§7.2 坐标系、向量的坐标

一、坐标系（数轴/平面/空间直角） 二、空间直角坐标系与球面坐标系 三、向量运算的坐标表达式

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预备知识：行列式

二阶行列式

$$\boxed{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}$$

三阶行列式

在 $3\times 3$ 的数表中，取不同行不同列的数作乘积，共 $3!=6$ 项，每项前面由逆序数确定正负号，这 6 项的和称为三阶行列式。

按第一行展开：

$$\boxed{\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|}$$

记忆法：$a_{ij}$ 的代数余子式删除第 $i$ 行第 $j$ 列后的二阶行列式，符号为 $(-1{)}^{i+j}$。

例：计算 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right|$

解：

按第一行展开：

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right|& =1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|\\ & =1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 0)-2\cdot (0\cdot 1-2\cdot 1)+1\cdot (0\cdot 0-1\cdot 1)\\ & =1\cdot 1-2\cdot (-2)+1\cdot (-1)\\ & =1+4-1=4\end{array}$$ $$\boxed{\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=4}$$

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一、坐标系

为了确定 $n$ 维空间中的一点所在位置，按规定方法选取的有序数组称为点的坐标，能确定点坐标的体系称为坐标系。

维度	常见坐标系
一维	数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线
二维	平面直角坐标系、平面极坐标系
三维	空间直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系

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二、空间直角坐标系

2.1 建立

取空间中一定点 $O$（原点），作三个以 $O$ 为起点的两两垂直的单位向量 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$，就确定了三条以 $O$ 为原点的两两垂直的数轴 $Ox,Oy,Oz$，分别称为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，并按 $\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{Oz}$ 的顺序依右手法则规定坐标轴的正向。

2.2 坐标面与卦限

三条坐标轴的任意两条确定一个平面，称为坐标面：

坐标面	由	方程
$xOy$ 面	$x$ 轴 + $y$ 轴	$z=0$
$yOz$ 面	$y$ 轴 + $z$ 轴	$x=0$
$zOx$ 面	$z$ 轴 + $x$ 轴	$y=0$

三个坐标面将空间分成八个卦限。含有 $x,y,z$ 轴正半轴的那个称为第一卦限，其他在 $xOy$ 面上方按逆时针方向依次确定第二、三、四卦限，下方对称排列第五至八卦限。

2.3 点的坐标

                    z
                    │
                   R│____M
                   /│    /│
                  / │   / │
                 /__│__/  │
                │   │  │   │
               Q│___│__│___│
               /    │ /    │
              /     │/     │
             /______│______│
            O       P      y
           /
          /
         x

对空间任意点 $M$，以 $OM$ 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 $RHMK\text{-}OPNQ$。

存在唯一实数 $x,y,z$，使得：

$$\overrightarrow{OP}=x\vec{i},\overrightarrow{OQ}=y\vec{j},\overrightarrow{OR}=z\vec{k}$$

则：

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$

有序数 $(x,y,z)$ 称为点 $M$ 的坐标，记作 $M(x,y,z)$，分别称 $x$ 为横坐标、$y$ 为纵坐标、$z$ 为竖坐标。

其中 $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ 称为向量 $\overrightarrow{OM}$ 沿三个坐标轴方向的分向量。

2.4 向径与向量坐标

对于给定向量 $\vec{r}$，作 $\vec{r}=\overrightarrow{OM}$，若 $M$ 点的坐标为 $(x,y,z)$：

• 称向量 $\vec{r}$ 的坐标为 $(x,y,z)$，记作 $\vec{r}=(x,y,z)$（向量的坐标式）
• $\overrightarrow{OM}$ 称为点 $M$ 关于原点 $O$ 的向径，简写为 $\vec{r}=\overrightarrow{OM}$

同时有：

$$\boxed{\vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}}$$

称为向量的坐标分解式。

例：$\vec{r}=(2,3,5)$ 即 $\vec{r}=2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}$

注：$(x,y,z)$ 既表示一个点 $M$，又可表示一个向量 $\vec{r}$。

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三、向量运算的坐标表达式

设 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}$

3.1 向量的模

由勾股定理：

$$\boxed{|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

3.2 两点间距离公式

设两点 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}& =\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ & =(x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k})-(x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k})\\ & =(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\end{array}$$ $$\boxed{|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}}$$

