§7.3 平面与直线

一、平面方程（点法式/一般式/截距式/三点式/平面束） 二、直线方程（点向式/参数式/两点式/交面式） 三、位置关系与距离

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基本概念

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一、平面方程

1.1 点法式（方法一）

过定点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 且与法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ 垂直：

$$\boxed{A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\text{\hspace{1em}(7.9)}$$

注：与 $\vec{n}$ 平行的所有非零向量均可作法向量（不唯一）；由 $x,y,z$ 系数即可读出法向量。

1.2 三向量共面法（方法二，最常用）

过定点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 且与两不共线向量 $\vec{a},\vec{b}$ 平行：

$$\boxed{\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=0}\text{\hspace{1em}(7.10)}$$

1.3 三点式

过不共线三点 $A(x_1,y_1,z_1)$, $B(x_2,y_2,z_2)$, $C(x_3,y_3,z_3)$：

$$\boxed{\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0}\text{\hspace{1em}(7.11)}$$

1.4 截距式

三轴截距分别为 $a,b,c$（$abc\ne 0$）：

$$\boxed{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1}\text{\hspace{1em}(7.12)}$$

1.5 一般式

$$\boxed{Ax+By+Cz+D=0},\vec{n}=(A,B,C)$$

系数与位置关系：

1.6 平面束（方法四）

过直线 $l:\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$ 的平面束：

$$\boxed{A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0}$$

⚠️ 不含第二个平面本身。

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二、直线方程

2.1 点向式（对称式/标准式）

过 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$：

$$\boxed{\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}}\text{\hspace{1em}(7.13)}$$

方向向量不唯一；若某分量 $=0$，表示直线平行于对应坐标面。

2.2 参数式

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}(t\in \mathbb{R})}\text{\hspace{1em}(7.14)}$$

2.3 两点式

过 $M_1(x_1,y_1,z_1)$, $M_2(x_2,y_2,z_2)$：

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$

2.4 交面式（一般式）

两不同平面相交确定直线：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}}\text{\hspace{1em}(7.15)}$$

优点：简单直接；缺点：不够直观，需转为点向式。

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三、位置关系

3.1 两平面的关系

设 ${\Pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$, ${\vec{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$；${\Pi }_2$ 同理。

夹角（取不超过 $\frac{\pi }{2}$）：

$$\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$$

3.2 两直线的关系

$l_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$, ${\vec{s}}_1=(m_1,n_1,p_1)$，$M_1(x_1,y_1,z_1)\in l_1$

$l_2$ 同理。

共面/异面：

$$\begin{array}{rl}[{\vec{s}}_1{\vec{s}}_2\overrightarrow{M_1{M}_2}]=0& \Rightarrow \text{共面}\\ [{\vec{s}}_1{\vec{s}}_2\overrightarrow{M_1{M}_2}]\ne 0& \Rightarrow \text{异面（skew）}\end{array}$$

夹角：

$$\cos \theta =\frac{|{\vec{s}}_1\cdot {\vec{s}}_2|}{|{\vec{s}}_1||{\vec{s}}_2|}$$

$l_1\perp l_2⟺{\vec{s}}_1\cdot {\vec{s}}_2=0$；$l_1\parallel l_2⟺{\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2=\vec{0}$

3.3 直线与平面的关系

$l:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$, $\vec{s}=(m,n,p)$；$\Pi :Ax+By+Cz+D=0$, $\vec{n}=(A,B,C)$

夹角（直线与平面的夹角 = 直线与投影线的夹角）：

$$\boxed{\sin \phi =\frac{|\vec{s}\cdot \vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}}$$

