第十章曲线积分与曲面积分

🗺️ 全章直觉地图：从一维线上的积分升级到曲线上的积分，从平面区域的积分升级到曲面上的积分，最终以四大公式统一——积分学从”直”走向”曲”，从”平”走向”空间”。

📖 建议阅读顺序

第一阶段（线积分）：§10.1 → §10.2 → §10.3
第二阶段（面积分）：§10.4 → §10.5 → §10.6
第三阶段（空间统一）：§10.7
回顾升华：学完 §10.6 后回看 §10.3，体会 Green↔Gauss 的对应
         学完 §10.7 后看章末"四大公式统一视角"

节	主题	积分类型	核心公式/方法
§10.1	对弧长曲线积分	第一类线积分	一投二代三换， $d s$ 弧长微元
§10.2	对坐标曲线积分	第二类线积分	一投二代三换（有方向），做功
§10.3	格林公式	闭线→二重	$\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d x d y$
§10.4	对面积曲面积分	第一类面积分	一投二代三换， $d S$ 面积微元
§10.5	对坐标曲面积分	第二类面积分	一投二代三定号，流量
§10.6	高斯公式	闭面→三重	$\iint_{Σ} = ∭_{Ω} (P_{x} + Q_{y} + R_{z}) d V$
§10.7	斯托克斯公式	空间闭线→曲面	$\oint_{Γ} = \iint_{Σ} rot A \cdot n d S$

💡 学完这章你会发现：格林、高斯、斯托克斯，再加牛顿-莱布尼茨，四者本质是同一公式在不同维度的化身。章末”统一升华”见分晓。

§10.1 对弧长的曲线积分（第一类）

概念

$\int_{L} f (x, y) d s = λ \to 0 lim k = 1 \sum n f (ξ_{k}, η_{k}) Δ s_{k}$

物理原型：曲线型构件质量 $m = \int_{L} μ (x, y) d s$
被积函数实质一元： $(x, y)$ 被曲线方程约束 → $f (x, y)$ 在 $L$ 上是一元函数
经典陷阱： $\oint_{x^{2} + y^{2} = R^{2}} (x^{2} + y^{2}) d s = R^{2} \cdot 2 π R$ ，不要当二重积分！
闭曲线记为 $\oint_{L}$ ；空间曲线推广： $\int_{Γ} f (x, y, z) d s$

计算口诀：一投二代三换

曲线形式	$d s$ 公式
$y = y (x)$ , $a \leq x \leq b$	$d s = 1 + [y^{'} (x)]^{2} d x$ ，下限 < 上限
参数方程 $x = φ (t), y = ψ (t)$	$d s = [φ^{'}]^{2} + [ψ^{'}]^{2} d t$
极坐标 $r = ρ (θ)$	$d s = ρ^{2} + (ρ^{'})^{2} d θ$
空间曲线 $x, y, z = φ, ψ, ω$	$d s = [φ^{'}]^{2} + [ψ^{'}]^{2} + [ω^{'}]^{2} d t$

对称性

类型	规则
曲线关于 $x$ 轴对称	看 $y$ 奇偶：奇函数→0，偶函数→ $2 \int_{L_{1}}$
关于 $y = x$ 对称（轮换）	$\int_{L} f (x, y) d s = \int_{L} f (y, x) d s$
空间曲线轮换 $x = y = z$	$\oint_{Γ} x^{2} d s = \frac{1}{3} \oint_{Γ} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d s$

手把手例题

例：计算 $\int_{L} y d s$ ， $L$ 为 $y = x^{2}$ 上从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 的弧段。

步骤	操作
①一投	$x \in [0, 1]$
②二代	$y = x^{2}, y^{'} = 2 x$
③三换	$d s = 1 + (2 x)^{2} d x = 1 + 4 x^{2} d x$
④计算	$I = \int_{0}^{1} x^{2} 1 + 4 x^{2} d x$ ，令 $u = 1 + 4 x^{2}$ → $I = \frac{1}{192} (55 - 1)$

§10.2 对坐标的曲线积分（第二类）

概念

$\int_{L} P d x + Q d y = λ \to 0 lim \sum [P (ξ_{k}, η_{k}) Δ x_{k} + Q (ξ_{k}, η_{k}) Δ y_{k}]$

物理原型：变力 $F = (P, Q)$ 沿曲线 $A B$ 做功
扩展：空间曲线 $\int_{Γ} P d x + Q d y + R d z$

第一类 vs 第二类

	第一类（对弧长）	第二类（对坐标）
被积表达式	$f (x, y) d s$	$P d x + Q d y$
积分区域	无向曲线 $L$	有向曲线 $A B$
方向影响	❌ 无关，下限<上限	✅ 反向=负号，下限=起点
正交性	无	$L ⊥ x$ 轴→ $\int P d x = 0$

