§7.2 坐标系、向量的坐标

一、坐标系（数轴/平面/空间直角） 二、空间直角坐标系与球面坐标系 三、向量运算的坐标表达式

预备知识：行列式

二阶行列式

三阶行列式

在 $3\times 3$ 的数表中，取不同行不同列的数作乘积，共 $3!=6$ 项，每项前面由逆序数确定正负号，这 6 项的和称为三阶行列式。

按第一行展开：

记忆法：$a_{ij}$ 的代数余子式删除第 $i$ 行第 $j$ 列后的二阶行列式，符号为 $(-1{)}^{i+j}$。

例：计算 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right|$

解：

按第一行展开：

一、坐标系

为了确定 $n$ 维空间中的一点所在位置，按规定方法选取的有序数组称为点的坐标，能确定点坐标的体系称为坐标系。

二、空间直角坐标系

2.1 建立

取空间中一定点 $O$（原点），作三个以 $O$ 为起点的两两垂直的单位向量 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$，就确定了三条以 $O$ 为原点的两两垂直的数轴 $Ox,Oy,Oz$，分别称为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，并按 $\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{Oz}$ 的顺序依右手法则规定坐标轴的正向。

2.2 坐标面与卦限

三条坐标轴的任意两条确定一个平面，称为坐标面：

三个坐标面将空间分成八个卦限。含有 $x,y,z$ 轴正半轴的那个称为第一卦限，其他在 $xOy$ 面上方按逆时针方向依次确定第二、三、四卦限，下方对称排列第五至八卦限。

2.3 点的坐标

                    z
                    │
                   R│____M
                   /│    /│
                  / │   / │
                 /__│__/  │
                │   │  │   │
               Q│___│__│___│
               /    │ /    │
              /     │/     │
             /______│______│
            O       P      y
           /
          /
         x

对空间任意点 $M$，以 $OM$ 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 $RHMK\text{-}OPNQ$。

存在唯一实数 $x,y,z$，使得：

则：

有序数 $(x,y,z)$ 称为点 $M$ 的坐标，记作 $M(x,y,z)$，分别称 $x$ 为横坐标、$y$ 为纵坐标、$z$ 为竖坐标。

其中 $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ 称为向量 $\overrightarrow{OM}$ 沿三个坐标轴方向的分向量。

2.4 向径与向量坐标

对于给定向量 $\vec{r}$，作 $\vec{r}=\overrightarrow{OM}$，若 $M$ 点的坐标为 $(x,y,z)$：

• 称向量 $\vec{r}$ 的坐标为 $(x,y,z)$，记作 $\vec{r}=(x,y,z)$（向量的坐标式）
• $\overrightarrow{OM}$ 称为点 $M$ 关于原点 $O$ 的向径，简写为 $\vec{r}=\overrightarrow{OM}$

同时有：

称为向量的坐标分解式。

例：$\vec{r}=(2,3,5)$ 即 $\vec{r}=2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}$

注：$(x,y,z)$ 既表示一个点 $M$，又可表示一个向量 $\vec{r}$。

三、向量运算的坐标表达式

设 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}$

3.1 向量的模

由勾股定理：

3.2 两点间距离公式

设两点 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$：

3.3 向量的加减法

3.4 数乘

3.5 数量积

由 $\vec{i}\cdot \vec{j}=\vec{j}\cdot \vec{k}=\vec{k}\cdot \vec{i}=0$，且 $\vec{i}\cdot \vec{i}=\vec{j}\cdot \vec{j}=\vec{k}\cdot \vec{k}=1$：

3.6 向量积

由 $\vec{i}\times \vec{i}=\vec{j}\times \vec{j}=\vec{k}\times \vec{k}=\vec{0}$， 且 $\vec{i}\times \vec{j}=\vec{k}$，$\vec{j}\times \vec{k}=\vec{i}$，$\vec{k}\times \vec{i}=\vec{j}$：

记忆口诀：$i\to j\to k\to i$ 循环

展开：

行列式形式（便于记忆）：

按第一行展开即得各分量。

3.7 混合积

重要性质：三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面 ⇔ $[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0$ ⇔ 三阶行列式为零。

3.8 平行条件

四、方向角与方向余弦

4.1 定义

设非零向量 $\vec{r}=\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$，$\vec{r}$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正向的夹角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$（即 $\vec{r}$ 与 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 的夹角），称 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为向量 $\vec{r}$ 的方向角。

4.2 方向余弦

称 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为向量 $\vec{r}$ 的方向余弦。

4.3 性质

(1) 基本恒等式：

(2) 与单位向量的关系：将 $\vec{r}$ 单位化

结论：单位向量的三个分量就是该方向的方向余弦。

五、例题精讲

例题 1（行列式）：计算 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right|$

已在预备知识中解出：答案为 4。

例题 2：与三坐标轴夹角相等的单位向量

求与三坐标轴夹角相等的单位向量。

解：

设向量 $\vec{u}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 为单位向量，且 $\alpha =\beta =\gamma$。

由方向余弦性质：

代入 $\alpha =\beta =\gamma$：

答案：

有两个解，分别指向第一卦限和第七卦限，沿正八面体的对角线方向。

例题 3（中点公式）：求两点连线中点坐标

设两点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 与 $M_2(x_2,y_2,z_2)$，求 $M_1$ 与 $M_2$ 连线中点 $M_0$ 的坐标。

解：

设中点为 $M_0(x_0,y_0,z_0)$。

如图所示，点 $N$ 是平行四边形 $O{M}_{1}N{M}_2$ 的第四个顶点，有：

而 $\overrightarrow{O{M}_0}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ON}$：

即：

答案：

三维中点公式与二维完全一致。

例题 4：向量积的计算

求 $(\vec{i}+2\vec{j})\times \vec{k}$。

解法一（分配律）：

解法二（行列式）：

答案：

例题 5（三角形面积）：已知三顶点求面积

已知 $△ABC$ 的三顶点为 $A(1,0,2)$，$B(2,1,1)$，$C(0,2,4)$，求 $△ABC$ 的面积。

解：

第一步：求出三角形的两条边向量。

第二步：计算叉积 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$。

第三步：计算叉积的模。

第四步：求三角形面积。

三角形的面积 = 以 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ 为邻边的平行四边形面积的一半：

例题 6（四面体体积）：已知四顶点求体积

已知四面体的顶点 $A(0,0,2)$，$B(3,0,5)$，$C(1,1,0)$，$D(4,1,2)$，求此四面体的体积。

解：

第一步：以 $A$ 为起点，求三条棱向量。

第二步：计算混合积 $[\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AD}]$。

说明：也可按 $r_1-r_3$ 化简再算，结果一致。

第三步：求四面体体积。

四面体的体积 = 以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ 为棱的平行六面体体积的 $\frac{1}{6}$：

答案：

六、公式速查