投影直线方向向量：$(\vec{n}\times \vec{s})\times \vec{n}$

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四、距离公式

4.1 点到平面

$M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到 $\Pi :Ax+By+Cz+D=0$：

$$\boxed{d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$$

4.2 两平行平面间距离

${\Pi }_1:Ax+By+Cz+D_1=0$, ${\Pi }_2:Ax+By+Cz+D_2=0$：

$$\boxed{d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$$

4.3 点到直线

$M_0$ 到直线 $l$（方向向量 $\vec{s}$，$M\in l$）：

$$\boxed{d=\frac{|\overrightarrow{M{M}_0}\times \vec{s}|}{|\vec{s}|}}$$

4.4 异面直线距离

$$\boxed{d=\frac{|[{\vec{s}}_1{\vec{s}}_2\overrightarrow{M_1{M}_2}]|}{|{\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2|}}$$

几何意义：平行六面体体积 ÷ 底面平行四边形面积。

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五、例题精讲

例题 1：过原点且与已知向量平行的平面

平面过原点 $O$ 及点 $A(6,3,2)$，且与向量 $\vec{a}=(4,1,-2)$ 平行，求平面方程。

解：

第一步：两个在平面上的方向向量：$\overrightarrow{OA}=(6,3,2)$ 和 $\vec{a}=(4,1,-2)$。

第二步：求法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{OA}\times \vec{a}$。

$$\begin{array}{rl}\vec{n}& =\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 6& 3& 2\\ 4& 1& -2\end{array}\right|\\ & =\vec{i}(-6-2)-\vec{j}(-12-8)+\vec{k}(6-12)\\ & =(-8,20,-6)\propto (4,-10,3)\end{array}$$

第三步：过原点 $(0,0,0)$ 的点法式。

$$4(x-0)-10(y-0)+3(z-0)=0$$

答案：

$$\boxed{4x-10y+3z=0}$$

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例题 2：交面式 → 点向式 + 求与平面的交点

直线 $l:\{\begin{array}{l}x+y+z-2=0\\ 3x+2y+3z=0\end{array}$。求 (1) 点向式与参数式；(2) 与平面 $2x-y+z=0$ 的交点。

(1) 求点向式与参数式

解：

第一步：消元。

$(1)\times 3-(2)$：

$$3x+3y+3z-6-3x-2y-3z=0⟹y=6$$

$(2)-(1)\times 2$：

$$(3x+2y+3z)-(2x+2y+2z-4)=0⟹x+z+4=0⟹x=-z-4$$

第二步：令 $z=t$，得参数式：

$$x=-4-t,y=6,z=t$$

取点 $M_0(-4,6,0)$（$t=0$），方向向量 $\vec{s}=(-1,0,1)$。

点向式：

$$\boxed{\frac{x+4}{-1}=\frac{y-6}{0}=\frac{z}{1}}$$

（$y=6$ 固定，$n=0$ 表示直线平行于 $xOz$ 面）

(2) 求与平面的交点

代入参数式到 $2x-y+z=0$：

$$2(-4-t)-6+t=0⟹-8-2t-6+t=0⟹-t-14=0⟹t=-14$$ $$x=-4-(-14)=10,y=6,z=-14$$

答案：

$$\boxed{(10,6,-14)}$$

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例题 3：异面直线的公垂线

求异面直线 $l_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}$ 与 $l_2:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{3}$ 的公垂线方程。

解：

第一步：$l_1$: ${\vec{s}}_1=(1,1,-1)$, $M_1(1,0,0)$；$l_2$: ${\vec{s}}_2=(1,2,3)$, $M_2(0,1,0)$

第二步：公垂线方向向量 = ${\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2$。

$$\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 3\end{array}\right|=(5,-4,1)$$

第三步：含 $l_1$ 和 $\vec{n}$ 的平面 ${\Pi }_1$，法向量 ${\vec{n}}_1={\vec{s}}_1\times \vec{n}$，过 $M_1$。

$${\vec{n}}_1=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 5& -4& 1\end{array}\right|=(-3,-6,-9)\propto (1,2,3)$$

${\Pi }_1:1(x-1)+2(y-0)+3(z-0)=0$，即 $x+2y+3z=1$

第四步：含 $l_2$ 和公垂线的平面 ${\Pi }_2$，${\vec{n}}_2={\vec{s}}_2\times \vec{n}$，过 $M_2$。

$${\vec{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 3\\ 5& -4& 1\end{array}\right|=(14,14,-14)\propto (1,1,-1)$$