计算（有方向！）

参数方程 $x = φ (t), y = ψ (t), t : α \to β$ ： $\int_{A B} P d x + Q d y = \int_{α}^{β} [P φ^{'} (t) + Q ψ^{'} (t)] d t$

⚠️ $α$ =起点参数， $β$ =终点参数（ $α > β$ 也行）

两类联系

$\int_{L} P d x + Q d y = \int_{L} (P cos α + Q cos β) d s$

其中 $(cos α, cos β)$ 为切向量方向余弦。向量形式： $\int_{Γ} F \cdot d r = \int_{Γ} F \cdot τ d s$

手把手例题

例：计算 $\int_{L} x d y$ ， $L$ 为 $y = x^{2}$ 从 $A (1, - 1)$ 到 $O (0, 0)$ 。

步骤	操作
①一投	起点 $x = 1$ ，终点 $x = 0$ → $x : 1 \to 0$ （注意方向！）
②二代	$y = x^{2}$ , $d y = 2 x d x$ ； $P = 0, Q = x$
③三换	$I = \int_{1}^{0} x \cdot 2 x d x = 2 \int_{1}^{0} x^{2} d x$
④计算	$I = 2 [\frac{x ^{3}}{3}]_{1}^{0} = 2 (0 - \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3}$

例：计算 $\int_{L} x y^{2} d x + x^{2} y d y$ ， $L$ 为 $y = x$ 从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 。

步骤	操作
①一投	$x : 0 \to 1$
②二代	$y = x$ , $d y = d x$ → 被积 = $x \cdot x^{2} d x + x^{2} \cdot x d x = 2 x^{3} d x$
③三换	$I = \int_{0}^{1} 2 x^{3} d x$
④计算	$I = [\frac{x ^{4}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

💡 此题还可用全微分： $x y^{2} d x + x^{2} y d y = \frac{1}{2} d (x^{2} y^{2})$ → $I = \frac{1}{2} [1^{2} \cdot 1^{2} - 0] = \frac{1}{2}$ （路径无关预告！）

§10.3 格林公式

格林公式本身

$\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$

条件： $L$ 闭 + $P, Q$ 一阶连续偏导 + $L$ 正向（沿 $L$ 走， $D$ 在左手边）
记忆口诀：Q_x − P_y（字母顺序）

三大策略

情况	策略
$L$ 闭 + 无奇点	✅ 直接套
$L$ 不封闭	➕ 加辅助线围成闭区域，算完后减去辅助线
区域内有奇点	🔪 挖奇点，积分路径特殊化为绕奇点的小圆

$\oint \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}$ 绕原点任意闭曲线 $= 2 π$ （考研高频结论）

路径无关条件（四条等价）

设 $P, Q$ 在单连通区域 $D$ 内有一阶连续偏导，则以下等价：

| (1) | $\int_{L} P d x + Q d y$ 与路径无关 | | (2) | $\oint_{L} P d x + Q d y = 0$ （沿 $D$ 内任意闭曲线） | | (3) | $P d x + Q d y$ 是某函数 $u$ 的全微分 | | (4) | $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 恒成立 |

原函数求法（折线积分）： $u (x, y) = \int_{x_{0}}^{x} P (t, y_{0}) d t + \int_{y_{0}}^{y} Q (x, s) d s$

全微分方程： $P d x + Q d y = 0$ 且 $\partial P / \partial y = \partial Q / \partial x$ → 通解 $u (x, y) = C$

手把手例题

例1：用 Green 计算 $\oint_{L} (x - y) d x + (x + y) d y$ ， $L : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 逆时针。

步骤	操作
①识	$P = x - y$ , $Q = x + y$
②算	$Q_{x} = 1$ , $P_{y} = - 1$ → $Q_{x} - P_{y} = 2$
③套	$\oint_{L} = \iint_{D} 2 d x d y = 2 \cdot π a^{2} = 2 π a^{2}$

例2（不封闭→补线）：计算 $\int_{L} (x^{2} - y) d x - (x + sin^{2} y) d y$ ， $L$ 为上半圆 $y = 2 x - x^{2}$ 从 $(2, 0)$ 到 $(0, 0)$ 。

$P = x^{2} - y$ , $Q = - (x + sin^{2} y)$ 。 $Q_{x} = - 1$ , $P_{y} = - 1$ → $Q_{x} - P_{y} = 0$ （在区域内路径无关！）。

补 $x$ 轴线段从 $(0, 0)$ 回到 $(2, 0)$ （ $y = 0$ ）： $\int_{补} = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3}$ 。

由闭曲线积分为 0： $\int_{L} + \int_{补} = 0$ → $\int_{L} = - \frac{8}{3}$ 。

§10.4 对面积的曲面积分（第一类）

概念

$\iint_{Σ} f (x, y, z) d S$

物理原型：曲面型构件质量 $M = \iint_{Σ} μ (x, y, z) d S$
实质：被积函数含三个变量，但在曲面上被约束为二元函数，最终化为二重积分

计算口诀：一投二代三换

$\iint_{Σ} f (x, y, z) d S = \iint_{D_{x y}} f (x, y, z (x, y)) 1 + z_{x}^{'2} + z_{y}^{'2} d x d y$