3.3 向量的加减法

$$\begin{array}{rl}\vec{a}+\vec{b}& =(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)\\ \vec{a}-\vec{b}& =(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)\end{array}$$

3.4 数乘

$$k\vec{a}=(k{a}_1,k{a}_2,k{a}_3)$$

3.5 数量积

由 $\vec{i}\cdot \vec{j}=\vec{j}\cdot \vec{k}=\vec{k}\cdot \vec{i}=0$，且 $\vec{i}\cdot \vec{i}=\vec{j}\cdot \vec{j}=\vec{k}\cdot \vec{k}=1$：

$$\boxed{\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}$$

3.6 向量积

由 $\vec{i}\times \vec{i}=\vec{j}\times \vec{j}=\vec{k}\times \vec{k}=\vec{0}$， 且 $\vec{i}\times \vec{j}=\vec{k}$，$\vec{j}\times \vec{k}=\vec{i}$，$\vec{k}\times \vec{i}=\vec{j}$：

记忆口诀：$i\to j\to k\to i$ 循环

展开：

$$\begin{array}{rl}\vec{a}\times \vec{b}& =(a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k})\times (b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k})\\ & =(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\vec{i}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\vec{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\vec{k}\end{array}$$

行列式形式（便于记忆）：

$$\boxed{\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|}$$

按第一行展开即得各分量。

3.7 混合积

$$\boxed{[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|}$$

重要性质：三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面 ⇔ $[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$ ⇔ 三阶行列式为零。

3.8 平行条件

$$\boxed{\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}=k\vec{b}⟺\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}}(\text{坐标对应成比例})$$

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四、方向角与方向余弦

4.1 定义

设非零向量 $\vec{r}=\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$，$\vec{r}$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正向的夹角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$（即 $\vec{r}$ 与 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 的夹角），称 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为向量 $\vec{r}$ 的方向角。

4.2 方向余弦

$$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\frac{\overrightarrow{OM}\cdot \vec{i}}{|\overrightarrow{OM}|\cdot |\vec{i}|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \cos \beta & =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \cos \gamma & =\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{array}$$

称 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为向量 $\vec{r}$ 的方向余弦。

4.3 性质

(1) 基本恒等式：

$$\boxed{{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1}$$

(2) 与单位向量的关系：将 $\vec{r}$ 单位化

$$\begin{array}{rl}{\vec{r}}^0& =\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ & =\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\\ & =\boxed{(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )}\end{array}$$

结论：单位向量的三个分量就是该方向的方向余弦。

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五、例题精讲

例题 1（行列式）：计算 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right|$

已在预备知识中解出：答案为 4。

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例题 2：与三坐标轴夹角相等的单位向量

求与三坐标轴夹角相等的单位向量。

解：

设向量 $\vec{u}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 为单位向量，且 $\alpha =\beta =\gamma$。

由方向余弦性质：

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

代入 $\alpha =\beta =\gamma$：

$$3{\cos }^2\alpha =1⟹\cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

答案：

$$\boxed{\vec{u}=\pm \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$$

有两个解，分别指向第一卦限和第七卦限，沿正八面体的对角线方向。

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例题 3（中点公式）：求两点连线中点坐标

设两点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 与 $M_2(x_2,y_2,z_2)$，求 $M_1$ 与 $M_2$ 连线中点 $M_0$ 的坐标。

解：

设中点为 $M_0(x_0,y_0,z_0)$。

如图所示，点 $N$ 是平行四边形 $O{M}_{1}N{M}_2$ 的第四个顶点，有：

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{O{M}_1}+\overrightarrow{O{M}_2}$$

而 $\overrightarrow{O{M}_0}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ON}$：

$$\overrightarrow{O{M}_0}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O{M}_1}+\overrightarrow{O{M}_2})$$

即：

$$(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{2}((x_1+x_2),(y_1+y_2),(z_1+z_2))$$

答案：

$$\boxed{M_0\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)}$$

三维中点公式与二维完全一致。

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例题 4：向量积的计算

求 $(\vec{i}+2\vec{j})\times \vec{k}$。

解法一（分配律）：

$$\begin{array}{rl}(\vec{i}+2\vec{j})\times \vec{k}& =\vec{i}\times \vec{k}+2\vec{j}\times \vec{k}\\ & =-\vec{j}+2\vec{i}(\because \vec{i}\times \vec{k}=-\vec{k}\times \vec{i}=-\vec{j},\vec{j}\times \vec{k}=\vec{i})\\ & =2\vec{i}-\vec{j}\end{array}$$

