕哪根轴，哪个坐标不变；另一坐标换成 $\pm \sqrt{\text{其他两坐标平方和}}$。

常见旋转曲面（表 7.1）

名称	母线	旋转轴	方程
圆锥面	$z=ky$（直线）	$z$	$z^2=k^2(x^2+y^2)$
旋转抛物面	$z=a{y}^2$（抛物线）	$z$	$z=a(x^2+y^2)$
旋转椭球面	$\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	$z$	$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
单叶旋转双曲面	双曲线绕虚轴	$z$	$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
双叶旋转双曲面	双曲线绕实轴	$y$	$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2+z^2}{c^2}=1$

直线绕轴旋转

直线 $L:\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$ 绕 $z$ 轴旋转：

以 $z$ 为参数解出 $x=x(z),y=y(z)$，则旋转曲面方程为：

$$x^2+y^2=[x(z){]}^2+[y(z){]}^2$$

---

§7.4.3 柱面与锥面

柱面

直线沿定曲线平行移动形成的轨迹叫做柱面。动直线→母线，定曲线→准线。

⚠️ 柱面 ≠ 仅圆柱面！准线是直线时，柱面就是经过直线的平面。

特殊情况（考试重点）——准线在坐标面上，母线平行于与该面垂直的坐标轴：

方程	含义
$F(x,y)=0$（缺 $z$）	母线 $\parallel z$ 轴
$F(y,z)=0$（缺 $x$）	母线 $\parallel x$ 轴
$F(x,z)=0$（缺 $y$）	母线 $\parallel y$ 轴

识别口诀：方程中缺少哪个变量，母线就平行于哪根轴。

常见柱面（表 7.2）：

名称	方程	母线方向
圆柱面	$x^2+y^2=R^2$	$\parallel z$
椭圆柱面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\parallel z$
抛物柱面	$y=x^2$	$\parallel z$
双曲柱面	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\parallel z$

锥面

直线保持过定点且沿定曲线运动 → 锥面。定点为顶点，曲线为准线。

重要性质（考研）：$F(x,y,z)=0$ 是 $n$ 次齐次方程（即 $F(tx,ty,tz)=t^{n}F(x,y,z)$）⇔ 表示以原点为顶点的锥面。

理由：曲面上任一点与原点的连线仍在曲面上。

常见锥面：圆锥面 $z^2=k^2(x^2+y^2)$

---

§7.4.4 曲线方程

一般式（交面式）

空间曲线由两曲面相交得到：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}}$$

坐标面上的曲线特例：

方程组	含义
$\{\begin{array}{l}F(x,y)=0\\ z=0\end{array}$	$xOy$ 面上的曲线
$\{\begin{array}{l}F(x,z)=0\\ y=0\end{array}$	$zOx$ 面上的曲线
$\{\begin{array}{l}F(y,z)=0\\ x=0\end{array}$	$yOz$ 面上的曲线

参数式

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}(t\in I)}$$

求空间曲线的参数方程是考点也是难点。

经典例：圆柱螺旋线

$$\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=a\sin t\\ z=bt\end{array}(a,b>0)$$

曲线在圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 上，随 $t$ 增大螺旋上升。

圆锥螺旋线：$\{\begin{array}{l}x=t\cos t\\ y=t\sin t\\ z=t\end{array}$（在 $z^2=x^2+y^2$ 上）

---

§7.4.5 投影柱面与投影曲线 ⭐

定义

过曲线（准线）作母线垂直于某平面的柱面 → 投影柱面；投影柱面与该平面的交线 → 投影曲线。

在坐标面上的投影（考试重点）

设空间曲线 $L:\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$

在 $xOy$ 面上的投影：从方程组消去 $z$，得 $H(x,y)=0$：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}}$$

类推：

投影面	操作	最终形式
$xOy$	消 $z$	$\{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}$
$zOx$	消 $y$	$\{\begin{array}{l}R(x,z)=0\\ y=0\end{array}$
$yOz$	消 $x$	$\{\begin{array}{l}S(y,z)=0\\ x=0\end{array}$

投影区域：曲面中所有点在坐标面上的投影点的集合 = 两曲面交线的投影所围区域。

---

例题精讲

例题 1（例 7）：圆柱面交线

中心轴分别为 $y$ 轴、$z$ 轴，半径均为 $R$ 的两个圆柱面，相交在第一卦限部分的交线方程。

解：

圆柱 1（轴 $\parallel y$）：$x^2+z^2=R^2$

圆柱 2（轴 $\parallel z$）：$x^2+y^2=R^2$

交线：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{x}^2+z^2=R^2\\ x^2+y^2=R^2\end{array}(x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0)}$$