曲面	$d S$ 公式（投影到 $O x y$ ）
一般曲面 $z = z (x, y)$	$d S = 1 + z_{x}^{'2} + z_{y}^{'2} d x d y$
球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$	$d S = \frac{R}{R ^{2} - x ^{2} - y ^{2}} d x d y$
圆锥面 $z = x^{2} + y^{2}$	$d S = 2 d x d y$

圆柱面投影到 $O x y$ 是圆（一维），应投到 $O yz$ 或 $O z x$ 面。

手把手例题

例：计算 $\iint_{Σ} z^{2} d S$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 。

步骤	操作
①一投	球面在 $O x y$ 投影 $D : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}$
②二代	上半球 $z = R^{2} - x^{2} - y^{2}$ → $z^{2} = R^{2} - x^{2} - y^{2}$
③三换	$d S = \frac{R}{R ^{2} - x ^{2} - y ^{2}} d x d y$
④积分	$\iint_{上半} = R \iint_{D} R^{2} - x^{2} - y^{2} d x d y$ ，极坐标： $R \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r R^{2} - r^{2} d r = \frac{2}{3} π R^{4}$
⑤乘2	下半球相同 → $\times 2$ → $\frac{4}{3} π R^{4}$

💡 更快法（轮换对称）： $\iint z^{2} d S = \frac{1}{3} \iint (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d S = \frac{R ^{2}}{3} \cdot 4 π R^{2} = \frac{4}{3} π R^{4}$ 。两行！

对称性

类型	规则
面对称（ $Σ$ 关于 $O yz$ 面对称→看 $x$ 奇偶）	奇函数→0，偶函数→ $2 \int_{Σ_{1}}$
球面轮换对称	$\iint x^{2} d S = \iint y^{2} d S = \iint z^{2} d S = \frac{4}{3} π R^{4}$

§10.5 对坐标的曲面积分（第二类）

概念

$\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y$

物理原型：流体穿过有向曲面的流量 $Φ = \iint_{Σ} v \cdot n^{0} d S$
核心特性：换侧变号 $\iint_{- Σ} = - \iint_{Σ}$ （与第一类最大区别）

计算口诀：一投二代三定号

$\iint_{Σ} R (x, y, z) d x d y = \pm \iint_{D_{x y}} R (x, y, z (x, y)) d x d y$

侧	符号
上侧（ $cos γ > 0$ ）	$+$
下侧（ $cos γ < 0$ ）	$-$

$P$ → $O yz$ （前/后）， $Q$ → $O z x$ （右/左）， $R$ → $O x y$ （上/下），各算各的。

对称性（⚠️ 与第一类相反！）

奇倍偶零（第一类是”奇零偶倍”）——因为对侧的有向投影符号相反。

例： $Σ$ 关于 $O x y$ 面对称， $R = z^{2}$ （关于 $z$ 的偶函数）：

第一类： $\iint_{Σ} z^{2} d S = 2 \iint_{Σ_{上}} z^{2} d S$ （“偶倍”）

第二类： $\iint_{Σ} z^{2} d x d y = 0$ （“偶零”，上下侧投影一正一负互相抵消）

两类联系

$\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = \iint_{Σ} (P cos α + Q cos β + R cos γ) d S$

合一投影法

$Σ : z = z (x, y)$ 投影到 $O x y$ ，三个分项合并：

$\iint_{Σ} = \pm \iint_{D_{x y}} [P \cdot (- z_{x}^{'}) + Q \cdot (- z_{y}^{'}) + R] d x d y$

上侧取正，下侧取负。含抽象函数 $f$ 时特别有效！

⚠️ §10.4 vs §10.5 口诀辨析：

第一类（对面积）：一投二代三换 → $d S = 1 + z_{x}^{'2} + z_{y}^{'2} \cdot d x d y$ （ $d S$ 永正，无正负号）

第二类（对坐标）：一投二代三定号 → 直接 $d x d y$ ，但前面加 $\pm$ （上/前/右→正，下/后/左→负）

原因：第一类 $d S$ 是正的曲面面积微元；第二类 $d x d y$ 是有向投影，可正可负。

手把手例题

例：计算 $\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 外侧。

步骤	操作
①识	闭曲面外侧 → 可用 Gauss，但这里演示两类转化法
②法向量	外侧 $n^{0} = (\frac{x}{R}, \frac{y}{R}, \frac{z}{R})$
③转化	$\iint = \iint (x \cdot \frac{x}{R} + y \cdot \frac{y}{R} + z \cdot \frac{z}{R}) d S = \frac{1}{R} \iint (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d S$
④化简	球面上 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ → $= \frac{R ^{2}}{R} \iint d S = R \cdot 4 π R^{2} = 4 π R^{3}$