解法二（行列式）：

$$\begin{array}{rl}(\vec{i}+2\vec{j})\times \vec{k}& =\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\\ & =\vec{i}\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right|-\vec{j}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|+\vec{k}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right|\\ & =\vec{i}\cdot (2\cdot 1-0\cdot 0)-\vec{j}\cdot (1\cdot 1-0\cdot 0)+\vec{k}\cdot 0\\ & =2\vec{i}-\vec{j}\end{array}$$

答案：

$$\boxed{(\vec{i}+2\vec{j})\times \vec{k}=2\vec{i}-\vec{j}}$$

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例题 5（三角形面积）：已知三顶点求面积

已知 $△ABC$ 的三顶点为 $A(1,0,2)$，$B(2,1,1)$，$C(0,2,4)$，求 $△ABC$ 的面积。

解：

第一步：求出三角形的两条边向量。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}& =(2-1,1-0,1-2)=(1,1,-1)\\ \overrightarrow{AC}& =(0-1,2-0,4-2)=(-1,2,2)\end{array}$$

第二步：计算叉积 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}& =\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ -1& 2& 2\end{array}\right|\\ & =\vec{i}\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 2\end{array}\right|-\vec{j}\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right|+\vec{k}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right|\\ & =\vec{i}(1\cdot 2-(-1)\cdot 2)-\vec{j}(1\cdot 2-(-1)\cdot (-1))+\vec{k}(1\cdot 2-1\cdot (-1))\\ & =\vec{i}(2+2)-\vec{j}(2-1)+\vec{k}(2+1)\\ & =4\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}=(4,-1,3)\end{array}$$

第三步：计算叉积的模。

$$|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^2+(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{16+1+9}=\sqrt{26}$$

第四步：求三角形面积。

三角形的面积 = 以 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ 为邻边的平行四边形面积的一半：

$$\boxed{S_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{\sqrt{26}}{2}}$$

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例题 6（四面体体积）：已知四顶点求体积

已知四面体的顶点 $A(0,0,2)$，$B(3,0,5)$，$C(1,1,0)$，$D(4,1,2)$，求此四面体的体积。

解：

第一步：以 $A$ 为起点，求三条棱向量。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}& =(3-0,0-0,5-2)=(3,0,3)\\ \overrightarrow{AC}& =(1-0,1-0,0-2)=(1,1,-2)\\ \overrightarrow{AD}& =(4-0,1-0,2-2)=(4,1,0)\end{array}$$

第二步：计算混合积 $[\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AD}]$。

$$\begin{array}{rl}\left[\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AD}\right]& =\left|\begin{array}{ccc}3& 0& 3\\ 1& 1& -2\\ 4& 1& 0\end{array}\right|\\ & =3\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 0\end{array}\right|-0\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 0\end{array}\right|+3\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 1\end{array}\right|\\ & =3\cdot (1\cdot 0-(-2)\cdot 1)+0+3\cdot (1\cdot 1-1\cdot 4)\\ & =3\cdot 2+3\cdot (-3)\\ & =6-9=-3\end{array}$$

说明：也可按 $r_1-r_3$ 化简再算，结果一致。

第三步：求四面体体积。

四面体的体积 = 以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ 为棱的平行六面体体积的 $\frac{1}{6}$：

$$V=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AD}\right]\right|=\frac{1}{6}\times 3=\frac{1}{2}$$

答案：

$$\boxed{V=\frac{1}{2}}$$

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六、公式速查

运算	坐标公式
模	$\Vert \vec{r}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
距离	$\Vert AB\Vert =\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$
加法	$(a_1,b_1,c_1)+(a_2,b_2,c_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)$
数乘	$k(a_1,a_2,a_3)=(k{a}_1,k{a}_2,k{a}_3)$
数量积	$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$
向量积	$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$
混合积	$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$
平行	$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$（比例相等）
方向余弦	${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

几何量	公式
三角形面积	$S=\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\Vert$
四面体体积	$V=\frac{1}{6}\Vert [\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AD}]\Vert$
中点坐标	$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)$