---

例题 2（例 9）：直线在平面上的投影直线

求直线 $l:\{\begin{array}{l}2x+3y-z=0\\ 4x+y+z=0\end{array}$ 在平面 $2x+3z-1=0$ 上的投影直线方程。

解：

第一步：求 $l$ 的方向向量 $\vec{s}=(2,3,-1)\times (4,1,1)=(4,-6,-10)\propto (2,-3,-5)$。

$\Pi$ 的法向量 ${\vec{n}}_{\Pi }=(2,0,3)$

过 $l$ 且 $\perp \Pi$ 的平面法向量：

$${\vec{n}}_1=\vec{s}\times {\vec{n}}_{\Pi }=(2,-3,-5)\times (2,0,3)=(-9,-16,6)$$

第二步：$l$ 上取一点。令 $z=0$：$2x+3y=0$, $4x+y=0$ ⇒ $(0,0,0)$

过该点的平面 ${\Pi }_1$：$-9x-16y+6z=0$

答案（投影直线 = ${\Pi }_1\cap \Pi$）：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}9x+16y-6z=0\\ 2x+3z-1=0\end{array}}$$

---

例题 3（例 10）：圆锥面与平面交线的投影

求圆锥面 $x^2+y^2=z^2$ 与以下平面的交线在 $zOx$ 面上的投影： (1) $y=0$；(2) $y=z-1$；(3) $y=4z-1$

解：

(1) 消 $y$：$x^2+0=z^2$ ⇒ $x=\pm z$

投影：$\boxed{\{\begin{array}{l}x=\pm z\\ y=0\end{array}}$（两条相交直线）

(2) 代入消 $y$：$x^2+(z-1{)}^2=z^2⟹x^2+z^2-2z+1=z^2⟹x^2=2z-1$

投影：$\boxed{\{\begin{array}{l}{x}^2=2z-1\\ y=0\end{array}}$（抛物线）

(3) 代入消 $y$：$x^2+(4z-1{)}^2=z^2⟹x^2+16z^2-8z+1=z^2$

$x^2+15z^2-8z+1=0⟹x^2+15(z-\frac{4}{15}{)}^2=\frac{1}{15}$

投影：$\boxed{\{\begin{array}{l}{x}^2+15(z-\frac{4}{15}{)}^2=\frac{1}{15}\\ y=0\end{array}}$（椭圆）

---

例题 4（例 11）：交线投影与投影区域

两曲面 $z=2x^2+y^2$ 和 $z=4-x^2-3y^2$，求：(1) 交线在 $xOy$ 面投影；(2) 所围立体在 $xOy$ 面的投影区域。

解：

第一步：两式相等消 $z$。

$2x^2+y^2=4-x^2-3y^2⟹3x^2+4y^2=4$

第二步：投影曲线。

$$\boxed{\{\begin{array}{l}3x^2+4y^2=4\\ z=0\end{array}}\text{即}\frac{x^2}{4/3}+\frac{y^2}{1}=1$$

第三步：投影区域（椭圆内部）。

$$\boxed{3x^2+4y^2\le 4}$$

---

补充：考研进阶方法

曲线绕任意轴旋转

曲线 $\Gamma :\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$ 绕直线 $l:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$：

设 $M(x,y,z)$ 为旋转曲面上任一点，$M_1(x_1,y_1,z_1)$ 为母线上对应点：

1. $|M_{0}M|=|M_0{M}_1|$（到定点等距）
2. $F(x_1,y_1,z_1)=0,G(x_1,y_1,z_1)=0$

消 $x_1,y_1,z_1$ 得曲面方程。

一般柱面方程求法

准线 $\Gamma :\{\begin{array}{l}F=0\\ G=0\end{array}$，母线方向 $\vec{v}=(a,b,c)$：

由 $\overrightarrow{\bar{M}M}\parallel \vec{v}$ 得：

$$\bar{x}=x-at,\bar{y}=y-bt,\bar{z}=z-ct$$

代入 $F(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=0,G(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=0$，消 $t$ 得柱面方程。

---

公式速查

曲面	方程特征	示例
旋转曲面	$F(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$	绕 $z$ 轴
柱面	缺一个变量	$x^2+y^2=R^2$（缺 $z$）
锥面	齐次方程	$x^2+y^2=z^2$

曲线	方程形式
交面式	$\{\begin{array}{l}F=0\\ G=0\end{array}$
参数式	$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$

投影类型	方法	结果
$xOy$ 面	消 $z$	$\{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}$
$zOx$ 面	消 $y$	$\{\begin{array}{l}R(z,x)=0\\ y=0\end{array}$
$yOz$ 面	消 $x$	$\{\begin{array}{l}S(y,z)=0\\ x=0\end{array}$