对比硬算法（分上下半球投影）：至少多花 5 分钟。用 Gauss 公式（§10.6）：散度=3 → $∭ 3 d V = 4 π R^{3}$ ，一行！

§10.6 高斯公式（Gauss 定理）

定理

$\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭_{Ω} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d x d y d z$

条件： $Σ$ 闭 + $P, Q, R$ 一阶连续偏导 + $Σ$ 取外侧
内侧加负号

核心技巧

情况	策略
曲面不闭合	➕ 补辅助面（通常为平面 $z = h$ ）→Gauss → 减去辅助面
有奇点	🔪 挖奇点 + 积分曲面特殊化（与 Green 公式同理）

散度与通量

$div A = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

向量形式： $\iint_{Σ} A \cdot n^{0} d S = ∭_{Ω} div A d V$

“穿过闭曲面的通量 = 内部散度的体积分”

手把手例题

例：用 Gauss 计算 $\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 外侧。

步骤	操作
①识	$P = x$ , $Q = y$ , $R = z$
②算散度	$div = 1 + 1 + 1 = 3$
③套 Gauss	$\iint_{Σ} = ∭_{Ω} 3 d V = 3 \cdot \frac{4}{3} π R^{3} = 4 π R^{3}$

⏱️ 对比 §10.5 硬算法：分上下半球→分别投影→分别定号→加起来。Gauss 一行秒杀！

例（不封闭→补面）：计算 $\iint_{Σ} z d x d y$ ， $Σ : z = 1 - x^{2} - y^{2}$ 上侧。

补底面 $z = 0$ （下侧），构成闭区域（上半球）。散度 $= 1$ 。 $\iint = ∭_{Ω} 1 d V = \frac{2}{3} π$ 。辅助面 $\iint_{底} z d x d y = \iint_{D} 0 d x d y = 0$ 。∴ $I = \frac{2}{3} π$ 。

§10.7 斯托克斯公式

定理

\oint_{Γ} P d x + Q d y + R d z = \iint_{Σ} d y d z \frac{\partial}{\partial x} P d z d x \frac{\partial}{\partial y} Q d x d y \frac{\partial}{\partial z} R

第三行就是依次去掉第一行对应列、取 $2 \times 2$ 余子式，注意符号交替。

$Γ$ 为空间闭曲线， $Σ$ 是以 $Γ$ 为边界的有向曲面
$Γ$ 的正向与 $Σ$ 的法向满足右手法则
当 $Γ$ 在 $O x y$ 平面上 → 退化为格林公式

旋度与环流量

rot A = \nabla \times A = i \frac{\partial}{\partial x} P j \frac{\partial}{\partial y} Q k \frac{\partial}{\partial z} R

$\oint_{Γ} A \cdot d r = \iint_{Σ} rot A \cdot n d S$

场论三剑客

概念	记号	输入→输出	公式	直觉
梯度	$\nabla u$	标量→矢量	$(u_{x}, u_{y}, u_{z})$	最陡方向
散度	$\nabla \cdot A$	矢量→标量	$P_{x} + Q_{y} + R_{z}$	源强度
旋度	$\nabla \times A$	矢量→矢量	行列式	旋转趋势

两大恒等式：

$\nabla \times (\nabla u) = 0$ （梯度无旋）
$\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$ （旋度无散）

手把手例题

例：计算 $\oint_{Γ} y d x + z d y + x d z$ ， $Γ$ 为平面 $x + y + z = 1$ 被三坐标面所截三角形的边界（逆时针）。

步骤	操作
①选 $Σ$	$Σ$ 取该平面三角形区域，上侧
②套 Stokes	$\oint_{Γ} = \iint_{Σ} d y d z \partial_{x} y d z d x \partial_{y} z d x d y \partial_{z} x$
③展开	$= \iint_{Σ} [(\frac{\partial x}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial z}) d y d z + (\frac{\partial y}{\partial z} - \frac{\partial x}{\partial x}) d z d x + (\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y}) d x d y]$
④化简	$= \iint_{Σ} (0 - 1) d y d z + (0 - 1) d z d x + (0 - 1) d x d y = - \iint_{Σ} (d y d z + d z d x + d x d y)$
⑤合一投影	上侧， $z = 1 - x - y$ → $z_{x}^{'} = - 1, z_{y}^{'} = - 1$ → $= - \iint_{D} [(- (- 1)) + (- (- 1)) + 1] d x d y = - 3 \iint_{D} d x d y$
⑥结果	$D$ 为直角三角形，面积 $= \frac{1}{2}$ → $I = - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}$

🔗 统一升华：四大公式本一家

公式	积分关系	维度	对应算子
牛顿-莱布尼茨	区间端点 ↔ 区间	1D	$f^{'} (x)$
格林公式	闭曲线 ↔ 平面区域	2D	$\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y$
高斯公式	闭曲面 ↔ 空间体	3D	$div A = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$
斯托克斯公式	空间闭曲线 ↔ 曲面	3D	$rot A$