${\Pi }_2:1(x-0)+1(y-1)+(-1)(z-0)=0$，即 $x+y-z=1$

第五步：公垂线 = ${\Pi }_1\cap {\Pi }_2$。

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x+2y+3z=1\\ x+y-z=1\end{array}}$$

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例题 4：过直线且垂直于某平面的平面（平面束法）

直线 $l:\{\begin{array}{l}x+y+z-1=0\\ 2y+z-2=0\end{array}$，求过 $l$ 且垂直于平面 $\Pi :x+2y+z=0$ 的平面。

解：

第一步：平面束 $(x+y+z-1)+\lambda (2y+z-2)=0$

整理：$x+(1+2\lambda )y+(1+\lambda )z-(1+2\lambda )=0$

法向量 $\vec{n}=(1,1+2\lambda ,1+\lambda )$

第二步：垂直条件 $\vec{n}\cdot (1,2,1)=0$。

$$\begin{gathered} 1+2(1+2\lambda )+1(1+\lambda )=0 \\ 1+2+4\lambda +1+\lambda =0⟹4+5\lambda =0⟹\lambda =-\frac{4}{5} \end{gathered}$$

代入：

$$\begin{gathered} x+\left(1-\frac{8}{5}\right)y+\left(1-\frac{4}{5}\right)z-\left(1-\frac{8}{5}\right)=0 \\ 5x-3y+z+3=0 \end{gathered}$$

答案：

$$\boxed{5x-3y+z+3=0}$$

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例题 5：点到直线的距离

求 $P(3,1,2)$ 到直线 $L:\{\begin{array}{l}x+y-z+1=0\\ 2x+4y-z=0\end{array}$ 的距离。

解：

第一步：化参数式。令 $y=t$，代入：

$x+t-z+1=0$, $2x+4t-z=0$

消 $z$：$z=2x+4t$，代入第一式： $x+t-(2x+4t)+1=0⟹-x-3t+1=0⟹x=1-3t$

$z=2(1-3t)+4t=2-6t+4t=2-2t$

第二步：$L$ 上取 $M_0=(1,0,2)$（$t=0$），$\vec{s}=(-3,1,-2)$

$\overrightarrow{M_{0}P}=(3-1,1-0,2-2)=(2,1,0)$

第三步：

$$\overrightarrow{M_{0}P}\times \vec{s}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& 0\\ -3& 1& -2\end{array}\right|=(-2,4,5)$$ $$|\overrightarrow{M_{0}P}\times \vec{s}|=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$ $$|\vec{s}|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$$

答案：

$$\boxed{d=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{70}}{14}}$$

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例题 6：过定点且平行于一平面、与另一直线相交

过点 $A(-1,0,4)$，平行于平面 $\Pi :3x-4y+z-10=0$，又与直线 $l_1:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{2}$ 相交的直线。

解：

第一步：过 $A$ 作平行于 $\Pi$ 的平面 ${\Pi }_A$（法向量相同）。

$$3(x+1)-4(y-0)+1(z-4)=0⟹3x-4y+z-1=0$$

第二步：求 $l_1$ 与 ${\Pi }_A$ 的交点 $B$。

$l_1$ 参数式：$(x,y,z)=(0,-1,3)+t(1,1,2)=(t,t-1,2t+3)$

代入 ${\Pi }_A$：

$$3t-4(t-1)+(2t+3)-1=0⟹3t-4t+4+2t+3-1=0⟹t+6=0⟹t=-6$$

交点 $B(-6,-7,-9)$

第三步：所求直线过 $A(-1,0,4)$ 和 $B(-6,-7,-9)$。

方向向量 $\overrightarrow{AB}=(-5,-7,-13)$

$$\frac{x+1}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z-4}{13}$$

答案：

$$\boxed{\frac{x+1}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z-4}{13}}$$

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六、公式速查