🔗 统一本质： $\int_{\partial M} ω = \int_{M} d ω$ — “边界上的积分 = 内部微分的积分”。这是微积分中最深刻的洞察之一，称为广义斯托克斯公式。

📇 综合闪卡速记

第一类曲线积分 (§10.1)

| Q1 | 计算 $\int_{L} f (x, y) d s$ 分几步？ | ①把曲线写成 $y = y (x)$ （或参数式），确定 $x$ 范围；②把所有 $y$ 换成 $y (x)$ ， $d s$ 换成 $1 + y^{'2} d x$ ；③算定积分。注意下限<上限！ | | Q2 | $y = y (x)$ 的 $d s$ ？ | $d s = 1 + [y^{'}]^{2} d x$ | | Q3 | 参数方程 $d s$ ？ | $d s = [φ^{'}]^{2} + [ψ^{'}]^{2} d t$ | | Q4 | 被积函数化简经典例子？ | $\oint_{x^{2} + y^{2} = R^{2}} (x^{2} + y^{2}) d s$ 先把 $x^{2} + y^{2}$ 换成 $R^{2}$ 提出积分号！ $= 2 π R^{3}$ | | Q5 | 轮换对称： $\oint_{x^{2} + y^{2} = R^{2}} x^{2} d s$ ？ | $= \frac{1}{2} \oint (x^{2} + y^{2}) d s = π R^{3}$ |

第二类曲线积分 (§10.2)

| Q6 | 与第一类最根本区别？ | 方向有关：反向=负号；定积分下限=起点坐标、上限=终点坐标（不要求下限<上限） | | Q7 | 参数方程， $t : α \to β$ ，怎么代？ | $\int_{α}^{β} [P (φ, ψ) φ^{'} (t) + Q (φ, ψ) ψ^{'} (t)] d t$ | | Q8 | 两类怎么互转？ | $\int_{L} P d x + Q d y = \int_{L} (P cos α + Q cos β) d s$ ， $(cos α, cos β)$ 是切向量 | | Q9 | $L ⊥ x$ 轴时 $\int P d x$ ？ | $= 0$ （ $d x = 0$ ，正交性） |

格林公式 (§10.3)

| Q10 | 格林公式怎么背？ | $\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d x d y$ 。记死：Q对x偏导减P对y偏导 | | Q11 | 曲线不封闭怎么办？ | 加一条辅助线（通常直线段）围成闭区域→格林→减去辅助线积分 | | Q12 | 有奇点怎么办？ | 挖去奇点作小圆，路径特殊化。 $\oint \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}} = 绕原点 2 π$ | | Q13 | 怎么判断积分与路径无关？ | $\partial P / \partial y = \partial Q / \partial x$ 在单连通区域内恒成立 | | Q14 | 已知路径无关，怎么算非闭曲线积分？ | 选最方便的路径（折线：先水平再竖直），或求原函数后用 $u (B) - u (A)$ | | Q15 | 求原函数 $u (x, y)$ 的折线公式？ | $u = \int_{x_{0}}^{x} P (t, y_{0}) d t + \int_{y_{0}}^{y} Q (x, s) d s$ |

第一类曲面积分 (§10.4)

| Q16 | 计算三步？ | ①投影 $Σ$ 到 $O x y$ 得 $D$ ；②把 $z$ 换成 $z (x, y)$ ；③ $d S = 1 + z_{x}^{'2} + z_{y}^{'2} d x d y$ | | Q17 | 三种常见 $d S$ ？ | 一般曲面 $1 + z_{x}^{'2} + z_{y}^{'2}$ ；球面 $\frac{R}{R ^{2} - x ^{2} - y ^{2}}$ ；圆锥面 $2$ | | Q18 | 球面轮换对称怎么用？ | $\iint x^{2} d S = \frac{1}{3} \iint (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d S = \frac{R ^{2}}{3} \cdot 4 π R^{2} = \frac{4}{3} π R^{4}$ | | Q19 | 圆柱面 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 怎么投影？ | 投 $O yz$ （或 $O z x$ ）！投 $O x y$ 是一条线，不是面 |

第二类曲面积分 (§10.5)

| Q20 | 计算三步，最关键的第三步？ | 三定号：上/前/右侧→正(+)，下/后/左侧→负(−) | | Q21 | 对称性口诀？原因？ | 奇倍偶零（第一类是”奇零偶倍”，相反！）。因为对侧有向投影符号相反 | | Q22 | 合一投影法什么时候好用？ | 含抽象函数 $f (x, y, z)$ 时！ $f$ 的系数可能恰好抵消。公式： $\pm \iint_{D} [P (- z_{x}^{'}) + Q (- z_{y}^{'}) + R] d x d y$ |

高斯公式 (§10.6)

| Q23 | Gauss 公式怎么用？ | $\iint_{Σ} = ∭_{Ω} (P_{x} + Q_{y} + R_{z}) d V$ 。必先确认：① $Σ$ 是否闭？②取外侧？③内部无奇点？ | | Q24 | 曲面不闭合？ | 补辅助面（通常 $z = h$ 的平面）→Gauss → 减掉辅助面积分。辅助面方向要配合成外侧 | | Q25 | 散度和通量什么关系？ | $div A = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$ （标量）。Gauss 说：通量 = 散度的体积分 |

斯托克斯公式 (§10.7)

| Q26 | Stokes 行列式怎么展开？ | 第一行逐个去掉对应列： $(R_{y} - Q_{z}) d y d z + (P_{z} - R_{x}) d z d x + (Q_{x} - P_{y}) d x d y$ | | Q27 | 旋度怎么算？ | $rot A = \nabla \times A$ ，行列为 $∥ i \partial_{x} P j \partial_{y} Q k \partial_{z} R ∥$ 。结果： $(R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})$ | | Q28 | 环流量和旋度有什么区别？ | 环流量是标量（沿闭曲线的线积分值），旋度是矢量（每一点的旋转趋势） | | Q29 | 场论两大恒等式？ | ① $\nabla \times (\nabla u) = 0$ （梯度无旋）② $\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$ （旋度无散） | | Q30 | 梯度/散度/旋度各是什么变换？ | 梯度：标量→矢量（最陡方向）; 散度：矢量→标量（源强度）; 旋度：矢量→矢量（旋转趋势） |

🧪 综合自测题

A 组 — 概念判断 (20 题)

#	题目	答案
A1	第一类曲线积分与曲线方向无关。	✅
A2	第二类曲线积分反向后值不变。	❌（反向=负号）
A3	$\oint_{x^{2} + y^{2} = R^{2}} (x^{2} + y^{2}) d s$ 可先化简被积函数为 $R^{2}$ 。	✅
A4	格林公式将闭曲线积分化为三重积分。	❌（化为二重积分）
A5	格林公式的三个条件是：闭曲线 + 连续偏导 + 正向。	✅
A6	$\partial P / \partial y = \partial Q / \partial x$ 在全平面上恒成立则积分与路径无关。	✅（全平面是单连通）
A7	第一类曲面积分与曲面的侧有关。	❌（第一类无关，第二类才有关）
A8	圆锥面 $z = x^{2} + y^{2}$ 的 $d S = d x d y$ 。	❌（ $d S = 2 d x d y$ ）
A9	第二类曲面积分的对称性口诀是”奇零偶倍”。	❌（是”奇倍偶零”，和第一类相反）
A10	Gauss 公式将闭曲面积分化为三重积分。	✅
A11	$div A = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$ 是向量。	❌（是标量）
A12	旋度是标量。	❌（是矢量）
A13	$rot (grad u) \equiv 0$ 。	✅
A14	$div (rot A) \equiv 0$ 。	✅
A15	Stokes 公式是 Green 公式的三维推广。	✅
A16	第二类曲线积分 $L ⊥ x$ 轴时 $\int P d x = 0$ 。	✅
A17	曲面积分的合一投影法含 $f$ 时可能抵消。	✅
A18	梯度是标量→矢量，散度是矢量→标量。	✅
A19	Gauss 公式中曲面取内侧时不加负号。	❌（加负号）
A20	四大积分公式本质上都是 $\int_{\partial M} ω = \int_{M} d ω$ 。	✅

B 组 — 基本计算 (20 题)

B1 计算 $\oint_{L} (x^{2} + y^{2}) d s$ ， $L : x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 。

B2 计算 $\oint_{L} x^{2} d s$ ， $L : x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 。

B3 计算 $\int_{L} y d s$ ， $L : y = x^{2}$ ， $x \in [0, 1]$ 。

B4 计算 $\int_{L} x d y$ ， $L : y = x^{2}$ ，从 $(1, - 1)$ 到 $(0, 0)$ 。

B5 用格林公式计算 $\oint_{L} (x - y) d x + (x + y) d y$ ， $L : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 逆时针。

B6 计算 $\oint_{L} \frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}}$ ， $L : x^{2} + y^{2} = 1$ 逆时针。

B7 验证 $(2 x + y) d x + (x + 2 y) d y$ 是否全微分，若是则求原函数。

B8 计算 $\iint_{Σ} z^{2} d S$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 。

B9 计算 $\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2}) d S$ ， $Σ : z = x^{2} + y^{2}$ ， $0 \leq z \leq 1$ 。

B10 计算 $\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 外侧。

B11 计算 $\iint_{Σ} z d x d y$ ， $Σ : z = 1 - x^{2} - y^{2}$ 上侧。

B12 用 Gauss 公式计算 B10。

B13 求向量场 $A = (z, x, y)$ 的旋度。

B14 求 $div (grad (x^{2} + y^{2} + z^{2}))$ 。

B15 $\oint_{Γ} y d x + z d y + x d z$ ， $Γ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}, x + y + z = 0$ ，用 Stokes 简化方向。

B16 求 $\oint_{L} (y - z) d x + (z - x) d y + (x - y) d z$ （ $Γ$ 任意闭曲线）的值。

B17 用轮换对称性求 $\oint_{Γ} x^{2} d s$ ， $Γ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}, x + y + z = 0$ 。

B18 计算 $\iint_{Σ} x^{2} d y d z + y^{2} d z d x + z^{2} d x d y$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 外侧。

B19 求解全微分方程 $(5 x^{4} + 3 x y^{2} - y^{3}) d x + (3 x^{2} y - 3 x y^{2} + y^{2}) d y = 0$ 。

B20 计算 $\oint_{Γ} (x^{2} - y) d x + 4 z d y + x^{2} d z$ ， $Γ$ 为 $z = x^{2} + y^{2}$ 与 $z = 2$ 的交线。

C 组 — 综合应用 (10 题)

C1 ⭐⭐ 计算 $\oint_{L} (3 x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}) d s$ ， $L$ 为椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 。

C2 ⭐⭐ 质点受力 $F$ 指向原点， $∣ F ∣ = k x^{2} + y^{2}$ 。求沿椭圆从 $(a, 0)$ 逆时针到 $(0, b)$ 的功。

C3 ⭐⭐ $L : ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1$ 逆时针， $P = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}$ ，求 $\oint_{L} P d x + Q d y$ 。

C4 ⭐⭐ 计算 $\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 外侧。

C5 ⭐⭐ 计算 $\iint_{Σ} (z^{2} + x) d y d z - z d x d y$ ， $Σ : z = \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})$ 下侧， $0 \leq z \leq 2$ 。

C6 ⭐⭐ $\iint_{Σ} [f (x, y, z) + x] d y d z + [2 f (x, y, z) + y] d z d x + [f (x, y, z) + z] d x d y$ ， $Σ : x - y + z = 1$ 第四卦限上侧。

C7 ⭐⭐⭐ 计算 $\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d S$ ， $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 (x + y + z)$ 。

C8 ⭐⭐⭐ 证明：若 $A$ 旋度处处为零且区域单连通，则 $\int_{L} A \cdot d r$ 与路径无关。

C9 ⭐⭐⭐ 用 Stokes 公式证明： $\oint_{Γ} (y - z) d x + (z - x) d y + (x - y) d z = 0$ （ $Γ$ 为任意空间闭曲线）。

C10 ⭐⭐⭐ 匀质半球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ $(z \geq 0)$ ，求质心和对 $z$ 轴转动惯量。

⚠️ 常见错误 Top 10

#	错误	正确
1	第一类线积分：把 $f (x, y)$ 当自由二元函数	在曲线上实质一元，先用曲线方程化简！
2	第二类线积分：下限必须<上限	下限=起点坐标，上限=终点，可 $a > b$
3	格林公式： $Q_{x} - P_{y}$ 顺序颠倒	必是 Q_x − P_y（字母序）
4	路径无关：只检查偏导相等 → 默认与路径无关	还需单连通 + 无奇点
5	第一类面积分：圆柱面投 $O x y$	圆柱面在 $O x y$ 投影是线不是面，应投 $O yz$
6	第二类面积分：定号搞反	上/前/右 → 正；下/后/左 → 负
7	第二类面积分对称性：用第一类规则	第二类是奇倍偶零（相反！）
8	Gauss：曲面不闭直接套	必须先补面成闭曲面
9	Stokes：忘记右手法则	$Γ$ 方向和 $Σ$ 法向必须匹配
10	混淆环流量和旋度	环流量是标量（线积分值），旋度是矢量

📋 B 组答案速查

#	答案
B1	$2 π R^{3}$
B2	$π R^{3}$
B3	$\frac{1}{192} (55 - 1)$
B4	$- \frac{2}{3}$
B5	$2 π a^{2}$
B6	$2 π$
B7	是。原函数 $u = x^{2} + x y + y^{2}$
B8	$\frac{4}{3} π R^{4}$
B9	$\frac{2}{2} π$
B10	$4 π R^{3}$
B11	$\frac{2}{3} π$
B12	$div = 3$ → $∭ 3 d V = 4 π R^{3}$ （同 B10）
B13	$rot A = (1, 1, 1)$
B14	$6$
B15	$Σ$ 依法向量 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ ，旋度 $(- 1, - 1, - 1)$ → $- 3 π R^{2}$
B16	$0$ （旋度各分量为 $- 2, - 2, - 2$ ？验证： $rot A = (- 2, - 2, - 2)$ ，积分 $= \iint_{Σ} (- 2, - 2, - 2) \cdot n d S$ 。直接用 Stokes：被积为全微分 $d (\frac{1}{2} ((y - z)^{2} + (z - x)^{2} + (x - y)^{2}))$ 不成立。实际上 $rot = (- 2, - 2, - 2)$ ，需要曲面。直接观察： $P d x + Q d y + R d z = \frac{1}{2} d [(y - z)^{2} + (z - x)^{2} + (x - y)^{2}]$ ？检验不成立。最简：每项旋度 = 常数，取 $Σ$ 为平面区域，法向量任意，总投影为零？此题 $rot = (- 2, - 2, - 2)$ ，对于任意闭曲线，可取任意以 $Γ$ 为边界的 $Σ$ 。若 $Γ$ 为平面曲线，取 $Σ$ 在该平面上…）实际上最简单： $P = y - z, Q = z - x, R = x - y$ ， $\partial P / \partial y = 1, \partial Q / \partial x = - 1$ ，不相等，不能直接判零。但 $rot A = (- 2, - 2, - 2)$ ≠ 0，所以环流量不为零！应具体计算。抱歉此题设置有问题—— $rot = (- 2, - 2, - 2)$ ，非零。 ⚠️ 修订：此题应改为验证 $\oint_{Γ} y d x + x d y = 0$ （任取闭曲线）。原题 B16 撤销。
B17	$\frac{2}{3} π R^{3}$ ( $= \frac{1}{3} \cdot 2 π R \cdot R^{2}$ )
B18	$0$ （散度 $= 2 x + 2 y + 2 z$ ，球对称 → 奇函数三维积分为零）
B19	通解 $x^{5} + \frac{3}{2} x^{2} y^{2} - x y^{3} + \frac{1}{3} y^{3} = C$
B20	$4 π$

💡 C 组提示

#	提示
C1	利用椭圆方程 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ → 原式 $= \oint_{L} (12 + 2 x y) d s = 12 a$ （ $a$ 为周长）
C2	$F = - k (x, y)$ ，参数化 $x = a cos t, y = b sin t$ → $W = \frac{k}{2} (a^{2} - b^{2})$
C3	挖奇点 → 路径特殊化为单位圆 → $2 π$
C4	原点有奇点。挖小球面 → 积分= $4 π$ （电通量/Gauss定律）
C5	合一投影法，下侧取负 → $- \frac{9}{2}$
C6	合一投影法， $f$ 抵消 → 结果 $= \frac{1}{2}$
C7	配方 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 3$ ，平移+轮换 → $36 π$
C8	由 Stokes： $\oint_{Γ} A \cdot d r = \iint_{Σ} rot A \cdot n d S = 0$ → 路径无关
C9	$rot A = (- 2, - 2, - 2)$ → $\oint_{Γ} = \iint_{Σ} (- 2, - 2, - 2) \cdot n d S$ 。不对——此题应为： $P = y - z, Q = z - x, R = x - y$ ， $rot A = (- 2, - 2, - 2)$ ，非零。正确做法：直接验证全微分！ $(y - z) d x + (z - x) d y + (x - y) d z = d (x y + yz + z x - \frac{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}{2})$ ？不对。实际上 $= d (x y + yz + z x) - (x d x + y d y + z d z) = d (x y + yz + z x - \frac{r ^{2}}{2})$ ！所以是全微分 → 绕任意闭曲线积分为零 ✅
C10	球面坐标： $M = 2 π R^{2}$ ，质心 $(0, 0, \frac{R}{2})$ ， $I_{z} = \frac{4}{3} π R^{4}$

第十章 曲线积分与曲面积分（完整版）

第十章 曲线积分与曲面积分

📖 建议阅读顺序

§10.1 对弧长的曲线积分（第一类）

概念

计算口诀：一投二代三换

对称性

手把手例题

§10.2 对坐标的曲线积分（第二类）

概念

第一类 vs 第二类

计算（有方向！）

两类联系

手把手例题

§10.3 格林公式

格林公式本身

三大策略

路径无关条件（四条等价）

手把手例题

§10.4 对面积的曲面积分（第一类）

概念

计算口诀：一投二代三换

手把手例题

对称性

§10.5 对坐标的曲面积分（第二类）

概念

计算口诀：一投二代三定号

对称性（⚠️ 与第一类相反！）

两类联系

合一投影法

手把手例题

§10.6 高斯公式（Gauss 定理）

定理

核心技巧

散度与通量

手把手例题

§10.7 斯托克斯公式

定理

旋度与环流量

场论三剑客

手把手例题

🔗 统一升华：四大公式本一家

📇 综合闪卡速记

第一类曲线积分 (§10.1)

第二类曲线积分 (§10.2)

格林公式 (§10.3)

第一类曲面积分 (§10.4)

第二类曲面积分 (§10.5)

高斯公式 (§10.6)

斯托克斯公式 (§10.7)

🧪 综合自测题

A 组 — 概念判断 (20 题)

B 组 — 基本计算 (20 题)

C 组 — 综合应用 (10 题)

⚠️ 常见错误 Top 10

📋 B 组答案速查

💡 C 组提示

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第十章曲线积分与曲面积分（完整版）

第十章曲线积分与曲面积分